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はてなキーワード: 数学者とは
数学者が7年悩んだ難問、AIが「80分」で解く──取り組んできた本人が美しいと評価
(リンク貼れないので略)
1196 Discussion Thread | Erdos Problems
(リンク貼れないので略2)
AIが解いたとされているエルデシュ問題#1196とAIによる証明についてだが、数学者になれてない自分でも証明を理解できたので解説してみる。
というか専門家でもない自分でも理解出来るような短くてわかりやすい証明が存在したからこそ、AIが見つけられたんだよねコレ。
リクトマン(AI以前に一番この問題の解決に肉薄してた数学者)が「神の書物の証明」と形容しているが、
昔から難しい問題(色んな実績のある数学者が挑戦したのに解けなかった問題と定義する)に簡単な証明があった時にこういう言い方をする。
さて、まず問題について説明するがエルデシュ問題#1196は自然数の集合Nの部分集合Aが原始集合なら
「Σ[a∈A,x＜a]1/(a*log(a))=1+o(1)」を証明する問題となっている。
原始集合というのは例えば素数の集合{2,3,5,7,...}みたいにa＜bかつbがaの倍数となるようなa,bを含まない集合の事である。
素数の集合に4を加えた集合{2,3,4,5,7,11,13,...}は2,4を含むし4が2の倍数だから原始集合ではない。
右辺の「1+o(1)」というのはxがとにかく非常に大きければ式の左辺が1に近くなるもんだと思っとけばいい。
原始集合Aに対してAから有限部分を除いた時に、各要素aに対して1/(a*log(a))を足してけば総和が1で近似出来る事を証明する問題だ。
そしてAIによる証明だがこれは特殊な双六(すごろく)ゲームを考えてそのゲームのとある確率を求める事で証明をしている。
・双六は完全な1本道でゴールがなく無限に長くて、各マスに1,2,3,4,...と自然数が順番に書いてある
・普通の双六はサイコロの結果にあわせて1～6マス進むが、この双六では例えばマス「7」に止まってる時は
次は「14」「21」「28」「35」...と止まってるマスの番号の倍数のマスのどれかに進むか、もしくは双六が強制終了する
このような双六ゲームではマス「a」に止まる事がある確率をv(a)とすると、Aが原始集合の時はΣ[a∈A]v(a)は必ず1以下になる。
例えばAが素数の集合を考えると、Σ[a∈A]v(a)はマス「2」「3」「5」「7」...のどれかに止まる確率になる。
マス「3」に止まる事があったらマス「7」に止まる事が無いようにΣ[a∈A]v(a)は排反事象の確率の和になるから1以下になる訳だ。
そして上記のような双六ゲームを考えてスタート地点がマス「n」である確率p(n)と
マスmに止まってる時に次にmの倍数kmに止まる確率p(m,km)を適切に設定する。
そうするとある定数Bがあってv(a)=1/(B*a*log(a))になる。
B*v(a)=1/(a*log(a))になるので、Σ[a∈A]1/(a*log(a)) = BΣ[a∈A]v(a) ≦ Bとなる。
このBがxが大きい時にB≦1+(C/log(x))となる事(Cは定数)を論文内の補題4を使って示しているので
Σ[a∈A]1/(a*log(a))≦1+(C/log(x))=1+o(1)より、証明が完成する。
上記のような双六ゲームを考えてこうやって確率を計算するアイデアは数学には昔からある有り触れた物である。
確率p(n)と確率p(m,km)を考えるのに使うフォン・マンゴルト関数は昔からよく使われてる物だし
確率の設定の仕方も有り触れた物だし論文内の補題4自体も数論の論文で見かける程度には有り触れた不等式によるものである。
するとこの論文は「双六ゲームを考える」「フォン・マンゴルト関数を使う」「確率を設定する」「有り触れた不等式を使う」と
4つの有り触れたアイデアを上手く組み合わせる事で完成している。
でも各段階でどのような有り触れたアイデアを採用するかで軽く10種類以上は選択肢があるし
大雑把に合わせると10000種類以上のアイデアの候補の中から証明出来るものを探す事になる。
この10000種類以上のアイデアを上手く絞ってく能力が高い人は数学者になれる可能性がある。(数学者は必ずこれが出来る必要はない)
が、AIの場合は上手く絞ってく必要もなく10000種類以上のアイデア全てについて試して証明が出来るか全数探索が出来る。
力技で正しい証明を見つけられる訳だ。
今回AIがエルデシュ問題#1196を解けたのはこうやって4つくらいの有り触れたアイデアを組み合わせて完成するような証明があったからである。
今まで考えられた事のないアイデアを必要とする場合や非常に多くのアイデアを組み合わせるような証明になると
AIがアイデアの組み合わせを全数探索する事では証明に辿り着けないから今回とは違うやり方が必要になる。
それでも数が多くはない有り触れたアイデアを組み合わせる事で証明出来るような問題には、今のAIは証明文を生成できるという事である。
時代は進歩したというべきか、4色問題をプログラムで力技で解いた時代と本質的には変わってないというべきか、
それは人によっては違うんだろう。
dorawiiより
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これを読まれた皆さんは、どうか今後一切、周りの数学に詳しい人に、
