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はてなキーワード: リー群とは
僕は今朝、オートミールを37回噛んだ。37という数は特別ではない。単に粘度と咀嚼効率の最適点がそこにあっただけだ。科学は感情ではなく最適化で動く。これは重要な原則だ。
昨日から考えているのは、モジュライ空間の極限構造についてだ。
カラビ–ヤウ多様体の退化極限で、Dブレーンの安定条件が∞圏の中でどう振る舞うか。
エドワード・ウィッテンでも眉をひそめるレベルの話だ。まあ彼は偉大だが、宇宙はまだ彼にすべてを教えてはいない。宇宙は秘密主義だからね。
そのときふと思い出した。世間にはMITを「世界最高の大学」と呼ぶ人がいるらしい。
もちろん、MITには優秀な人間がいる。否定しない。彼らは素晴らしい橋を作り、ロケットを設計し、半導体を量産する。社会的には極めて有用だ。
理論物理学者は宇宙のラグランジアンを書き換える。工学者はその宇宙の中で動く装置を作る。
つまりこういうことだ。
役割の違いは、チェスプレイヤーと駒の違いに近い。駒は大切だが、ゲームのルールを書いたのは別の人間だ。
僕の計算では、もし11次元超重力の真の対称性がある特定の例外的リー群の∞拡張として実現されているなら、宇宙は実は物理ではなく圏論的情報処理として再定義できる。時空は副産物にすぎない。
このレベルの話になると、MITの研究室で作られるロボットアームは、正直言って少し可愛い。レゴで宇宙を組み立てている子供みたいなものだ。
もちろん誤解しないでほしい。文明は工学なしでは成立しない。僕だって電子レンジがなければ冷たいピザを食べることになる。これは悲劇だ。
だからMITを崇拝する人を見ると、僕は静かに思う。ああ、彼らはアプリ開発者を見て宇宙を理解した気になっているんだな、と。
チョコレート工場のウンパルンパが優秀であることと、ウィリー・ウォンカが工場のルールを作ったことは、まったく別の話だ。
さて、そろそろ昼食の時間だ。今日はサンドイッチを三角形に切る予定だ。四角形は対称性が美しくない。
そして僕もそうだ。
超弦理論を物理として理解しようとすると、だいたい途中で詰まる。
なぜなら核心は、力学の直観ではなく、幾何と圏論の側に沈んでいるからだ。
弦の振動が粒子を生む、という説明は入口にすぎない。本質は量子論が許す整合的な背景幾何とは何かという分類問題に近い。分類問題は常に数学を呼び寄せる。
まず、場の理論を幾何学的に見ると、基本的にはある空間上の束とその束の接続の話になる。
ここまでは微分幾何の教科書の範囲だが、弦理論ではこれが即座に破綻する。
なぜなら、弦は点粒子ではなく拡がりを持つため、局所場の自由度が過剰になる。点の情報ではなく、ループの情報が重要になる。
すると、自然にループ空間LXを考えることになる。空間X上の弦の状態は、写像S^1 → Xの全体、つまりLXの点として表される。
しかしLXは無限次元で、通常の微分幾何はそのままでは適用できない。
ここで形式的に扱うと、弦の量子論はループ空間上の量子力学になるが、無限次元測度の定義が地獄になる。
この地獄を回避するのが共形場理論であり、さらにその上にあるのが頂点作用素代数だ。2次元の量子場理論が持つ対称性は、単なるリー群対称性ではなく、無限次元のヴィラソロ代数に拡張される。
弦理論が2次元の世界面の理論として定式化されるのは、ここが計算可能なギリギリの地点だからだ。
だが、CFTの分類をやり始めると、すぐに代数幾何に落ちる。モジュラー不変性を要求すると、トーラス上の分配関数はモジュラー群 SL(2, Z) の表現論に拘束される。
つまり弦理論は、最初からモジュラー形式と一緒に出現する。モジュラー形式は解析関数だが、同時に数論的対象でもある。この時点で、弦理論は物理学というより数論の影を引きずり始める。
さらに進むと、弦のコンパクト化でカラビ–ヤウ多様体が現れる。
カラビ–ヤウはリッチ平坦ケーラー多様体で、第一チャーン類がゼロという条件を持つ。
ここで重要なのは、カラビ–ヤウが真空の候補になることより、カラビ–ヤウのモジュライ空間が現れることだ。真空は一点ではなく連続族になり、その族の幾何が物理定数を支配する。
このモジュライ空間には自然な特殊ケーラー幾何が入り、さらにその上に量子補正が乗る。
量子補正を計算する道具が、グロモフ–ウィッテン不変量であり、これは曲線の数え上げに関する代数幾何の不変量だ。
つまり弦理論の散乱振幅を求めようとすると、多様体上の有理曲線の数を数えるという純粋数学問題に落ちる。
ここで鏡対称性が発生する。鏡対称性は、2つのカラビ–ヤウ多様体XとYの間で、複素構造モジュライとケーラー構造モジュライが交換されるという双対性だ。
数学的には、Aモデル（シンプレクティック幾何）とBモデル（複素幾何）が対応する。
そしてこの鏡対称性の本体は、ホモロジカル鏡対称性（Kontsevich予想）にある。
これは、A側の藤田圏とB側の導来圏 D^b Coh(X)が同値になるという主張だ。
