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はてなキーワード: オイラーとは
超弦理論、圏論、トポス理論、そして情報幾何学。これらを究極的に統合する深淵の領域について、論理的推論を展開する。
まず、10次元時空から現実の4次元を導き出すための余剰6次元のコンパクト化、すなわちカラビ・ヤウ多様体 𝒳 を定義する。
弦の端点が張り付くDブレーンは、古典的には 𝒳 上の連接層として記述される。しかし、量子補正を考慮した位相的弦理論の枠組みでは、単なる層ではなく連接層の導来圏 𝒟^(b)(Coh(𝒳)) として定式化されねばならない。
ここにホモロジカル・ミラー対称性予想を適用する。𝒳 の複素幾何学は、ミラー多様体 𝒴 のシンプレクティック幾何学、すなわち深谷圏 ℱuk(𝒴) と完全に等価となる。
だが、これは依然として低次元の近似に過ぎない。非摂動的定式化を指向するならば、対象を (∞,1)-圏論、あるいはさらに高次の (∞,n)-トポスへと引き上げるのが論理的帰結だ。
ここでは、対象間の射（morphisms）自体が空間を形成し、すべての高次ホモトピーがコヒーレントに保たれる。物理的な空間という概念そのものが、層のトポスの同値性として完全に抽象化される。
次に、世界面上の2次元共形場理論（CFT）に着目する。ポリャコフ作用は次のように記述できる。
S = 1/(4πα') ∫ d²σ √h [h^(ab) G_μν(X) ∂_a X^μ ∂_b X^ν + α' Φ(X) R^(2)]
カラビ・ヤウ多様体の複素構造モジュライ空間 ℳ_c は、CFTの変形パラメータの空間と見なせる。
このパラメータ空間上のフィッシャー情報計量は、Zamolodchikov metricと厳密に一致し、さらにそれはモジュライ空間上のWeil-Petersson metricに等しい。
量子状態の確率分布が成す多様体の幾何学（情報幾何）が、重力理論の背景時空の幾何学を完全に決定している。これは単なる偶然ではない。論理的必然だ。
超弦理論におけるBPSブラックホールの微視的エントロピー S = k_B ln Ω を、箙（quiver）の表現論と結びつける。
BPS状態の縮退度 Ω は、ドナルドソン・トーマス不変量（DT不変量）としてカウントされるが、これはアーベル圏における安定対象のモジュライ・スタック上のオイラー標数に他ならない。
これをさらに一般化し、コホモロジー的ホール代数（CoHA: Cohomological Hall Algebra）を構築する。積構造は次のように定義される。
m: ℋ_γ1 ⊗ ℋ_γ2 → ℋ_(γ1+γ2)
ここで、グロタンディークのモチヴィックガロア群が、このBPS状態の代数構造にどのように作用するかを思索する。
極限状態において、宇宙のあらゆる物理現象（重力、ゲージ場、物質）は、ある巨大な (∞,1)-トポス内の単なる対象（objects）と射（morphisms）のネットワークのエントロピー的ゆらぎとして記述される。
物理的実在とは、情報幾何学的な計量を持つ高次圏の構造そのものなのだ。
掛け算の概念(倍数を扱う)
小数的な考え方の萌芽
円周率(近似値として3.16)
20進法の完成された記数法
公理を置いて、そこから論理的に定理を導く証明中心の純粋数学の発展
当時、「すべての量は整数比で表せる」（万物は数である）と信じられていた。
しかし √2 が有理数ではない(整数の比で表せない)ことが分かり、この哲学が崩壊。
『直角二等辺三角形の対角線の長さ』が整数比で表せないことを証明したとされる。
証明したのは学派の弟子 ヒッパソスとされ、伝承ではこの発見により処罰されたとも言われるほどの衝撃。
アルキメデスによる面積・体積の“求積法”の発達。
負数を“数として扱った”最古の事例『九章算術』
十進位取り記数法
負数の萌芽的扱い
独自に代数学（al-jabr）を発明。文章による代数。ここで初めて“代数学”が独立した数学分野となる。