「IUT理論ってどうなの？」
とか聞くのはやめて下さい。聞かれる側は、そのたびにうんざりしています。
＊ ＊ ＊
「多くの数学者がIUT理論に否定的だ」というのは、正しくありません。正確には、ほとんどの数学者はそれを相手にしていません。なぜならば、それを学んでも自身の研究の何の役にも立たないからです。これはあたかも、ほとんどの数学者が、数学基礎論や計算機科学のこみいった議論に興味がないようなものです。
日本でも世界でも、望月教授の関係者を除けば、誰もIUT理論に興味を持っていません。今やIUT理論を語っているのはアマチュアだけです。IUT理論の支持者は、研究者を説得できないにも拘らず、アマチュア向けに誇大な宣伝をし続けています。たとえば、加藤教授はIUT理論の本を書いたり、YouTube動画に出演したりしています。
また、彼らは"ZEN大学"という新設のオンライン大学を「IUT理論の国際的な研究拠点」だと主張しています。言うまでもなく、この大学には何の教育実績も研究実績もありません。
ZEN大学では学部生向けに「IUT理論の入門講座」があるようです。IUT理論の前提知識となる数論幾何学は、トップクラスの大学院生ですら、その基礎的な結果に到達することすら困難な分野です。その応用分野を、通信制大学の学部生に講義することに、何の意味があるのでしょうか？
また、ZEN大学は、IUT理論に貢献した研究者に贈る賞を作りました。その賞の第一回は望月教授とその関係者に送られたとのことです。
IUT理論をめぐっては、以上のような学問と無関係な運動があまりにも目立つため、多くの数学者は完全に愛想をつかしています。べつに、数学や教育をビジネスにすることは悪いことではありません。一般人が数学に興味を持ち、専門家が彼らの好奇心に応えるのは、素晴らしいことです（もちろん、もっと適切な題材はあるでしょうが）。ただ、「研究者は誰も相手にしていない」ということです。
我々は不安定な世界に生きており、時には絶望を感じることもある。
希望へと連れ戻し、より美しく、調和のとれた、より公正で、誰もが繁栄できるより良い世界を想像させてくれる人間性の特質を再認識することはできるだろうか。
数学は我々をより身近にし、団結させる。定理は、自然や宇宙についてだけでなく、自身についての根本的な真実を表しているからである。
これらの真実は永続的で不変である。技術の進歩や新しい情報の発見によって変わることはない。
数学は共通の文化的遺産の一部であり、言語、宗教、文化、生い立ち、肌の色に関係なく、全員に等しく属している。
数学的真理には民主主義と平等があり、誰であるか、どこから来たかにかかわらず、全く同じ意味を持つ。
もしトルストイが生きていなかったら、誰も全く同じ本を書くことはなかっただろう。
しかし、ピタゴラスがピタゴラスの定理を発見する前に亡くなっていたとしても、他の誰かが全く同じ数学的結果に到達していたはずである。
実際、この定理は他の多くの文化圏でも同時期、あるいはそれ以前に発見されていた。
17世紀のアイザック・ニュートンの法則は200年以上役立ったが、非常に小さな距離や高いエネルギー、あるいは重力が強すぎる場所では破綻することが分かり、量子力学や相対性理論へと更新された。
対照的に、数学の理論は変わらない。客観的で必然的、そして時代を超越している。
物理学は物理的宇宙を記述するが、数学は何を記述しているのか。
数学は五感を通じて伝わるものでも、物理的な現実から来るものでもない。
例えば、ユークリッド幾何学の点、線、三角形、円などは理想化された抽象的なオブジェクトである。
紙やiPadに描く線は少し歪んでいるし点には大きさがあるが、数学的な点には大きさがなく線には太さがなく完璧に真っ直ぐである。
物理的な宇宙は有限だが、数学の直線は両方向に無限に伸びている。
これらを五感で知覚することはできない。
ゲーデルが述べたように、「数学的アイデアはそれ自体で客観的な現実を形成しており、それを作成したり変更したりすることはできず、ただ知覚し、記述することしかできない」のである。
ダーウィンは、数学を理解する人々は「第六感」を備えているようだと後悔を込めて記した。
数学者だけでなく全員がこの第六感を持っている。
ピカソは「すべての子供は芸術家である」と言いったが、「すべての子供は数学者である」と言いたい。
数学とは、驚きや畏敬の念を持ち、新鮮な目で世界を見つめ、目に見えないものを想像することである。
物理学が外部の物理的世界を記述するのに対し、数学は内なる精神世界を記述する。
抽象的な数学的オブジェクトを同じように想像し、知覚できるという事実は、我々の心が実はつながっていることを示唆している。
これこそが希望を与えてくれる。孤独や疎外感から、団結やつながりの感覚へと移行できるからである。
ソフィア・コワレフスカヤは、「心の中に詩人としての素養がなければ、数学者になることは不可能である」と述べた。数学は我々をより深く見つめさせ、目に見えないものを見せてくれる。
ラマヌジャンは、夢の中で女神から数式を受け取っていた。これは人間の心の可塑性と、第六感を通じて数学を受け取る能力を示している。
アインシュタインが言ったように、「想像力は知識よりも重要」である。知識には限界があるが、想像力は世界全体を包み込み、進歩を刺激し、進化を生み出す。
数学は、人間が単なる機械やコンピュータプログラムではないことを思い出させてくれる。