つまり弦理論は、幾何学的対象の同一性を空間そのものではなく圏の同値として捉える。空間が圏に置き換わる。ここで物理は完全に圏論に飲み込まれる。
さらに進めると、Dブレーンが登場する。Dブレーンは単なる境界条件ではなく、圏の対象として扱われる。
弦がブレーン間を張るとき、その開弦状態は対象間の射に対応する。開弦の相互作用は射の合成になる。つまりDブレーンの世界は圏そのものだ。
この圏が安定性条件を持つとき、Bridgeland stability conditionが現れる。
安定性条件は、導来圏上に位相と中心電荷を定義し、BPS状態の安定性を決める。
wall-crossingが起きるとBPSスペクトルがジャンプするが、そのジャンプはKontsevich–Soibelmanの壁越え公式に従う。
この公式は、実質的に量子トーラス代数の自己同型の分解であり、代数的な散乱図に変換される。
このあたりから、物理は粒子が飛ぶ話ではなく、圏の自己同型の離散力学系になる。
さらに深い層に行くと、弦理論はトポロジカル場の理論として抽象化される。
Atiyahの公理化に従えば、n次元TQFTは、n次元コボルディズム圏からベクトル空間圏への対称モノイダル関手として定義される。
つまり時空の貼り合わせが線形写像の合成と一致することが理論の核になる。
そして、これを高次化すると、extended TQFTが現れる。点・線・面…といった低次元欠陥を含む構造が必要になり、ここで高次圏が必須になる。結果として、場の理論は∞-圏の対象として分類される。
Lurieのコボルディズム仮説によれば、完全拡張TQFTは完全双対可能な対象によって分類される。つまり、物理理論を分類する問題は、対称モノイダル(∞,n)-圏における双対性の分類に変わる。
この時点で、弦理論はもはや理論ではなく、理論の分類理論になる。
一方、M理論を考えると、11次元超重力が低エネルギー極限として現れる。
しかしM理論そのものは、通常の時空多様体ではなく、より抽象的な背景を要求する。E8ゲージ束の構造や、anomalyの消去条件が絡む。
異常とは量子化で対称性が破れる現象だが、数学的には指数定理とK理論に接続される。
弦理論のDブレーンの電荷がK理論で分類されるという話は、ここで必然になる。ゲージ場の曲率ではなく、束の安定同値類が電荷になる。
さらに一般化すると、楕円コホモロジーやtopological modular formsが出てくる。tmfはモジュラー形式をホモトピー論的に持ち上げた対象であり、弦理論が最初から持っていたモジュラー不変性が、ホモトピー論の言語で再出現する。
ここが非常に不気味なポイントだ。弦理論は2次元量子論としてモジュラー形式を要求し、トポロジカルな分類としてtmfを要求する。つまり解析的に出てきたモジュラー性がホモトピー論の基本対象と一致する。偶然にしては出来すぎている。
そして、AdS/CFT対応に入ると、空間の概念はさらに揺らぐ。境界の共形場理論が、バルクの重力理論を完全に符号化する。この対応が意味するのは、時空幾何が基本ではなく、量子情報的なエンタングルメント構造が幾何を生成している可能性だ。
ここでリュウ–タカヤナギ公式が出てきて、エンタングルメントエントロピーが極小曲面の面積で与えられる。すると面積が情報量になり、幾何が情報論的に再構成される。幾何はもはや舞台ではなく、状態の派生物になる。
究極的には、弦理論は空間とは何かを問う理論ではなく、空間という概念を捨てたあと何が残るかを問う理論になっている。残るのは、圏・ホモトピー・表現論・数論的対称性・そして量子情報的構造だ。
つまり、弦理論の最深部は自然界の基本法則ではなく、数学的整合性が許す宇宙記述の最小公理系に近い。物理は数学の影に吸い込まれ、数学は物理の要求によって異常に具体化される。
この相互汚染が続く限り、弦理論は完成しないし、終わりもしない。完成とは分類の完了を意味するが、分類対象が∞-圏的に膨張し続けるからだ。
そして、たぶんここが一番重要だが、弦理論が提示しているのは宇宙の答えではなく、答えを記述できる言語の上限だ。
だからウィッテンですら全部を理解することはできない。理解とは有限の認知資源での圧縮だが、弦理論は圧縮される側ではなく、圧縮の限界を押し広げる側にある。
俺はカチャ、カチャ、と同じ面を三度も回した。
数学科の人間ってのは、何かをいじっていないと死ぬ生き物なんだ。
氷の溶けかけたアイスコーヒーを吸いながら、俺はふと、あの群のことを考えていた。
「離散的な群は…」カチッと回るキューブ。
そんな妄想をしてる大学生なんて、この街で俺ぐらいのものだろう。
「それ、難しいんですか？」
声がした。
手にはミルクティー。
俺の指先の動きを、興味深そうに見つめている。
俺は、少しだけ間を置いて、にっと笑った。
「リー群って、ご存じですか？」
彼女は目を瞬かせた。「…りーぐん？」
「そう。数学の話です。簡単に言えば、ルービックキューブを滑らかに動かす理論ですね」
「滑らかに…？」