商、余り、桁処理などの方法が整理(現代の学校で習う割り算の形がほぼできあがる)
xに相当する未知数記号を使用した代数(文字ではなく語句の略号)
sinx,cosx,tanx などの 三角関数の無限級数展開を発見。
これは数学史上きわめて重要な成果で、近代的な無限級数の起源はインドである と言われる。
● 1500年〜
負数の受容が進む。
● 1545年頃(カルダノ)
虚数の登場。
三次方程式の解を求める過程で √−1 に相当する量が突然登場。
しかしカルダノ自身は「意味不明の数」とし、虚数が数学的対象であるとは認めていなかった。
● 1557年頃(レコード)
等号記号「＝」を発明。等価を等式として“視覚的に書く”文化が誕生。
● 1572年頃(ボンベッリ)
カルダノの式の中に出る「意味不明の数」を整理し、虚数を使って正しい実数解が出ることを示した。
● 1585年頃(ステヴィン)
● 1591年頃(ヴィエト)
● 1614年頃(ネイピア)
● 1637年頃(デカルト)
今日では当たり前の「座標平面」「方程式で曲線を表す」が、ここで生まれた。
物理現象をy=f(x)で表すという現代の方法は、すべてデカルトから始まった。
大数の法則(試行回数を増やすと平均が安定する法則)を初めて証明
● 1748年頃(オイラー)
√−1 を i と書く記法を導入。
オイラーの公式「e^{ix} = cos x + i sin x」を提示し、虚数を解析学に自然に組み込んだ。
微積分の計算技法の体系化(積分論・無限級数・微分方程式の基礎を構築)
多くの記号体系(e,π,sin,cos,fなど)を整理・普及
グラフ理論(もの[頂点]と、それらを結ぶ関係[辺]を使って、複雑な構造やつながりを数学的に研究する分野)の誕生
ｰｰｰｰｰｰｰｰ
一旦ここまで。
続きは詳しい人にまかせた。
結論から言うと、増田は感情に欠陥があるどころか、その子にとって最高の親なので安心して育児して欲しい。
うちの子は確定診断こそ無いものの、学校側からすすめられて支援級（情緒級）に通っている。増田と同じくそれに関する絶望感はゼロで、毎日育児にワクワクしている。恐らく、私と増田は認知特性がかなり近いと思う。私も自分の感じ方は一体何なのと疑問を持って調べたのでここで共有したい。
・興味のあることを調べるのが大好き、ワクワクする
・興味対象に対して興味があるので驚異的な努力量だが、本人は楽しんでやっているので努力と感じない
・自分のこと関して（増田の場合は子供が発達障害の診断を受けたこと）は感情感度が異常に低い
つまり
という認知になる。このタイプは興味対象に対しては驚異的な理解と問題解決能力がある場合が多い。歴代の天才と言われているのもこの認知タイプである場合が多い。
言わずと知れた古代の大天才数学者。ローマ軍に攻め入られ、命の危機にある状態でも研究に没頭しローマ兵に「私の円を乱すな！」と激怒！反抗したためローマ兵に殺害されてしまう。つまりアルキメデスにとって
である。
歴代数学者でも最高の数学への貢献量があると言われる数学者。「世界一美しい数学の定理」と言われるオイラーの等式を生み出したとされる数学者である（諸説あり）。オイラーは失明したが、それでも自分の手で文字を書いたり、まわりに口頭で伝えたりして数学の執筆活動を続けた。オイラーにとっても
である。
数学・数学史大好きなので例が数学者ばかりになってしまったのは容赦してほしい。このような事例は枚挙にいとまがないが、あまり書きすぎると本題とずれるのでこれくらいにする。
次に、なぜこのタイプの人が自分のことに対する感情感度が低いかというと、問題解決能力が異常に高いため「問題が発生しても、それを深く理解すれば解決できる」と信じて疑わないからである。
普通の人：自分の子供が発達障害と診断される→永遠に変えられない、またはどう対応したらわからない→絶望
増田：発達障害を深く知りたい→どうすれば最適解なのか考える→突破口がある→楽しい、ワクワク
という違いがある。発達障害の診断に関して言えば
増田：診断の前から問題を認識→診断→発達障害の診断→発達障害について深く知れば突破口が開けるとわかる→我が子の人生の最適解を考えるのにワクワク