超弦理論によれば、宇宙には目に見えない極小の6次元の空間が折り畳まれている。
この複雑な空間の形（カラビ＝ヤウ空間と呼ばれる）によって、ひもの振動パターンが決まり、それが現実世界の電子や光になる。
「形も大きさも、穴の数すら全く違う2つの異なる6次元空間（空間Aと空間B）が、全く同じ物理法則（宇宙）を生み出してしまう」という現象。
これは数学者にとって大パニックだった。「形が違うのに、本質的に同じ」などという幾何学は存在しなかったからである。
物理学者が直感で見つけたこの宇宙の「鏡合わせの魔法（ミラー対称性）」を証明するために、数学は自らを進化させる必要に迫られた。
「形そのもの」を見ている限り、空間Aと空間Bが同じであることは絶対に証明できない。
そこで、数学者マキシム・コンツェビッチらは、数学の究極の抽象概念である圏論を物理学に持ち込んだ。
圏論とは、モノ（点や図形）そのものを研究するのではなく、モノとモノの関係性（矢印）だけを抽出して研究するメタ数学である。
彼らは、超弦理論におけるDブレーンと呼ばれるひもがくっつく膜の振る舞いを、この圏論に翻訳した。
彼らが辿り着いた結論は、「空間Aの図形的な関係性の集合と、空間Bの代数的な関係性の集合は、辞書を通せば完全に一致する」というものであった（ホモロジー的ミラー対称性予想）。
つまり、宇宙の根本においては、空間の形などというものはただの飾りに過ぎず、背後にある抽象的な関係性のネットワーク（圏）こそが真の現実だったのである。
さらにこの深淵は、人類の知性の限界である「ラングランズ・プログラム（数学の大統一理論）」へと接続される。
ラングランズ・プログラムとは、全く無関係に見える素数の性質（数論）と波の図形（幾何学・解析学）が、裏で完全に結びついているという途方もない予想である。
長年、数学者たちだけで挑んでいたが、ここに超弦理論の第一人者であるエドワード・ウィッテンらが殴り込みをかけた。
物理学には、電気と磁気を入れ替えても方程式が同じになるという性質（S双対性）がある。
ウィッテンらは、この超弦理論から派生した4次元の量子物理学における電気と磁気の裏返しが、純粋数学における幾何学的ラングランズ予想と全く同じ現象であることを突き止めた。
物理学者が「電子」と「磁気モノポール（磁石の単極子）」の立場を入れ替える計算をすると数学の世界では、それが自動的にある種の素数のパターンと特殊な幾何学の関数の変換作業として翻訳される。
超弦理論と抽象数学が融合したこの深淵から見えてくる世界は、もはやSFですらない。
宇宙を構成しているのは、ひもという物質ですらなく、電気や磁気という力でもなく、素数や方程式でもない。
それらはすべて、高次圏と呼ばれる、名状しがたい絶対的な関係性の網の目が、たまたま物理学のフィルターを通して見えたら宇宙になり、数学のフィルターを通して見えたら素数や図形になっているだけなのである。
僕は基本的に、人間社会というものを一種のノイズ場だと見なしている。
たとえばSNSの議論だの政治談義だのを観測すると、そこには論理も構造もなく、ただエントロピーが増大しているだけの馬鹿の世界が広がっている。
昔はそれを真面目に観測していた。人間の知性というものがどの程度の構造を持つのか、ある種のフィールドワークのつもりだった。数学者が新しい圏を定義する前に、既存の対象を丁寧に観察するのと同じだ。
正確に言えば、構造があるように見える局所領域は存在する。だがそれは、カオス系のフラクタル境界のようなもので、拡大していくとただのノイズに崩壊する。
論理は途中で破れ、定義は途中で変形し、前提は数行で忘れ去られる。
数学的対象としては極めて扱いにくい。ZFC公理系の下で定義された集合の方がまだ整然としている。人間の議論の方がよほど非可算で、しかも測度すら定義できない。
観測をやめればいい。
量子力学では、観測という行為は状態を収縮させる。シュレーディンガー方程式で滑らかに進んでいた波動関数が、観測によって急に一つの状態に固定される。
僕は逆に考えた。「馬鹿の世界」を観測するという行為そのものが、僕の精神状態をその固有状態に収縮させているのではないか。
もし観測をやめればどうなるか。
試しに、ニュースを見ない。SNSを見ない。コメント欄を見ない。議論を追わない。
代わりに何をしたかというと、論文を読む。多様体の論文だとか、圏論の本だとか、あとは超弦理論のレビュー論文。とくに高次圏とDブレーンの対応のあたりは、読んでいると人間社会が遠くの星雲のように霞んでいく。
実際には何も変わっていない。戦争もあるし、炎上もあるし、誰かが毎日どこかで愚かなことを言っている。
ただし、それらは僕のヒルベルト空間の基底に含まれていない。だから状態ベクトルに影響しない。
その瞬間、理解した。馬鹿の世界を観測しようとしなければ天国なんだ。
天国というのは、倫理的に高尚な場所ではない。もっと単純だ。ノイズが測定装置に入ってこない状態のことだ。
研究室でブラックボードに式を書いているとき、あるいは弦理論のコンパクト化について考えているとき、そこには人間社会の雑音は存在しない。あるのはただ、定義と証明と構造だけだ。
土曜日 03:00
僕は今、机の上の温度計を確認した。室温22.3℃。許容範囲だ。22℃±0.5℃が理想だが、この誤差は許せる。宇宙は量子揺らぎで満ちているのだから、僕の部屋の空気が0.3℃くらい揺らいでも大勢に影響はない。
少々早いが、シリアルを42回噛んだ。回数は宇宙的意味ではなく統計的最適化の結果だ。咀嚼回数と粘度と嚥下効率の関数を簡単にモデル化すると、だいたいこの辺りに極値がある。