「ええ。世界は“カチッ”じゃなくて“スーッ”でできてるんです」
言いながら、俺はキューブを指の上で軽く回した。
赤が青に、青が白に。
「つまりね、回転も並進も、すべて“連続的な対称性”なんです。
「……なるほど？」
「よくわかんなかったけど、楽しそうですね」
もう一度、白い面が揃う。
風が通り抜け、ページの端をめくるように光が動いた。
女の子は笑って去っていった。
俺はひとりごちる。
指先がまたカチ、カチ、と鳴った。
フェミニズムの分類が多すぎると聞いて
記述集合論（Borel階層, Projective階層, 汎加法族）
モデル理論（型空間, o-極小, NIP, ステーブル理論）
再帰理論/計算可能性（チューリング度, 0′, 相対計算可能性）
構成主義, 直観主義, ユニバース問題, ホモトピー型理論（HoTT）
体論・ガロア理論
表現論
K-理論
初等数論（合同, 既約性判定, 二次剰余）
解析数論（ゼータ/ L-関数, 素数定理, サークル法, 篩法）
p進数論（p進解析, Iwasawa理論, Hodge–Tate）
超越論（リンドマン–ヴァイエルシュトラス, ベーカー理論）
実解析
多変数（Hartogs現象, 凸性, several complex variables）
関数解析
バナッハ/ヒルベルト空間, スペクトル理論, C*代数, von Neumann代数
フーリエ解析, Littlewood–Paley理論, 擬微分作用素
確率解析
マルチンゲール, 伊藤積分, SDE, ギルサノフ, 反射原理
常微分方程式（ODE）
偏微分方程式（PDE）
非線形PDE（Navier–Stokes, NLS, KdV, Allen–Cahn）
幾何解析
リッチ流, 平均曲率流, ヤン–ミルズ, モノポール・インスタントン
エルゴード理論（Birkhoff, Pesin）, カオス, シンボリック力学
点集合位相, ホモトピー・ホモロジー, 基本群, スペクトル系列
4次元トポロジー（Donaldson/Seiberg–Witten理論）
複素/ケーラー幾何（Calabi–Yau, Hodge理論）
スキーム, 層・層係数コホモロジー, 変形理論, モジュライ空間
多面体, Helly/Carathéodory, 幾何的極値問題
ランダムグラフ/確率的方法（Erdős–Rényi, nibble法）
加法的組合せ論（Freiman, サムセット, Gowersノルム）
彩色, マッチング, マイナー理論（Robertson–Seymour）
列・順序・格子（部分順序集合, モビウス反転）
測度確率, 極限定理, Lévy過程, Markov過程, 大偏差
統計学
ノンパラメトリック（カーネル法, スプライン, ブーストラップ）
実験計画/サーベイ, 因果推論（IV, PS, DiD, SCM）
時系列（ARIMA, 状態空間, Kalman/粒子フィルタ）
二次計画, 円錐計画（SOCP, SDP）, 双対性, KKT
非凸最適化
離散最適化
整数計画, ネットワークフロー, マトロイド, 近似アルゴリズム
Littleの法則, 重み付き遅延, M/M/1, Jackson網
常微分方程式の数値解法（Runge–Kutta, 構造保存）
エントロピー, 符号化（誤り訂正, LDPC, Polar）, レート歪み
公開鍵（RSA, 楕円曲線, LWE/格子）, 証明可能安全性, MPC/ゼロ知識
計算複雑性
機械学習の数理
量子場の数理
相転移, くりこみ, Ising/Potts, 大偏差
数理生物学
数理神経科学
無裁定, 確率ボラ, リスク測度, 最適ヘッジ, 高頻度データ
データ解析
端的に言えば、ある物理理論におけるAブレーンが作る世界の構造（圏）と、その双対理論におけるBブレーンが作る世界の構造（圏）が一致するという物理的な要請が、数学上の「幾何学的ラングランズ対応」という予想そのものを導き出す、という驚くべき対応関係が存在する。
AブレーンとBブレーンは、超弦理論において「D-ブレーン」と呼ばれる時空に広がる膜のようなオブジェクトの特殊なもの。
これらはホモロジカルミラー対称性という予想の文脈で役割を果たす。
シンプレクティック幾何学における「ラグランジアン部分多様体」に対応。これは、時空の「位置」に関する情報を主に捉える対象。
Aブレーン全体の集まりは、「深谷圏 (Fukaya category)」と呼ばれる数学的な圏を構成。
代数幾何学における「正則部分多様体」や「連接層」に対応。これは、時空の「複素構造」やその上の場の状態に関する情報を捉える対象。
Bブレーン全体の集まりは、「連接層の導来圏 (derived category of coherent sheaves)」と呼ばれる圏を構成。
ある空間（カラビ・ヤウ多様体 X）のAブレーンが作る世界（深谷圏）が、それとは見た目が全く異なる「ミラー」な空間 Y のBブレーンが作る世界（導来圏）と、数学的に完全に等価（同値）である、という予想。