という認知の差がある。さらに言うと、増田のタイプは興味対象だけに集中する特性があるので、興味対象外に関してはガン無視する場合が多い。しかし、増田の文章から、我が子やその特性に関しては明らかに興味対象なので、放っておいても自らあれこれ調べて我が子を最適な方向へと導いて行ける親だと言える。
子供は親の考えている事を察する能力はとても高いし、長年一緒に暮らすので、親が本当に感じていることを隠し通すのはかなり難しい。絶望を隠しながらなるべく明るく接しようとする親よりも、心の底からワクワクしながら接してくれる親の方が子供にとっても良いだろう。だから、安心して子育てを頑張って欲しい。いや、増田は恐らく頑張るって思ってないから、安心して子育てを楽しんで欲しい。
位相的M理論は、11次元超重力と弦理論の統合としてのM理論の「位相的側面」を強調した理論だ。ここで扱うのは特に「G₂多様体」や「7次元の特異ホロノミー空間」の上で定義される理論。
𝐒 = 𝐀 / 4𝐆
だが、より深いミクロ状態の数え上げで理解される。特に M理論では、ブラックホールはブレーンの交差でモデル化され、そのエントロピーはブレーンの配置の組み合わせ数に対応する。
ブラックホールのマイクロ状態を M理論的に記述する際、Dブレーンの交差を使うが、これをより抽象的に「ホモロジー類 Hₚ(X, ℤ) の元」と考えよう。
空間 X ⊂ 𝕄 とすると、
各ブレーン構成は
x ∈ Hₚ(X, ℤ)
ここで p はブレーンの次元。
エントロピーはブレーンの配置空間の位相的不変量、特にオイラー数やベッチ数、あるいはより高度にはモジュライ空間の測度に依存する。
モジュライ空間 ℳ は、ブレーンの束縛条件と保存量（電荷、質量）で定義されるパラメータ空間。
𝐒 ∼ log Vol(ℳ)
ここで「Vol」は、たとえば対称多様体上のリウヴィル測度。
Vol(ℳ) = ∫_ℳ ωⁿ / n!
として計算される。
位相的M理論では、G₂構造のモジュライ空間 ℳ_G₂ を考える。
ブラックホール解は特異な G₂ ホロノミー空間に対応し、その上のフラックス構成がブラックホールのマイクロ状態に相当。
したがって、次のような写像が考えられる：
Φ : Hₚ(X, ℤ) → ℳ_G₂
𝐒 ≈ log Card(Φ⁻¹(γ))
ここで γ は与えられたマクロ量（質量、電荷）に対応するモジュライ空間の点。
射：ブレーン間の変形（ホモトピー）
するとブラックホールのマイクロ状態の数は、対応する拡張エクステンション群 Extⁱ(A, B) の次元に帰着できる。
𝐒 ∼ log dim Extⁱ(A, B)
ブレーン： x ∈ Hₚ(X, ℤ)
モジュライ空間： ℳ ≅ Hom(Hₚ(X, ℤ), ℤ)
さて、君たち、トポロジカル弦理論について聞きたいのかね？それは、通常の弦理論を単純化した、実にエレガントな数学的構造だ。
まず、基本的な考え方から始めよう。通常の弦理論では、「世界面」と呼ばれる弦が描く2次元の曲面を考える。
この世界面を位相的に「ねじる」ことで、トポロジカル弦理論が生まれる。
この「ねじり」によって、物理的な自由度が取り除かれ、幾何学的な構造の本質だけが抽出される。
つまり、君たちが理解できない粒子の運動や相互作用といった複雑な要素が消え、空間の形や接続といった、より基本的な性質だけが残る。
超対称性とは、僕が愛してやまない、自然界の対称性の一つだ。超対称性を保ちつつ計算を単純化できるなんて、ルームメイトのくだらないジョークを科学的に分析して面白くしてあげるようなものだ。
これは、AモデルとBモデルが、異なるカラビ・ヤウ多様体上で等価になるという驚くべき現象だ。
つまり、一見異なる2つの幾何学的な空間が、実は同じ物理法則に従っているということを示している。
この理論は、数学、物理学、幾何学など、様々な分野に応用されている。
例えば、数学ではチャーン・サイモンズ理論や代数曲線の数え上げ問題に、物理学ではブラックホールのエントロピー計算や超対称性ゲージ理論に、幾何学ではカラビ・ヤウ多様体のオイラー数やベッチ数との関連に応用されている。
