  |
はてなキーワード: 公理とは
カントの定言命法ってなんかそれっぽい用語を使ってるから何らかの原理みたいに思えるけど、要するに仮言命法とは違って論理性という錦の御旗のないただの主義・主張でしかないんじゃないか？って思った。
他人に最低限の敬意を持ちましょう。って言われてまあそうかもねっていう素朴な共感はあるけど、それは感覚の問題であってそこに論理はない。もっと言えばその感覚すらも社会的に形成されたもの、というかキリスト教の倫理規範そのものなんじゃないか？って思う。
じゃあカントによる道徳の再定義・正当化も、論理性・合理性という現代（？）風な科学のツールで飾り立てつつ、結局は聖書の価値規範をリブートしただけなんじゃないか？って思った。
もっと遡れば、じゃあその他敬を良しとする社会はどう構築されたののか？無から湧いてきたのか？って問題が出てきそうだけど。
神様がそうしたからです、という答えなら簡単に済む。人にそういう機能がプリインストールされてるからです、だとそれも道徳の正当化に使えそうだけど、事実を規範にすり替えないといけない。
道徳の根拠として定言命法を持ち出すのは、少なくとも論理で語れる面については色々と新しい発見をしているすごいカント先生の言う事だから説得力があろうっていう権威主義的な要素もあるんだろうか。
実際に人間の尊厳という概念が社会に影響を与えているというのは事実にしても、それは別に論理的必然性との関係はないよね？って思う。
そんなに徹底して厳格に理詰めで考えてたら、そもそも規範なんてありませんというニヒリズムに辿り着かざるを得ない。
じゃあある程度は感覚的なものに依拠する規範を公理として置いて、そこから道徳の話を始めようって事なのかもしれない。それがキリスト教か人権思想かは知らんけど。
そういう話ならまあ分からんでもないけど、それだとかなり重大な前提条件あっての議論な訳だし、それをさも論理的に話をしてるんですけど？みたいなスタンスで行くのは欺瞞じゃねえか？
Xで共有された動画で塾講師の先生が「要領が悪い奴は定数を動かそうとする、変数をどうにかすべき、だからこういうところが数学を学ぶ意味だ」とか言ってんのよ
いいか、数学ってのは公理から演繹的に体系を導き出す「芸術」だ
証明法にもエレガントさってものがあるし、第一、美しくない公理体系は見向きもされない
定数ってのは物理学の話だ。物理学にはプランク定数h、光の速度c、重力定数G、という基本的な3つの定数があるが、たしかにこれらを「動かそう」という話はしない
あるいは数学にもπやeのような定数はあるが、要領の良さとは無関係であり、動かそうという話もない
しかしそれは常識レベルの話だ、「誰も神の力を持っていない」と言うようなものだからだ
線型回帰を適用したら定数項が出るかも知れないが、これは変数に依存しないというだけの話で、データが変われば動く
政治に対しては努力次第で影響を与えられるし、人間関係だってそうだろう
「努力の大きさに見合わないほど、それを動かすのが難しい」という話をしたいなら、残念ながらそれは「定数」の話ではない、むしろ現象が変数に対して持つ感度の問題である
しかし俺がいいたいのはそういうことじゃない。芸術であるはずのものを「要領の良さ」という低俗なトピックに落とし込むその感性が全く同意できないのである
例えばラングランズ・プログラムの先にあるものはなにか、と考えれば、それは驚愕的な数学の繋がりを示すことであり、陳腐とも言える「要領のいい」応用を目指したものではないだろう
要領の良さというのは、要するに経済学の話であり、数学ではない
わかったか？
もちろん、政治とは無関係で、学ぶことが楽しい分野はたくさんあります。以下にいくつかの例を挙げてみます：
- 数学：数学は純粋な論理とパターンを探求する学問で、政治とは全く関係ありません。また、数学の美しさと深さを理解することは、多くの人々にとって非常に楽しい経験です。
- プログラミング：コンピューターサイエンスとプログラミングは、創造性を発揮し、問題解決のスキルを磨くことができる分野です。また、自分のアプリケーションやウェブサイトを作成することは、多くの人々にとって楽しい経験です。
- 音楽：音楽理論を学び、楽器を演奏することは、芸術的な表現と創造性を追求する楽しい方法です。
- 天文学：宇宙の神秘を探求する天文学は、新しい視点を提供し、私たちの存在についての理解を深めることができます。
