天安からアンニョン

久々に数学の話で。

まずはこのAの値を求めたい。このままだとわからないので、

はじめの１を一つずらした場所から書いてみる。

A＝１－１＋１－１＋１－１＋…… ①式

A= 　    １－１＋１－１＋１－１＋…… ②式

 
①式と②式をそれぞれ足し算すると、左辺はエーが二つだから２Aとなり、

右辺はマイナス1とプラス１らがそれぞれ相殺して残るのはいちばん前の1だけとなる。

つまり、

2A＝１

より、A＝1/2 (にぶんのいち)　となる。

また、

B=１－２＋３－４＋５－６＋７－８＋９－…… ③式

として、この値を求める。

このままだと求められないので、上とおなじように、書く位置をひとつずらして書いてみる。つまり、

B=１－２＋３－４＋５－６＋７－８＋９－…… ③式

B=　　１－２＋３－４＋５－６＋７－８＋９－…… ④式

として、③式と④式を足し合わせる。すると、左辺はビーが二つだから2Bとなるし、右辺は

2B＝１－１＋１－１＋１－１＋１－１＋…… 　⑤式

となる。これの右辺は上ですでに求めた。1/2 (にぶんのいち)である。

つまり、

2B＝1/2 　より、　　B=　1/4　（よんぶんのいち）となる。

ここでさらに、

S= １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋　 …… 　⑥式

を考えてみる。これは当然無限大に発散すると思うのだが、そうならないのである。この式の両辺を4倍してみる。すると当然

4S= ４＋８＋１２＋１６＋２０＋　……　　⑦式

となる。上でやったと同じように、この式の右辺の数字を一つ飛びにずらして書いてみる。

つまり、２の下に４、３の下はなにもなし、一つ飛んで４の下に８、５の下はなしで６の下に12のように書いていくわけだ。 

S= １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋　 …… 　⑥式

4S= 　 ４＋　　８＋　　12＋　   16＋　     20＋　…… 　⑧式

この⑧式は、実は⑦式と同じものである。書き方を一つ飛びに記しただけなのだから。

第2項からそれぞれ４、８、１２、１６、２０、２４、、、、、と一つ飛びにかいていくのである。
で、⑥式から⑧式を引いてみる。

S= １＋２＋３＋４＋５＋６＋ ７＋ ８＋ ９＋  10＋　 …… 　⑥式

4S= 　 ４＋　　 ８＋　　12＋　     16＋　       20＋　…… 　⑧式

すると、左辺はマイナス３Sとなる。

右辺はどうなるか。右辺の第1項は１。第2項は２から４を引いてマイナス２。第3項は３。第4項は４から８を引いてマイナス４。

つまり、

右辺＝１－２＋３－４＋５－６＋７－８＋９……

これは上の③式 と同じ形であるから　1/4　とわかる。

すると、左辺はマイナス３S  で右辺は1/4  となるから、－3S＝1/4　となる　

－3S　＝　1/4　より、　S　＝ －1/12 。

つまり、S= １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋　 …… 　の答えは　－1/12（マイナス十二分の一）というわけだ。

そんなばかな。自然数をずっと足していったら、マイナス十二分の一だと！。あほな。

でも、上の式の運びで間違っている部分がどこかあるだろうか。

しかもネットを見ると、有名な数学や量子力学などの論文の中に、

この　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋　 …… ＝－1/12

という式が出てきているらしいのだ。

読者のみなさん、このどこがおかしいのか、筆者にご教示お願い申す。