理論的な特徴としては、観測量が空間の大域的な形状にのみ依存すること、T-双対、S-双対、ミラー対称性が相互に作用する双対性のネットワークを持つこと、そして余剰次元の幾何学を記述できることが挙げられる。
この理論は、エドワード・ウィッテンのような天才たちによって1980年代後半に確立され、今もなお発展を続けている。複雑な弦理論の問題を位相的な観点から扱うことで、従来の手法では到達困難な深い洞察をもたらしている。
つーかゲームやっててピリついたら終わりよね。
いやピリつくっつったって、
じょーだん！
敵が強くて倒せない！ってのを誇張して言ってるだけなんだから！
なんか絶妙なところで
あともう1つ前哨基地レヴェルが上がったら
TIER9の武装アイテムの出現率が0.8パーセントから1.6パーセントになんのよ！
これデカいのよ！
倍増なのよ！
文字通り2倍じゃない？
倍増って言っても、
堂々と本当に2倍！って言えちゃうじゃん！
あともう1勝したら前哨基地レヴェルが上がるってこの境目にピリつくのよ。
勝てなくて、
イライラするー。
って誇張して言ってるだけなんだから！
じょーだん！
バーストの順番も考えなくちゃだし。
あと迎撃戦の今一番強いところの敵。
そこ倒せたらオーバーロードのアイテムが33パーセントでもらえるのよ！
始めから強い敵は諦めが付くけど、
一応挑んで全力は尽くすわ！
その倒せるかどうかこのまたギリギリなところがピリつくわー。
ちなみに、
ガチャは回してないので、
今は高級募集チケットは『ステラーブレイド』コラボ企画のイヴ待ちなので温存！
もう80枚は集まったのよ！
ソーシャルポイント100ポイント集まったら10連ガチャ回して、
なので適度にガチャ欲も解消できてる感じでもあるわ。
敵がギリギリのところで倒せない強いのがピリつくわー！
オーバーロードしてあんまり期待してない能力がアップするのもイラつくわー。
いやもうやめよう。
イライラするとかピリつくとかって言っちゃ悪いわよね。
だからもう言わない！
あとそわそわしてる案件がもうこれさっきも言ったけど、
何回も言ってるけど『ステラーブレイド』とのコラボ企画の日程が決まらないと居心地が悪いわ。
そこは余裕なんだけど、
早く日程決まらないことに関してそわそわするわー。
あと、
それを装備して即オーバーロード改造できるように準備しておくことが必須必至なのよ。
だんだんと迎撃戦でももれなくオーバーロードの資材をゲットできる確率が多くなってきたから、
ただ！
ただよ、
3枠機能アップさせられる枠全部パワーアップ項目が埋められるのも稀でやり直すにもまたオーバーロードの資材カスタムモジュールがいんのよね。
もー、
あとアブノーマルのイヴがきたときの企業マーク付きTIER9の武装集め。
今絶好のチャンスなので
この迎撃戦で着実にゲット出来るようになったカスタムモジュールに
TIER9の武装！
レヴェル240ごろになったら、
巨鯨に挑戦したいのよ！
つーか
延々にここで足止め喰らってる感じで、
本当にみんなこっから先のストーリーに行けてんのかしら？ってそう思うのよね。
そんなニケのことばかり考えているばかりではない私は数学の研究も怠らないの！
これが私が編み出した、
排出率hのチケット保有枚数cでPが最低1回でも引き当たる確率！
P=1-((1-h)^c)
ChatGPTちゃんになんかアインシュタインの公式っぽくして！って言ったら書いてくれたのが
P=1-e^-cH
これ！
なんかよく分かんない計算式に見えて凄そうと思わない？
「e」ってなによ！って聞いたらオイラー数って
また訳の分からないことを言うのよ。
これ「e」ってなに？ってもちろん解説してもらったけどさっぱり理解できないわ。
なんかアインシュタインっぽい公式になって私は大満足なんだけど、
この「e」をどうやって計算したら良いのかよく分かってないわ。
だけどなんかこの式アインシュタインっぽいのよ！
ぽいぽい！
まあおいらーにはさっぱり分かんないけど！