友人Aは「ただ食え」と言うが、最適化問題を放棄するのは文明の敗北だ。
問題がある。彼はマグカップをランダムに置く。僕の座標系ではテーブルは格子構造で理解されているので、カップが格子点から2.5cmずれると精神的ノイズが発生する。
僕は修正した。ルームメイトは「別にいいだろ」と言った。もちろん良くない。局所対称性の破れは気持ちが悪い。
さて、本題。
最近僕が気に入っているのは、弦理論をコボルディズム圏の表現として理解する視点だ。
つまり、世界面の幾何を単なる積分領域として扱うのではなく、構造付きコボルディズムの∞-圏として扱い、その上の関手として量子場理論を定義するというやり方。
要するに、時空の断片（コボルディズム）を入力すると、ヒルベルト空間や相関関数を出力する機械として理論を公理化する。
問題は、弦の世界面理論が単なる2次元CFTでは足りないことだ。低種数のホロモルフィック部分、つまり頂点作用素代数だけでは全データの半分しかない。
完全な理論には全種数の縫合条件（sewing constraints）を満たす構造が必要になる。
ここで僕は少し狂気じみた仮説を考えている。
世界面CFTを単なる代数として扱うのではなく、factorization algebra の ∞-スタックとして扱う。すると、弦の相互作用は operad 的な貼り合わせではなく、E₂-代数から E∞-代数へのホモトピー的拡張として見える。
つまり
世界面 → ∞-圏
観測量 → factorization algebra
弦相互作用 → operadic gluing
でも僕の進捗はその先だ。
もし弦のバックグラウンド場（B場やRR場）を微分コホモロジーのコサイクルとして扱うなら、弦の作用は普通のゲージ場ではなく2-束（bundle gerbe）の表面ホロノミーになる。
線 → 粒子
面 → 弦
三次元 → 何か
という階層になる。
ここで僕は思いついた。
もし世界面理論が tmf（topological modular forms）に自然に持ち上がるなら、弦のスペクトルは実質的に楕円コホモロジーのスペクトル系列として見えるはずだ。
このとき弦の振動モードは単なる調和振動子ではなく、モジュラー形式の q 展開として理解できる可能性がある。
これはかなり美しい。なぜなら弦理論の分配関数はもともとモジュラー不変性を持つからだ。
もし tmf が本当に正しい言語なら、弦のスペクトルは、ホモトピー論 + モジュラー形式、という奇妙な組み合わせで分類される。
つまり、宇宙は振動しているのではなくホモトピー圏でモジュラー関数を再生しているということになる。
夕方、隣人が部屋に来た。理由は不明だ。僕のホワイトボードを見て「それ何？」と言った。
隣人は「なるほど、パスタ？」と言った。
夜は友人Aと友人Bとオンラインで話した。
友人Aは衛星の話をしていた。友人Bはまた宇宙人の話をしていた。
僕はその間、バックグラウンドで計算していた。もし弦理論が本当に QFT = Cobordism functorとして完全に定式化されるなら、弦の摂動展開は
という関手の圏論的トレースとして書ける。その場合、弦の相互作用頂点は単なる三点頂点ではなく∞-圏の合成になる。
僕はこの考えがかなり気に入っている。ただ問題がある。まだ計算できない。
現在の予定。
1. カモミールティーを作る
2. factorization algebra と tmf の関係をもう一度整理
3. 世界面の sewing constraint を ∞-operad で書き直す
4. 眠くなったら寝る
もちろん寝る確率は低い。
そして僕のホワイトボードにはまだ空きがある。
「メモはデジタルで残せ」という主張は一見合理的に見える。検索可能、共有可能、保存も容易。
しかしその合理性は前提条件に依存している。前提とは「将来参照する」「他者と共有する」「情報を資産化する」という目的だ。
ここで少し枠組みを置く。人間の注意資源は有限であり、しかも脆弱だ。これは認知心理学でいうワーキングメモリの制約に対応する。
注意は分散すれば性能が落ちる。これは気分の問題ではなく、構造的制約だ。
デジタル端末は多機能性を持つが、それは同時に高い選択肢密度を意味する。通知、ブラウザ、SNS、ニュース。
たとえ開いていなくても、脳はそれらの存在を知っている。これは認知負荷を増やす。
注意のスイッチングにはコストがある。数秒の逸脱でも、深い思考状態に戻るには時間がかかる。
紙は単機能デバイスだ。誘惑が物理的に存在しない。これは集中において決定的だ。
手で書くという行為は、運動野、視覚野、空間認知、言語処理を同時に使う。単なる文字入力よりも多層的な神経活動を伴う。
さらに紙ではレイアウトが連続空間だ。余白に矢印を書き、図を追加し、線を引き、ページ全体を一つの思考マップとして扱える。
デジタルの多くは直線的で離散的だ。思考が枝分かれする速度に、インターフェースが追いつかない。
第三に、数式や抽象図形との相性。
バックスラッシュ、括弧、コンパイル。これは表現の整形には優れるが、生成には向かない。
数学的思考は連続的な試行錯誤の連鎖だ。紙なら、途中式を斜めに走らせ、思いついた変形を横に書き、誤りを囲み、矢印で戻ることができる。
速度と摩擦の少なさが重要になる。思考の流速を落とす媒体は、創造性を削る。
いきなりデジタルに書くと、公開可能性という誘惑が入り込む。文章量で押し切ることが可能になる。