ラングランズプログラムは、現代数学で最も重要な予想の一つで、「数論」と「表現論（解析学）」という二つの大きな分野の間に、深い対応関係があることを主張。
1. 数論側: 曲線 C 上の「G-局所系」の圏。ここで G はリー群。これはガロア表現の幾何学的な類似物と見なせる。
2. 表現論側: 曲線 C 上の「ᴸG-D-加群」の圏。ここで ᴸG は G のラングランズ双対群。これは保型形式の幾何学的な類似物。
つまり、C上のG-局所系の圏 ≅ C上のᴸG-D-加群の圏 というのが、幾何学的ラングランズ対応。
この一見無関係な二つの世界を結びつけたのが、物理学者アントン・カプスティンとエドワード・ウィッテンの研究。
彼らは、N=4 超対称ゲージ理論という物理理論を用いることで、幾何学的ラングランズ対応が物理現象として自然に現れることを示した。
彼らが考えたのは、リーマン面（代数曲線）C 上のゲージ理論。
これは、ゲージ群が G で結合定数が g の理論と、ゲージ群がラングランズ双対群 ᴸG で結合定数が 1/g の理論が、物理的に全く同じ現象を記述するというもの。
このゲージ理論には、「ループ演算子」と呼ばれる重要な物理量が存在し、それらがブレーンに対応。
S-双対性は、G 理論と ᴸG 理論が物理的に等価であることを保証。
したがって、一方の理論の物理的な対象は、もう一方の理論の何らかの物理的な対象に対応しなければならない。
カプスティンとウィッテンが示したのは、このS-双対性によって、G 理論の A-ブレーン ( 't Hooft ループ) の世界と、その双対である ᴸG 理論の B-ブレーン(Hecke固有層) の世界が、入れ替わるということ。
物理的に等価である以上、この二つの圏は数学的にも同値でなければならない。そして、この圏の同値性こそが、数学者が予想していた幾何学的ラングランズ対応そのものだった。
このようにして、弦理論の幾何学的な概念であるAブレーンとBブレーンは、ゲージ理論のS-双対性を媒介として、純粋数論の金字塔であるラングランズプログラムと深く結びつけられた。
若き者よ、君に抽象の森へと案内しよう。
位相的M理論とラングランズ・プログラムの関係性を辿るには、まず両者が共有している「場の言語」を抽出しなければならない。
ここでは、物理の言語がゲージ理論を媒介とし、数学の言語が圏と層を媒介して互いに翻訳される。だからこそ、双方は互いに異なる起源を持ちながらも「双対性」という共通の振る舞いを示す。
まず、M理論の位相的変種は、物理学の側から見ると六次元 (2,0) 超対称場理論に起源を持つ。
これをコンパクト化していくと四次元のN=4 超対称ヤン＝ミルズ理論に到達する。
ここで特筆すべきはS-双対性。ヤン＝ミルズ理論において、結合定数 g を持つ理論は、結合定数 1/g を持つ理論と同値になる。この双対性がラングランズ対応の物理的な影となる。
一方、ラングランズ・プログラムは数論的対象や代数幾何的対象を表現する表現論の枠組みだ。
群の表現、特にループ群やアフィンリー代数の表現が中枢を成す。幾何ラングランズ対応においては、層の圏 (例えばD-加群の圏) が表層に現れる。
ここでリンクする。幾何ラングランズ対応では、層の圏と局所系の圏との間に双対性が存在する。この双対性はS-双対性と数学的に対応する。
要するに、物理的には「電荷と磁荷の入れ替え」、数学的には「表現と層の入れ替え」だ。
具体的には次のような対応が生じる。
例えば、曲線C上のG-束のモジュライ空間M_G(C) を考える。このモジュライ空間上のHitchin fibrationは物理的にはクーロン枝と呼ばれる真空の空間に対応し、シンプレクティック構造を持つ。
さらに、その上で考えるFukaya圏とB型模型の圏の間に現れるホモロジー的ミラー対称性がラングランズ双対群に関する対応を生み出す。
式で描くならば
ここで、G はあるコンパクト単純リー群であり、^G はそのラングランズ双対群、τ は結合定数。
さらに深く潜ると、S-duality は境界条件として D-brane の理論を誘導し、その圏がラングランズ対応の圏と一致する。
具体的には、M理論のcompactification が (2,0) theory から N=4 SYM を生み、その電磁双対性が幾何ラングランズの圏同値と直交する。
まとめると、両者は「双対性」の抽象的枠組みの中で統一される。
位相的M理論は物理的な場の変換として双対性を体現し、ラングランズ・プログラムは数論的対象の間の対応として双対性を記述する。どちらも根底にあるのは、対象の自己鏡映的な変換構造。
若き者よ、君はすでに入口に立っている。
次なる問いを君に投げかけよう。
「もし位相的M理論が六次元 (2,0) 理論から始まるならば、なぜ五次元ではなく四次元に還元する必要があるのか？選択肢は以下の通りだ。」
d. 六次元から四次元へのコンパクト化が物理的に必然であるから
昨日は朝から晩まで、チャーン・サイモンズ理論の深淵に没頭していた。朝食は当然、規定量のオートミールと温かい豆乳。タンパク質と繊維質のバランスは、脳の活動効率に直結するからね。