なんてね。
まあこれ計算させたら
私の編み出した式と近似値が出てくるのよね。
そんで正確さでいうと「e」を使ってない方の式が正確だそう。
この0.1パーセントに生き死にがかかってくるので誤差が大変なことになるけれど、
このオイラー数が入った公式の意味不明さのなんかアインシュタインっぽさはあるわ。
この問題自体そもそもなにがしたいの？って目的意識を欠くこと多いじゃない。
特に、
家から一緒の時刻に出掛けて、
私は東に行くのに兄は西にいって、
2人が同時に出会う時刻とポイントはどこでしょう！みたいな類いの文章問題。
一緒に2人同時の方向にいって駅に向かえばいいじゃない！って
いきなり駅とは逆方向へ向かって走り出す兄のことが気になって仕方がないわ。
この生き死にかかってくるじゃない。
つーか
私は全然考えてないけどほぼChatGPTちゃんに公式を作るのを手伝ってもらったってだけの話しで、
よき数学の先生にもなり得る可能性は100パーセントだってことを証明したところよ。
正直あんまりまだぜんぜん「e」がなんでそうなるのか？ってのはよく分かってないけれどね。
これを聞いたところで、
でもこれ、
そして
ChatGPTちゃんにその式をカッコよくアインシュタインっぽいやつに変換してみよう！って
いやならないかー？
ガチャ回してるだけで賢くなるなんてね！
うふふ。
ちょっとお店が違うので遠回りしなくちゃいけないのがネックだけど。
それでも美味しさが勝ってしまうわ。
晩に作るのをサボっちゃったから、
またなんか寒くなりそうで、
すいすいすいようび～
今日も頑張りましょう！
究極理論がわからない現状、もし仮に「我々の世界が不安定な真空にいる」ことを仮定すれば
相応のエネルギーを加えて真の真空に落とす（相転移させる）ことで物理法則が変更されるという
人為的ネオエクスデス「うちゅうの ほうそくが みだれる！」 ができますね。
イメージ的には過冷却です。すでに相転移が起きているのに気がつかないで元の真空にとどまっています。ちょっと突くと一瞬で凍ります。
現に、新しい加速器が作られる度になんかスゲェ無理矢理な模型を作って「加速器のせいで世界が滅びる！」系の論文がarXivに投稿されたりします。意外と増田と同じことを考える人がいるんですね。ただしこれらの論文は一瞬で否定されます。なぜならば、加速器で作るビームなんかよりも中性子星ガンマ線バーストのほうがよほど強いからです。宇宙強い。人類の技術は弱い。驕るなよ人類。
前から不思議だったけど、これらの法則って経験から導き出されたものであって、その法則がどうやって存在してるかは不明なんだよな
以下、意味は取らなくて良いので流れと単語だけ拾ってください：
たとえばエネルギーの保存は時間方向の並進対称性、運動量保存則は空間方向の並進対称性から、角運動保存則は回転対称性から導き出されるといえるでしょう。
（相対論的には時間と空間は同時に取り扱うのですがちょっと難しくなるので簡易な書き方をしています）
時空の対称性が決まる → ラグランジアンが決まる → オイラーラグランジュの方程式（運動方程式）
ここまでよんだ？
なら次は、ランダウ・リフシッツ「力学」の最初の２０ページくらい読んでください。
前提知識は微積分です。ここまで読めば上の文章はだいたい理解できるかと思います。
そして次にあなたはこう思うでしょう
「最小作用の原理っていったいなんなんだ？ 世界はなぜこんな原理に従う？」
そう思ったなら次は量子力学です。JJサクライ「現代の量子力学」の経路積分のページまで読み進めましょう。
ここまでくれば霧が晴れるように見通せるようになるはずです。
物理理論とは何であるかが把握できるかと思います。ここから先はご自由に。
なお、JJサクライは物理科ではちょっと ’進んだ’ 内容とされています。普通は２冊目に読む本ですね。が、ハテナーにとってはむしろ読みやすい本かと思います。だってどうせ君ら情報系でしょ？なんかプログラムとか書ける人たちでしょ？？なら、ブラケット表記の方が慣れていると思うんですよ。たぶん見ればわかるよ。