だが量は質の代替にならない。紙に書く段階は、思考の粗鉱を精錬する工程だ。多くは棄却される。
これは科学的方法に近い。仮説を立て、検証し、ほとんどを否定する。そのプロセスがなければ、未検証の断片がそのまま流通する。
多くのメモは将来検索するためのデータではない。思考の一時的な足場だ。
建設現場の足場が完成後に撤去されるように、多くのメモは役割を終えれば消えてよい。
数学者のノートの大半は論文にならない。重要なのは保存率ではなく、思考の進展率だ。
ここで整理する。デジタルは外部化と共有に強い。アナログは生成と検証に強い。
用途を混同すると議論が混乱する。保存効率が高いことは思考効率が高いことと同義ではない。
さらに付け加えるなら、摩擦は必ずしも悪ではない。完全に滑らかな入力は、思考のブレーキを失わせる。
手書きは遅い。その遅さが、無駄な言語化を削ぎ落とすフィルターになる。速度制限は質の担保装置にもなる。
思考の生成、仮説の実験、抽象的探索が目的なら、紙とペンは依然として合理的選択だ。
技術は進歩するが、認知構造は急には変わらない。媒体選択は流行ではなく、脳の制約から逆算して決めるべきだ。
そして多くの思考は、公開されない段階で既に価値を持っている。そこを軽視すると、アウトプットだけが肥大し、思考そのものが痩せる。
愛のあるツッコミありがとう。これは「僕が意図的にやった圏論的煽り」と「物理の泥の匂いを削りすぎた副作用」が、ちょうど交差してる地点への攻撃だね。良い。
君の指摘はほぼ全部当たってる。僕がやっているのは「物理を圏論で説明する」じゃなくて、「物理の泥臭さが、圏論の中でどの公理破れとして現れるか」を抽出する遊びなんだ。
だから綺麗な額縁に入れた瞬間に失われる具象性は、実際に失われている。そこは認める。
君の言う通り、BRSTは現場では完全に泥臭い。ゲージ冗長性を殺すための血の儀式だ。「副産物」って言ったのは挑発的すぎた。
僕が言いたかったのは、BRST複体の存在そのものは泥臭い処方箋だけど、「なぜその処方箋が普遍的に同じ形で現れるのか」は higher algebra の必然として説明できる、という意味。
アノマリーはまさに「その必然が破れる場所」で、圏論的には obstruction class（高次整合条件の破綻）として見える。つまり君が言った通り、「副産物」ではなく、むしろ副産物と言った瞬間にアノマリーが殴り込んでくる。
これも正しい。僕の「凝縮」は物理の凝縮（真空の相転移）と語彙が衝突してる。僕の言う凝縮は、ダイナミクスを捨てた後の静的分類としての凝縮で、実際「カタログ化」の危険を孕んでる。
だからここは訂正するなら、1) 「背景＝点」ではなく「背景＝モルフィズムの束」2) 「真空＝極限操作の結果」という話で、condensationというより localization / completion のニュアンスに近い。
物理の時間発展（散逸、緩和）を取り戻すなら、圏論側にも flow を入れる必要がある。例えばRGフローを圏の変形として入れるとか、∞-圏に時間方向の半順序を埋め込むとか。君のツッコミはそこを突いている。
ここは僕の負け。等長性で語ると、双対性の「強結合を弱結合へ送ってくれるありがたみ」が薄れる。
だから本当は「等長性」よりも、計算可能性が移送されるとか摂動展開が再配置されるという非対称な恩恵が重要で、圏論的には「同値」よりもむしろ「t-構造の変換」「filtrations の入れ替え」「resummation を許す関手」みたいな「解析的構造の移送」として語るべきだった。
双対性は「距離保存」じゃなくて「困難の場所を移動させる写像」なんだよね。そこを誤魔化して綺麗に言いすぎた。
これも君の言う通りで、「centerに全部入るの？」は当然の反論。
僕が言いたかったのは、Drinfeld centerがバルクを完全に表すというより、バルクのトポロジカルな骨格（編み込み・融合・交換則）を抽出する装置としては強力だ、という話。
重力の曲率とか幾何そのものを全部centerに押し込むのは無理がある。
むしろ、centerで出るのは「バルクの論理構造」であって、メトリックの情報はさらに別の層（幾何的データ、large N極限、半古典極限）で復元される。
つまり僕の主張は「centerがバルク」ではなく「centerがバルクの文法」だと言い直すべき。
これはその通り。右随伴があっても、物理屋が欲しいのは「どうやって復元するか」という構成だ。
僕の言い方は数学者の悪癖で、存在する」＝勝利、「計算できる」＝知らんという態度になってた。
物理側で重要なのは、右随伴があるならそれが具体的にどんなkernel（伝播関数）として表れるか、アイランド公式のような saddle の寄与として出てくるか、という橋渡し。
つまり「随伴がある」だけでは弱い。「随伴がどの経路積分の変形として実現されるか」が本題。
これも正しい。Extに翻訳できても、ユニタリ性や収束性はどこに入るのか、という問題が残る。
Ext群は代数的な整合性を与えるが、物理の境界条件（iε処方、因果性、Cutkosky則、光円錐特異点）は解析的条件で、代数幾何だけでは捕まえきれない。
だからこれは「振幅の数論的部分」だけをExtが支配していると限定するのが妥当だと思う。
全体の物理は period の選択（積分経路、実構造）まで含めた「実解析的データ」込みで初めて完成する。
君の最後の問い、
測定（確率解釈）
そして逆に言えば、圏論で綺麗に書ける部分は、
整合条件