午前中は、ウィッテン教授が提唱したチャーン・サイモンズ理論と共形場理論の関連性について再考していた。特に、SU(2)ₖ チャーン・サイモンズ理論におけるウィルソンループの期待値が、対応するWZW模型の相関関数と一致するという驚くべき事実は、僕の知的好奇心を大いに刺激する。しかし、僕が今取り組んでいるのは、より複雑なゲージ群、例えばE₈の場合だ。E₈は例外型リー群の中でも最大のもので、その表現論は非常に複雑だ。
午後は、このE₈チャーン・サイモンズ理論における結び目不変量の計算に挑戦していた。特に、結び目理論における「彩色ジョーンズ多項式」の概念を拡張し、E₈の場合に一般化することを試みている。この計算は途方もなく複雑で、通常の数学的手法では手に負えない。そこで僕は、最近開発した新しいアルゴリズム、「超幾何級数を用いた漸近展開法」を応用することにした。この方法を用いることで、今まで不可能と思われていた高次表現における彩色ジョーンズ多項式の漸近挙動を解析的に求めることができる可能性がある。
夕食は、ルームメイトが用意した、おそらく電子レンジで温めただけの代物だったが、僕は研究に没頭していたため、味など全く気にならなかった。食事中も、頭の中ではE₈チャーン・サイモンズ理論のことがぐるぐると回っていた。特に、この理論が量子重力とどのように関係しているのか、という点が僕の最大の関心事だ。一部の物理学者は、チャーン・サイモンズ理論が3次元量子重力の有効理論として現れると考えている。もしそうなら、僕の研究は宇宙の根源に迫る手がかりとなるかもしれない。
夜になって、さらに驚くべき発見があった。僕が開発したアルゴリズムを適用した結果、E₈チャーン・サイモンズ理論における特定の結び目不変量が、数論における「モジュラー形式」と深い関係を持っている可能性が浮上してきたのだ。モジュラー形式は、数論の中でも最も美しい対象の一つであり、楕円曲線や保型形式と密接に関連している。もし僕の予想が正しければ、物理学と数学の間に全く新しい繋がりが見つかるかもしれない。
この発見は、僕を興奮で眠れなくさせた。しかし、興奮している場合ではない。この結果を厳密に証明し、論文にまとめなければならない。今日は一日中、その作業に取り掛かることにしよう。
（追伸）
ルームメイトが僕の部屋に勝手に入ってきて、「落ち着け、壁を叩くのはやめてくれ」と言ってきた。僕はただ、頭の中の数式を整理するために、リズム良く指を動かしていただけなのだが。全く、ルームメイトというのは理解に苦しむ存在だ。
チャーン・サイモンズ理論は、3次元のシュワルツタイプの位相場理論であり、エドワード・ウィッテンによって発展した。この理論は、物理学と数学の両分野で重要な役割を果たす。
チャーン・サイモンズ理論の核心は、その作用がチャーン・サイモンズ3-形式の積分に比例することである。理論のゲージ群Gを持つ多様体M上で、作用Sは以下のように表される：
S = k/(4π) ∫M Tr(A ∧ dA + 2/3 A ∧ A ∧ A)
ここで、kは理論のレベルと呼ばれる定数で、Aはリー群GのリーG代数に値を持つ接続1-形式である。
古典的には、チャーン・サイモンズ理論の運動方程式は以下のようになる：
F = dA + A ∧ A = 0
これは、接続が平坦であることを意味する。つまり、チャーン・サイモンズ理論の古典解は、M上の主G-バンドルの平坦接続に対応する。
量子化されたチャーン・サイモンズ理論は、3次元多様体の位相不変量を生成する。特に、ジョーンズ多項式のような結び目不変量や3次元多様体の不変量の計算に使用される。
凝縮系物性論では、チャーン・サイモンズ理論は分数的量子ホール効果状態の位相的オーダーを記述するのに用いられる。1989年に初めて2+1次元のチャーン・サイモンズ理論が分数量子ホール系に適用された。
境界を持つ多様体上のチャーン・サイモンズ理論を考えると、すべての3次元の伝播する自由度は、境界上のWZW（Wess-Zumino-Witten）モデルとして知られる2次元共形場理論に帰着される。
1982年に、デザー、ジャッキウ、テンプルトンによって3次元のチャーン・サイモンズ重力理論が提案された。この理論では、重力のアインシュタイン・ヒルベルト作用にチャーン・サイモンズ項が追加される。
数学的には、チャーン・サイモンズ理論は多様体のチャーン・サイモンズ不変量を定義する。この不変量は、第一ポントリャーギン数と正規直交バンドルの切断によって表現できる：
さらに、チャーン・サイモンズ項はアティヤ-パトーディ-シンガーのエータ不変量としても表現できる。
チャーン・サイモンズ理論は、物理学と数学の境界に位置する豊かな理論であり、量子場理論、位相的量子計算、結び目理論、低次元トポロジーなど、多岐にわたる分野に影響を与えている。
変換や対称性を体系的に扱うための数学的なフレームワーク。そして私の専攻分野だったもの。