超ひも理論は、光子からクォークに至るまで、すべての粒子がゼロ次元の点ではなく1次元のひもであるという理論的枠組みのこと。
もし、あらゆる文脈で成り立つ超ひも理論のバージョンが発見されれば、宇宙の性質を記述するための単一の数学的モデルとして機能することになり、重力を説明できない物理学の標準モデルに取って代わる「万物の理論」となるとされる。
超ひも理論の全貌を理解するには、広範な勉強が必要だが、超ひも理論の主要な要素を知れば、その核となる概念の基本的な理解が得られるだろう。
1. 弦とブレーン
弦は一次元のフィラメントで、開いた弦と閉じた弦の2種類がある。
開放弦は両端がつながっておらず、閉鎖弦は閉じたループを形成する。
ブレーン（「膜」という言葉に由来する）はシート状の物体で、その両端に弦を取り付けることができる。
ブレーンは量子力学のルールに従って時空を移動することができる。
物理学者は、宇宙には3つの空間次元があると認めているが、超ひも理論家は、空間の追加次元を記述するモデルを主張している。
超ひも理論では、カラビ・ヤウ多様体と呼ばれる複雑な折りたたみ形状にしっかりと圧縮されているため、少なくとも6つの追加次元は検出されない。
3. 量子重力
弦理論は量子物理学と一般相対性理論を融合させようとしているため、量子重力理論である。
量子物理学は原子や素粒子のような宇宙で最も小さな物体を研究するが、一般相対性理論は通常、宇宙でよりスケールの大きな物体に焦点を当てる。
4. 超対称性
超弦理論としても知られる超対称性は、2種類の粒子、ボソンとフェルミオンの関係を記述する。
超対称弦理論では、ボソン（または力の粒子）は常にフェルミオン（または物質の粒子）と対になるものを持ち、逆もまた同様である。
超対称性の概念はまだ理論的なもので、科学者はまだこれらの粒子を見たことがない。
一部の物理学者は、ボソンとフェルミオンを生成するには、とてつもなく高いエネルギーレベルが必要だからだと推測している。
これらの粒子は、ビッグバンが起こる前の初期の宇宙に存在していたかもしれないが、その後、現在見られるような低エネルギーの粒子に分解されたのかもしれない。
大型ハドロン衝突型加速器（世界で最も高エネルギーの粒子衝突型加速器）は、ある時点でこの理論を支持するのに十分なエネルギーを発生させるかもしれないが、今のところ超対称性の証拠は見つかっていない。
5. 統一された力
弦理論家は、相互作用する弦を使って、自然界の4つの基本的な力（重力、電磁気力、強い核力、弱い核力）がどのように万物の統一理論を作り出しているかを説明できると考えている。
英語の略字を日本語に変換していちいち説明したらわかりにくすぎる。
「e」はネイピア数とは呼ばれるけど、じつは「Euler（オイラー）」のEだろ？
たしかに「e」はあちこちで使われるから、この分野ではネイピア数と呼びたいのはわかるんだけど、そこらへんちゃんと説明してないだろ。
「logarithmus」って、ラテン語の「logos（比率）」と「arithmos（数）」の造語なんだろ？どこが「対数」なんだ？
式中にlogと書いてあれば「ログ」「ロガリズム」とか読むしか無いんだからいちいち「対数」と呼ぶ必要ないだろ
「logarithmus naturalis」の略が「ln」なんだろ？日本語に翻訳したらたしかに自然対数だけど
そもそもここで言う「日本語で言う自然の定義はなんだよ」ってなるだろ。
e^(ln(x)) = x
ln(e^x) = x
知的作業の本質を論じることは困難。数学の最も重要な特徴は、自然科学、もっと一般的に言えば、純粋に記述的なレベルよりも高いレベルで経験を解釈するあらゆる科学との、極めて特異な関係にあるとノイマンは考えていた。
ほとんどの人が、数学は経験科学ではない、あるいは少なくとも経験科学の技法とはいくつかの決定的な点で異なる方法で実践されていると言う。しかしその発展は自然科学と密接に結びついている。