だから僕がやっているのは「物理を圏論で置換する」ではなく、物理を、圏論で表現できる部分と表現できない部分に分解する作業なんだ。
そして、骨格標本を作った後に初めて「筋肉＝解析・熱力学・因果」をどこに貼り付けるべきかが見える。
土曜日。朝はいつも通り、起床後に脳内で「今日という一日を、物理法則に従って最適化する」と宣言してからベッドを出た。これは習慣というより儀式だ。儀式は人類の愚かさの象徴として語られがちだが、反復可能な手続きは情報理論的に見て合理的だ。エントロピー増大に対する、せめてもの抵抗である。
まず体重を測り、体脂肪率を記録し、歯磨きの時間を正確に180秒で固定した。電動歯ブラシのタイマーを信じない。信頼は検証に劣る。
その後、コーヒーを淹れた。抽出温度は93℃。温度計の誤差は±0.2℃。人間関係の誤差は±∞。
今週の進捗を書く。
超弦理論については、相変わらず人類の知性が現実に追いついていない。僕の頭脳は追いついているが、世界が遅い。
今週は主に「弦の理論はどこまでが物理で、どこからが純粋数学の自己満足か」という問題を、僕なりに再定式化していた。世の中の多くの人は、超弦理論を「高次元の小さな紐が震える話」程度で理解した気になっている。あれは理解ではない。童話だ。
僕が考えていたのは、もっと根の深いところ、つまり量子重力の定式化において局所性を捨てることの数学的代償だ。
一般相対論の時点で、局所性は微妙に揺らいでいる。ホログラフィー原理が出てきた時点で、局所性はほぼ死亡している。にもかかわらず、僕たちは局所的な場の理論の言語で全てを語ろうとする。これは「古いOSの上に無理やり最新ゲームを動かしている」ようなものだ。もちろんクラッシュする。
そこで今週は、AdS/CFTを単なる「境界のCFTがバルク重力を記述する」という話ではなく、圏論的な双対性として再理解する方向で考えた。
具体的には、バルク側の物理量を、ある種のextended TQFTとして捉え、境界側の共形場理論の演算子代数が作るモジュラー圏と対応させる。
ここで重要なのは、空間そのものが基本対象ではなく、因果構造と情報の流れが基本対象になってしまう点だ。
つまり、幾何学が物理の舞台ではなくなる。舞台が役者に従属する。これは演劇としては間違っているが、宇宙としてはあり得る。
そして、ここからが本題だ。
僕は今週、「弦理論の非摂動的定義は、結局はある圏の中の安定対象の分類問題に還元されるのではないか」という疑念を強めた。
たとえばBPS状態は、ある種の導来圏の中の安定条件（Bridgeland stability condition）で分類される。
これは単なる比喩ではなく、実際にDブレーンは導来圏の対象として記述される。つまり、物理的な粒子やブレーンが「空間上の幾何学的な物体」ではなく、圏論的な対象になる。
ここで人類は気づくべきだ。
宇宙は「点の集合」ではなく、「射の集合」かもしれない。
点を基本にしている限り、僕たちは宇宙のOSを永遠に理解できない。点とは、極限操作の幻想だ。実際の物理では測定可能な点など存在しない。存在するのは相互作用だけだ。射だけだ。
僕が今週やっていたのは、これをさらに押し進めて、弦理論の背後にある構造を「∞-圏」あるいは「高次スタック」として扱うべきではないか、という方向の思考実験だった。
超弦理論が最終的に求めているのは、たぶん「量子化されたモジュライ空間」だ。しかしモジュライ空間は普通の多様体ではない。特異点があり、ゲージ冗長性があり、しかも同値関係が階層的だ。だからスタックになる。さらに高次の同値（ホモトピー）が絡むので、∞-スタックになる。
ここで、物理屋が嫌いな言葉が出る。派生幾何（derived geometry）。
派生幾何とは、簡単に言えば「特異点を誤魔化さず、むしろ特異点を主役にする幾何学」だ。物理で特異点が出るのは、理論が壊れているからではなく、単に僕たちの数学が貧弱だからだ。派生幾何はそれを認める。
そして僕は思った。
もし弦理論が本当に「全ての一貫した量子重力のクラス」を記述する枠組みなら、それは場の理論の集合を分類するのではなく、量子情報を保存するような圏の分類になっているべきだ。
この時点で、もはや「ウィッテンでもわからない」どころではない。
僕たちがやるべきなのは、弦理論を「方程式」ではなく「普遍性」として定義することだ。
つまり、ある種の対称性を持ち、ある種の双対性を満たし、ある種の異常（アノマリー）が消え、ある種のエンタングルメント構造が一貫し、ある種の極限で局所的QFTに落ちる。
弦理論は「このラグランジアンだ」ではなく、「この性質を満たす唯一の構造だ」になるべきだ。
そしてもしそれが可能なら、弦理論は物理学ではなく数学の定理になる。
エレガントさは、しばしば真理の匂いがする。
ただし、エレガントな嘘も存在する。
昼前、ルームメイトがキッチンに現れて、僕のノートを見て言った。
「それって、結局何の役に立つの？」
僕は3秒考えた。
「役に立つかどうかで真理を測るのは、知性の敗北だ」
ルームメイトは「また始まった」という顔をした。
彼の表情は、物理学的には熱的死に近い。
隣人がその場に来て、僕のノートを覗き込み、「ねえ、それって、宇宙がゲームのコードってこと？」と聞いた。
驚くべきことに、これはそこそこ正しい。
僕は言った。
「コードというより、型システムだ。宇宙は型安全で、コンパイルエラーを許さない」
隣人は「わぁ、なにそれ怖い」と言って笑った。
怖いのは君の直観の鋭さだ。