「ヴォーガンの分類理論では、単純リー群の既約表現が極大コンパクト群で分解されると思いますが、分岐則の立場から見ると、極大トーラスに既約表現を制限したときの分規則の端が分類の不変量として用いられるじゃないですか」
男がギョッとしてこちらを振り向く。
「ブリリンスキー－柏原の分類理論との関連性がよく分からなくて……りーくんさんならご教示いただけるかと思い」
男の目が泳ぎ出す。小馬鹿にしきった笑みはいつの間にか消えている。一体どこからどう説明を始めればいいのか分からない顔。
物心ついた頃から、こんな顔を数えきれないほど見てきた。女は大学に行く必要はないと言い切った父親、数学コンクールに女が出るなんてと吐き捨てた小学校の斉藤先生、筑附合格を一番に伝えたかった大好きな山田先輩、学振の特別枠を申請したときのゼミ教授、就活に失敗して目の前から消えた元カレ。
要するに、格下だったはずの女に場を制圧されたとき、男たちが一様に見せる顔。
テーブルを沈黙が支配する。男は口をギュッと結び、食べ残した肉を見つめていた。
これでいいのだ。時間が来ると、男は誰とも目を合わせず、逃げ出すように店を出ていった。彼が街コンに現れることは二度とないだろう。
私のせいで自信を喪失した男たち。ペニスをパンツの中にしまうことを覚えた男たち。そんな彼らの姿をみるたび、私は自己満足の微笑みを浮かべるのだ。
私は図書館を愛用しており、よく通っていた。
ある日の休日いつものように本を借りに行くと目当ての本はなく、貸出中だった。仕方がないので予約しようと司書さんに話しかけると「あれ？」と首を傾げた。なんでも確認するとその本は貸出中にはなっていなかったらしい。お互い怪訝に思いながらも仕方なく、確認しておくとのことでその日は別の本を借りて帰ることにした。
あくる日、同様のことが再びあった。貸出中ではないはずの本が無かったのだ。私はその本に限ってはどうしても目を通したかったので、なんとかならないものかと詰め寄った。しかしそうした本は不思議にも数日後には戻っていることが常だったらしく、数日後には戻ってきますよと軽い態度で対応された。私は憤り、運営の仕方を非難すると図書館側もなるほどと頷き、こうした事態が何度も続くようでは困るとのことで、対策を取りましょうと言ってくれた。私が借りようとしていた本のジャンルには偏りがあり(そのとき借りようとしていたのはリー群に関するものだった)、以前に借りようとして無くなっていた本も同じジャンルの本といえた。
そこで図書館側は数学書をマークすることにし、自然な形で司書さんがその棚を監視することになった。その後、確か三日後だったと思う。高校生が犯人だったことがわかり、彼は万引きのようにして本を借りていた。
そう、万引きではなく、借りていたのだ。
彼は図書カードがないため、借りたい本がある場合には本を鞄へ入れて持ち帰り、後日こっそり元の場所へと戻していたのだという。
確かに無くなっていた本はいつの間にか戻っており、盗まれたわけではなかった。
それでも図書館側は事態を重く受け止め、少年の高校へと連絡することになった。少年は必死に自己弁護し、本は盗んだわけではなくちゃんと返しているじゃないかと言い迫った。しかしそれでも万引きには違いないとして、結局高校へと連絡をしたそうだ。
後日その少年が捕まったことを聞いた。彼は高校を退学となり、それで何もかもが嫌になり、犯行に及んだそうだ。
それを聞いたとき、私は良心の呵責を感じた。直接的でないにしろ彼を退学に追いやったのは私だ。
無くなっていた本が数日後には戻っていることには私も気が付いていたのだ。だからあのとき、私が「どうにかしてくれ」と強く願いでなければ、おそらくあの少年は本を借り続けることができ、そして退学になることはなかっただろう。
そうした自責の念が今でも脳裏を過ぎり、もう遠い昔のことだが、それでも今となっては昨日のことのように思い出す。
私はあの時、どうすればよかったのだろうか。
公理から初めて論述によって命題を示すという手法は現代数学の基本
ユークリッド幾何学では厳密な論証を学ぶことができる
もしユークリッド幾何学を学ばなければ抽象代数学などが理解できなくなることは明らか
微分積分などだけを教えていると群論やガロア理論などが理解できなくなってしまう
ガロア理論では作図が主に扱われるからユークリッド幾何学応用になっている
ユークリッド幾何学はまず中初等教育において論述を教える題材として適している
代数などはただの計算であって厳密ではないがユークリッド幾何学は公理から始めて曖昧さなく命題を示す
これは現代数学の基本であって群論やガロア理論を学ぶ際に必要な能力
代数では多項式とは？集合とは？などが厳密に説明されていないがユークリッド幾何学には曖昧さは無い
ユークリッド幾何学が扱う題材は図形であって初等教育にも馴染みやすい
現代数学を厳密に展開するには公理的集合論まで遡らねばならないが
このような条件を満たす単元は他には無い
群論やガロア理論などの抽象代数学はユークリッド幾何学の考えを継承している
これらが確立されたのは18世紀であり微分積分などはそれよりも大分昔の理論だから厳密性がない