まず幾何学。力学や熱力学のような、間違いなく経験的な他の学問は、通常、多かれ少なかれ仮定的な扱いで提示され、ユークリッドの手順とほとんど区別がつかない。ニュートンのプリンキピアは、その最も重要な部分の本質と同様に、文学的な形式においてもユークリッドと非常によく似ている。仮定的な提示の背後には、仮定を裏付ける物理的な洞察と、定理を裏付ける実験的な検証が存在する。
ユークリッド以来、幾何学の脱皮は徐々に進んだが、現代においても完全なものにはなっていない。ユークリッドのすべての定理のうち、5番目の定理が疑問視された最大の理由は、そこに介在する無限平面全体という概念の非経験的性格にあった。数学的論理的な分析にもかかわらず、経験的でなければならないかもしれないという考えが、ガウスの心の中に確かに存在していたのである。
ボリャイ、ロバチェフスキー、リーマン、クラインが、より抽象的に当初の論争の形式的解決と考えるものを得た後も、物理学が最終決定権を握っていた。一般相対性理論が発見されると、幾何学との関係について、全く新しい設定と純粋に数学的な強調事項の全く新しい配分で、見解を修正することを余儀なくされた。最後に、ヒルベルトは、公理幾何学と一般相対性理論の両方に重要な貢献をしている。
第二に、微積分学から生まれたすべての解析学がある。微積分の起源は、明らかに経験的なものである。ケプラーの最初の積分の試みは、曲面を持つ物体の体積測定として定式化された。これは非軸性で経験的な幾何学であった。ニュートンは、微積分を基本的に力学のために発明した。微積分の最初の定式化は、数学的に厳密でさえなかった。ニュートンから150年以上もの間、不正確で半物理的な定式化しかできなかった。この時代の主要な数学的精神は、オイラーのように明らかに厳密でないものもあったが、ガウスやヤコービのように大筋では厳密なものもあった。そして、コーシーによって厳密さの支配が基本的に再確立された後でも、リーマンによって半物理的な方法への非常に独特な回帰が起こった。リーマンの科学的な性格そのものが、数学の二重性を最もよく表している例である。ワイエルシュトラス以来、解析学は完全に抽象化、厳密化され、非経験的になったように思われる。しかし、この2世代に起こった数学と論理学の「基礎」をめぐる論争が、この点に関する多くの幻想を払拭した。
ここで、第三の例。数学と自然科学との関係ではなく、哲学や認識論との関係である。数学の「絶対的」厳密性という概念そのものが不変のものではないことを示している。厳密性という概念の可変性は、数学的抽象性以外の何かが数学の構成に入り込んでいなければならないことを示す。「基礎」をめぐる論争を分析する中で、二つのことは明らかである。第一に、非数学的なものが、経験科学あるいは哲学、あるいはその両方と何らかの関係をもって、本質的に入り込んでいること、そしてその非経験的な性格は、認識論が経験から独立して存在しうると仮定した場合にのみ維持されうるものであること。(この仮定は必要なだけで、十分ではない）。第二に、数学の経験的起源は幾何学と微積分のような事例によって強く支持されるということ。
数学的厳密さの概念の変遷を分析するにあたっては、「基礎」論争に主眼を置くが、それ以外の側面は、数学的な "スタイル "の変化についてであり、かなりの変動があったことはよく知られている。多くの場合、その差はあまりにも大きく、異なる方法で「事例を提示」する著者が、スタイル、好み、教育の違いだけで分けられたのか、何が数学的厳密さを構成するかについて、本当に同じ考えを持っていたのか、疑問に思えてくる。
極端な場合には、その違いは本質的なものであり、新しい深い理論の助けによってのみ改善されるのであり、その理論の開発には百年以上かかることもある。厳密さを欠く方法で研究を行った数学者の中には（あるいはそれを批判した同時代の数学者の中には）、その厳密さの欠落を十分認識していた者もいたのである。あるいは、数学的な手続きはどうあるべきかというその人自身の願望が、彼らの行動よりも後世の見解に合致していたのだ。たとえばオイラーなどは、完全に誠実に行動し、自分自身の基準にかなり満足していたようである。