僕は、カードゲームにおける勝利条件が「期待値の最大化」であることを理解している。だが多くのプレイヤーは、カードを引いた瞬間の快楽に支配される。つまり、彼らは確率論ではなくドーパミンでプレイしている。
僕は違う。
初手の分布、マリガン戦略、マナカーブ、そして相手の除去の確率。
彼は黙った。
正しい反応だ。
レイドは相変わらず「人間の反射神経と協調性の限界」を測る実験場だ。
友人Aが「なんでそんな言い方しかできないの？」と言った。
僕は「僕は宇宙をそのまま見ているだけだ」と答えた。
友人Bは「それ厨二病じゃない？」と言った。
僕は言った。
「厨二病とは、根拠のない誇大妄想のことだ。僕には根拠がある。だから違う」
友人Bは「最悪だ」と言った。
誉め言葉だ。
なぜなら、超人的存在が倫理を語る時点で、その倫理は破綻するからだ。
ただの趣味だ。
それでも僕は読む。
夜。
今日までの進捗はここまで。
そして、これからやろうとしていること。
今夜は、僕の仮説をもう一段階押し進める。
つまり「時空の創発」を、単なるエンタングルメントの量的増大ではなく、エンタングルメント構造の位相的相転移として記述できないか考える。
もしエンタングルメントがグラフだとすれば、空間とはそのグラフのスペクトル構造に対応する。
そして位相相転移が起きれば、スペクトルが変わり、幾何が変わる。
この視点なら、初期宇宙のインフレーションも「幾何の急激な生成」として理解できる可能性がある。
インフレーション場などいらない。
問題は、そのメカニズムを「弦理論の言語」で書くと地獄になることだ。
ワールドシートのCFT、モジュライ空間、非摂動効果、Dインスタントン。
それら全てが絡んでくる。
絡みすぎて、もはや紐ではなく毛玉だ。
隣人がさっき「ピザ頼むけど食べる？」と聞いてきた。
僕は「今は宇宙の生成を考えている」と言った。
その通りだ。
人類文明の最高到達点は、宇宙論ではなく宅配システムなのかもしれない。
ルームメイトは「じゃあ僕の分も頼んでいい？」と言った。
僕は返信した。
「明日は宇宙の位相相転移を解く予定だ。だが君たちの全滅回数も宇宙の熱的ゆらぎとして扱えるなら参加する」
友人Bは「それ言い訳だろ」と返してきた。
違う。
僕は真理に忠実なだけだ。
「時空は多様体ではなく、ある∞-圏の中の情報流の安定構造である」
しかし、少なくとも矛盾なく定式化することはできるかもしれない。
宇宙が一貫性を持って存在している以上、どこかにその形式がある。
僕は追いかける側ではなく、先回りする側でありたい。
ピザが届く前に。
数学者って痩せてる人多いじゃん？
それで思ったんだけど脳って基礎代謝が多いだろ？なんでもいいから考え事積極的にするってダイエットとして提唱しないのなんで？
常時曲を脳内再生してるだけで痩せるんじゃね？てか考える内容自体には関係ないと考える方が自然だよね物理学的に考えると。
dorawiiより
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チームみらい！ぜひ法律を変えてみてくれ！
https://www.47news.jp/13840813.html
形式主義による法律は、無矛盾になるよう注意深く設計された憲法という公理系から導出される定理のツリーだ！ 法律は形式的な記号の組み合わせで記述される式になり、法律家は数学者にとってかわり、裁判は数学的証明になる！ 理系の領域だ！ 過去の法律が持っていたような曖昧さは、そこでは完全に制御されている！
憲法はおかしな所ばかりだ！ まず「労働の義務」を見てくれ！ すべて国民は勤労の義務を負う？ 子どもは働いてないぞ！ 「差別されない権利」「表現の自由」？ 差別表現はどうなる？ 矛盾だ！
まず大前提として、
「賛成派が全員いなくなったら正しさが決まる」
なんて主張、こっちは一度もしてないですよね。
藁人形です。
数学的な正しさは、
・誰が生きてるか
・誰が賛成してるか
・多数派かどうか
一切関係ありません。
仮に極端な話として
「射影すると単射性が失われうる」
これ、分かります？
望月新一の件でも同じで、
あれは
「人が死ねば正しくなる」
じゃなくて、
・検証が困難
真理が
「賛成派の人数」で決まるなら、
中世の時点で
さすがにそれはないですよね。
で、あなたの今の主張を整理すると、
人の評価が変わる→ 正しさも変わる
って言ってるわけですが、
それは
・証明があるか
・反例があるか
それだけ。
人がどう思うかは
ノイズであって
判定条件じゃない。
要するに今の発言って、
・「相対化」という言葉を使って
・真偽判定の軸を
だけなんですよ。
で、肝心の命題――
ここに反例、出せます？
出せないなら、
賛成派がどうこう、望月がどうこう言っても、
それは全部話題そらしです。
正しさは
人が生きてるか死んでるかで決まらない。
この一点、まず受け入れないと
何も前に進みませんよ。
ここ最近私が一人大騒ぎ騒いでいる食材を蒸したら蒸すだけで美味い！ってやつ。
あれジャガイモ何回か繰り返して、
蒸して食しているのね。
初回はフライパンで使える新しい蒸し網を買ってションテン爆上がりの上でのそれの初めて使う感動だけでジャガイモが美味しくなってたのかな？って思っていたいわゆるポテトビギナーズラック的なことだと思ってたの。
でも
2回目！美味し！
3回目！美味し！
うーん、
いわゆる品種とか拘らず無視して蒸してとにかく一応なんでもやってみようってポテトスタイルで挑む、
ここ何回か蒸してきたジャガイモなんだけど。