ユークリッド幾何学は現代数学のモデルであるから論述を教えることができる
群論やガロア理論は対称性を扱う数学で対称性とは回転や相似変換などの一般化だから
やはりユークリッド幾何学を学ぶことは群論やガロア理論を学ぶことに役立つ
特に群論では、群の正規群（特異点を持たない群）による商で対称性を分類する
この割り算にはユークリッドの互除法のアルゴリズムを用いることができるからユークリッド幾何学の応用になっている
群論の一部であるリー群ではユークリッド空間の回転である直交群を扱うからこれもユークリッド幾何学が直接役に立つ
ユークリッド幾何学では公理系から始めて命題を証明するがこれは現代数学の基本
群論やガロア理論もこのスタイルを継承していてユークリッド幾何学を学ばないと抽象代数学が理解できない
ガロア理論はユークリッド幾何学と同様に、対称性の公理から作図可能性を論ずる
これはいくつかの公理から始めて可能な手順の組み合わせを厳密に論述することで様々な図形を作図していく
ヒルベルトが提唱した円積問題などもこの応用であって、現代数学において極めて重要
ユークリッド幾何学は公理から始めて論述のみによって命題を証明する
これは現代数学の基本であってガロアの理論やヒルベルトの理論などがその手法を受け継いでいる
ユークリッド幾何学をやらないと抽象代数学などを理解できなくなってしまう
代数などでは計算しかやらず概念の定義が曖昧だがユークリッド幾何学の論述には曖昧さが一切無く
クライアント様企業のわがままに付き合って労働をしていた結果、土/日/月と会社に缶詰になっていた。
豊洲の綺麗な夜景を照らす蛍族としての活動が終わり、ようやく家に帰れることになった。
いっときの開放感にワクワクするものの、このワクワク感を共有していた友達も今では少なくなってしまった。
具体的には他の企業に連れ去られたり、良さそうなベンチャー企業に逃げ込んだり、実家に帰って農家をしたりするようになってしまった。
こういう時に思考は良くない方向に転がり込むもので、ファミマで晩ご飯を選びながら
夏の日の思い出とか、そういうふんわりとした言葉にならないノスタルジックな気持ちでいっぱいになっていた。
しかし、よくよく考えると、夏の日の思い出とか甘酸っぱいエピソードとかそういうのは何一つ無いし、
サークルで合宿だのBBQをやっても後片付けばかりしていたし、未だに好きな女の子と手をつないだこともない。
「良かった」と振り返るだけの青春も自分の手元には残ってはいない。
となると、クライアント企業様にExcelを納品するために生まれてきたのか俺は...？
などと考えているうちに「あっ、もうだめ」と思った。
デブの特権としてアイスクリームコーナーに向かうと、なんとなく"ギャラクティカグレープフラッペ"の文字が目に入った。
2018年宇宙の味と書かれたそのタイトルを見ながら、そういえば、宇宙に関わる学問を自分が専攻していたことを思い出した。
リー群の表現だの共形場の理論だのAnti-de Sitter空間を触っても宇宙のことは何一つ分からなかった。
「よくよく考えても分からないことがある」という事が分かりました。 という感覚のまま大学を卒業して、
「よくよく分からないままExcelを納品する日々」が始まる。
俺は宇宙のことを何一つ分からないまま、何を生み出すかも分からないExcelを納品しながら日々を無意味に費やしている。
俺は気づけばギャラクティカグレープフラッペをレジに持っていっていた。
あのとき知りたかった宇宙のことが少しでも知れるかもしれない。という淡い期待をしている訳ではない。
俺はきっと変えたかったのだと思う。何も出来なかった自分を。何も出来ずにいる自分を。
蓋を開けて、マシンのボタンを押してミルクを入れる。かき混ぜる。
いざ、覚悟を決めて口にした。
宇宙の味は分からなかったが、夏の夜にちょうどいい、爽やかな味。
なんか話が合いそうだなと思ったので返信。増田なのがちょっと勿体ない気もするけど。
ちなみに俺のバックグラウンドを書いておくと、学生時代の専攻は工学系なんだけど、それにしてはオーバースペックなぐらい数学をかじってた感じの方面。あんまり詳しく書くと特定されそうなんでこの程度で勘弁ね。
"Pattern Recognition and Machine Learning"のビショップも物理出身だけど、あの年代は確かにそういう色が強かったのかもしれない。
確かにその種の傾向は上の世代までかもしれないね。
ビショップが物理出身なのは知らなかったけど、それ聞いてなんか合点のいく気がした。何か妙に数学へのマニアックなこだわりの片鱗が見える割に、数学屋から見ると妙な記号法を使うんだよね、あの人。
全然高度じゃないです＞＜
いや、だからあくまで「工学として」ね。線型代数と、微積の「計算」以外を使うことって工学ではそうないでしょ（フーリエ変換とかだって工学の文脈では所詮「計算」だもんね。）。
制御理論とか機械学習では、関数解析の概念がちょっとだけ出てくるけど、あんなんでも数学屋にとってはオアシスだね。