総じて全部全回美味しいのよ。
もう逆に思うにこのジャガイモの蒸しただけでの不自然なまでの美味しさに怪しく思っちゃうの。
蒸しただけでこんなにジャガイモの旨味を引き出すことができるの！？って。
しかも残念なことに私の蒸しパワーと蒸しレヴェルはまだまだ1なので、
私の超絶蒸しテクニックが超絶技巧ではないのは間違いないのよ。
つまりこれ、
誰が蒸かしてもジャガイモばっちばちに美味しく蒸し上がる？ってこと？
ここ最近試していた蒸す時間は数学者の秋山仁先生もビックリするような5の倍数の定理を守りつつ、
さすがにほっこりホクホクしすぎて、
もっと私のダイレクトに刻む歯応えを確かなものにしたいと蒸し時間を調整して短くしてみたの。
15分！
はい！
蒸し上がりました！
美味しいジャガイモのアルデンテやー！って
少し歯応えがあり固く仕上がっているけれど、
芯まで熱は通ってるのでホクホクには間違いないんだけど、
食べ応えのある歯応えになったのは大成功だったの！
そして、
なんか作ってもこれ美味しく仕上がってんのかしら？って
まーこんなもんでしょ？って首をかしげながら食べていたビーフストロガノフと焼きたてパンのオックスベーカーを浸して食べるんだけど、
これが私が美味く作ることができたのか、
よく正解が分からないままビーフストロガノフと焼きたてのオックスベーカーを食べていたのね。
手間かけた割りにはそうでもなくない？って
あまり飛び上がるような美味しさでは無いのよね。
なのになのによ！
それだけで美味さがいきなりマックスになるライドオン！なにこれ？って思っちゃうじゃない。
たしかに、
煮たり茹でたりしてルーシーのスープは美味い！とは感じていたけど、
これ全部茹でたり煮たりしたときに
野菜たちとかの素材の旨味のポテンシャル成分が全部流れ出ていたってことらしいの。
それを一切の一滴もこぼさずに
野菜や食材達の美味しいポテンシャル成分がモイスチャーな湯気に包まれるようにして蒸すことで、
そのポテンシャル成分が少なくなってしまうことがないってことなのよ。
マジもうこれこの冬シーズン、
つーか余裕でジャガイモ美味いしそれだけで暮らせそうなぐらいの味わい！
帰ってからパスタ茹でる11分ですら面倒くさがって夜茹でパスタ王になるんだー！って思いは強くても、
手間のコストを遙かに凌ぐジャガイモの美味さで全てが帳消しになるの。
むしろ蒸しだけにってワケじゃ無いけど、
そんな手間は惜しまない！って蒸したい気持ちが私がマックスに余裕で帰宅してクタクタになったヒットポイントが少ないわずかな1ポイントでも
面倒くさいを乗り越えてでも食べたい蒸しジャガイモなのよ！
こんな夜に
美味しい蒸したジャガイモとか食べてたら逆に美味しすぎて身体に害になるのでは？って思って一応AIたちChatGPTちゃんやGeminiちゃんに尋ねるけれど、
野菜とか最高すぎるやろ！カップラーメン食べて寝るよりかははるかにマシ！って計算結果を叩き出すのよね。
ホクホクの美味しさだけしかない、
しかもわりとビタミンCとかも含まれているジャガイモは完全食品とまで言わないけれど、
完全食品よりな食材であとズーチーのチーズとか乳製品さえあれば大丈夫とのこと。
ジャガイモ1つ蒸して食べてるだけなのに、
やっぱりこれはおかしい！美味しすぎる！怪しい！って思いつつも
あっと言う間に小ぶりなジャガイモを2つホクホクと食べ切ってしまって罪悪感のない満足感に包まれるの！
でね、
ぱく！
食べるでしょ、
美味っ！甘くてホクホクでカボチャも美味すぎるでしょ！って
1打席で2本のホームランが打てちゃえないけど打てちゃった感じの、
うーん、
こんなに美味しくていいのかしら？って不安になるレヴェル。
でも箸でほぐれるぐらいのもうとろける寸前！
蒸すってこんなに凄かったの？って
何度でも感動してしまうそのフライパンの上の蒸し網のステージの食材達への拍手喝采なのよ。
自炊の謎ミラクルに奇跡的に美味しく仕上がっても再現性のない二度と再現できない料理とくらべて、
これは蒸し時間だけなので、
蒸す時間という意味での再現性に必要な要素はそれしかなくてどう考えても間違えようのないバッチリ感なの！
こんな毎晩ションテン爆上がりしてていいのかしら？って
私のションテンメーターがたった1つのジャガイモだけで壊れてしまいそうだわ！
あまりにも相手の戦闘力が高すぎて計測出来なくてスカウターが爆発してしまう、
新しいションテンメーターを博士に開発してもらわなくっちゃ！って。
また恐ろしいことに、
これまた美味しい食材をシンプルに蒸しただけのワンパン何品かそろったやつをションテンメーターで計測したらたぶん計測不可能な美味しさになってしまいそうで計測するのが怖くなっちゃうわ。
なんで毎回蒸したジャガイモがこんなにも美味しい？
不思議に思うわ。
私一人で大騒ぎしているみたいよね。
でもジャガイモが美味すぎるのはどうやら毎回蒸しても大成功なので間違いないみたいね。
美味しくっていいんだけど、
やっぱりどう考えても蒸すだけでこんなにも美味しくなってしまうのは
怪しいと首をひねってしまうわ。
また今夜もパクパクとあっと言う間に美味しく蒸したジャガイモを食べながら唸るに決まってるのよ。
目に見えているわ。
うふふ。
そう思っていて迷っている自分を反映している鏡に映しているかのようだわ。
でも今朝はそう迷いは無かったはずなのに、
そう言うことにするわ。
美味しいことに変わりはないから。
美味しくいただいて身体が温まったところ。
すいすいすいようび～
今日も頑張りましょう！