もっとも、カーネル法関係ではいつも申し訳程度にMercerの定理が言及されているのを見ると「なんだかなあ」っていつも思うけど。
そうそう、あれに限らず統計学の理論の一部にはものすごく違和感あるんだよね。
増田だから書けるけど、情報幾何なんて「お前、双対接続って言いたいだけちゃうんかと」って感じだし、他にも色々、何でも抽象化して一般化すりゃいいってもんじゃないんだぞと言いたくなることが色々。
統計学の理論と機械学習・パターン認識の関係は、数理物理・理論物理と実験物理の関係に似てる気がするんだよね。しかも統計学の場合、普遍的に綺麗な構造なんてものがあると思えないだけに余計に始末が悪い。「ひも理論は実験で検証できないから科学ではない」って批判があるらしいけど、統計学にも同じ批判されても仕方ない理論が色々あるよね。データから何かを推定する理論なのに、データがどれだけあっても実用的には絶対まともな結果が出せないモデルとか。
CVのレイトレーシングで経路積分使って云々というのもあったけど（その人はGoogleに言ってアドセンスかなんか作ってるらしい）、あれもまぁ適当なパス空間で平均とるだけって感じがするし…。
CVはまあ何でもありの世界だよね。誰か無限次元リー群とか使ってみてくれないかなと思う。というか俺自身が一度やろうとして無意味なことに気づいてやめたんだけどさ。
イジングモデルとかその辺は不勉強なんであまりよく知らないんだけど、一般的にその手のモデルは、性能が変わらないだけならいいけど、計算量がどうとかデータ量がどうとかで事実上使えなかったりすることが多いんだよね。着想として物理からアイディアを持ってくるのはいいんだけど、物理から持ってきたアイディアなら必ず筋がいいはずみたいな思いこみ（そう思いたくなる気持ちはよくわかるけど）はどうかと思う。
普通に日本の伝統的新卒採用でそういう会社に行く人はいるけど、やってることは工学とかあるいは良くわからない専攻の人と同じな気がする。これはちょっと曖昧だけど。
うん、そうなってしまうのは仕方ないでしょうね。
ただ逆に、変わり種のバックグラウンド持ってる人は道具箱が豊富だから、新しいこと思いつく可能性もあるわけで、採用されるとしたらむしろそれを買われてじゃないかな。俺自身、工学部の人は普通は絶対知らない数学を色々知ってるので、それをどうにか武器にできないかいろいろ試行錯誤中だよ。というか特許とかの形で発表したのもすでにあるけどね。
特に情報系の分野は実装力で評価されることが多いし…。実装力は数値計算得意とかそういうのとは全く別のスキルだよね。プログラミングマニア的な要素が必要。
分野にもよるけどね。情報システムや計算機自体を専門にして、ハードとかインターフェイスに近い部分をやってたらどうしてもそうなるけど、信号とか画像とか音声とか言語とかの処理のコア部分を作るときにはコーディング能力よりも紙と鉛筆の能力の方が大事・・・、だと思いたい。
どうもパソコンマニア的気質は中高生のときに飽きてしまって、「PCパーツの種類とか流行の言語とか覚えたってどうせ10年したらすぐに廃れるんだから」という感じで、余りはてな民的に新しいネタ追いかけたくないんだよね。クロージャって何ですか、ああそうですね閉包ですね、集合の内部と境界の和集合ですねっていう感性の持ち主なので。正直、コーディングは単純作業と認識してます。
こういう経験が多過ぎる。
具体例を挙げると小学生の時は分数の割り算が意味不明で算数の成績も1/5だったのに中学から今までは有理数に対する認識は特に問題がない。アーベル群としての特性は勿論分かるし稠密性も説明できる。ローラン展開して特異点付近の問題も考察できるしリー群を用いた代数解析も可能。
絵心もなくて生まれてから20年以上ペンを放置してきたけど、ある日ネットを通して手書き映像のやりとり（企画のリアルタイム議論）の必要性が出てきたから絵を描く様なガッツリしたペンタブじゃなくて安い奴を買って試しに遊んでると「ん？小さいストロークでペンタブ回転させながら引ける曲線を適当に配置すればそれなりに描けるぞ！？」という事に気付き今ではpixivの被お気に入り数が80人超です。（非コミュのせいからマイピク数とお気に入り数が0なので新着からしか人が釣れません（あー絵描ける人羨ましいわー俺ももっと絵描ける様になりたいわー（棒読み）））
最近まで自分の足で走る速度も運動神経がなくてかなり遅かったけど元々昔から現在までずっと通勤や通学に片道一日10kmばかし自転車漕いでるので取りあえずダッシュしてみたら周囲から「E！？キモピザオタクがどうして人並みに走れるの！？！？！？ていうか豚が人間みたいに速く走れるとかすごい！！！今度の学会で発表するわ！！！！！！！！！！！！」と驚かれた。これは関係ないけど。
何なんだろうね、これ。
今はてブのトップにこれ（http://twitter.g.hatena.ne.jp/maname/20100121/1263854301）あるけどみんなは特に気にする必要ないと思うよ。