これらはあくまで一例であり、他にも多くの分野があります。あなたが何に興味を持つか、何を楽しむかは、あなた自身が最もよく知っていることです。興味があることを追求することで、学びはより楽しく、有意義なものになります。どの分野を選んでも、新しい知識とスキルを得ることは、自己成長と達成感につながります。それぞれの分野が提供する独自の視点と方法論は、私たちが世界を理解する方法を豊かにします。
数学は、例えばZFCの無限の公理を取り入れるかどうかにおいて政治的です。プログラミングはgithubで政治的に評価されます。音楽の評価も政治的です。天文学も、どの理論が評価されるかという点で、一部の学者は非常に政治的態度を取ります。
ご指摘の通り、学問の中には政治的な要素が含まれることがあります。それは、どの理論や方法が受け入れられるか、どの研究が資金を得られるか、どの成果が評価されるかなど、多くの要素が関わってきます。しかし、それらは学問の本質ではなく、人間がその学問をどのように運用するかによるものです。
例えば、数学の中にはZFCの無限の公理のような議論がありますが、それは数学そのものが政治的であるというよりは、その理論をどのように受け入れるか、どのように適用するかという問題です。同様に、プログラミングがGitHubで政治的に評価されることがあるとしても、それはプログラミングそのものが政治的であるというよりは、その成果がどのように評価されるかという社会的な問題です。
音楽や天文学も同様で、それらの分野が政治的であるというよりは、その成果がどのように評価され、どの理論が受け入れられるかという社会的な問題です。これらの問題は、学問の本質からは離れたところで起こるものであり、それぞれの学問が提供する知識や洞察、喜びを否定するものではありません。
したがって、政治的な要素を排除したい場合は、自分自身の学びのプロセスに集中し、自分が得た知識やスキルをどのように適用するかを考えることが重要です。
量子力学における観測者問題についてはよく知られるように、人間の主観性が量子実験の結果に重要な役割を果たしている。
ドイツの物理学者ヴェルナー・ハイゼンベルクによる有名な引用がある。
「私たちが観察するのは現実そのものではなく、私たちの質問の方法にさらされた現実です。」
例えば有名なダブルスリット実験では、スリットの後ろに検出器を置かなければ電子は波として現れるが、検出器を置くと粒子として表示される。
したがって実験プロトコルの選択は、観察する行動パターンに影響する。これにより、一人称視点が物理学の不可欠な部分になる。
さて、数学にも一人称視点の余地はあるか。一見すると、答えは「いいえ」のように見える。
ヒルベルトが言ったように、数学は「信頼性と真実の模範」のようである。
それはすべての科学の中で最も客観的であり、数学者は数学的真理の確実性と時代を超越した性質に誇りを持っている。
ピタゴラスが生きていなかったら、他の誰かが同じ定理を発見しただろう。
さらに定理は、発見時と同じように、今日の誰にとっても同じことを意味し、文化、育成、宗教、性別、肌の色に関係なく、今から2,500年後にすべての人に同じ意味があると言える。
さて、ピタゴラスの定理は、平面上のユークリッド幾何学の枠組みに保持される直角三角形に関する数学的声明である。しかし、ピタゴラスの定理は、非ユークリッド幾何学の枠組みでは真実ではない。
何が起こっているのか?
この質問に答えるには、数学的定理を証明することの意味をより詳しく調べる必要がある。
定理は真空中には存在しない。数学者が正式なシステムと呼ぶものに存在する。正式なシステムには、独自の正式な言語が付属している。
つまり、アルファベットと単語、文法は、意味があると考えられる文章を構築することを可能にする。
その言語には、「点」や「線」などの単語と、「点pは線Lに属する」などの文章が含まれる。
次に正式なシステムのすべての文のうち、有効または真実であると規定した文を区別する。これらは定理である。
それらは2つのステップで構築されれる。まず、最初の定理、証明なしで有効であると宣言する定理を選択する必要がある。これらは公理と呼ばれる。
公理からの演繹は、すべての数学がコンピュータで実行可能な印象を生む。しかし、その印象は間違っている。
公理が選択されると、正式なシステムで定理を構成するものに曖昧さがないのは事実である。
これは実際にコンピュータでプログラムできる客観的な部分である。
例えば平面のユークリッド幾何学と球の非ユークリッド幾何学は、5つの公理のうちの1つだけで異なる。他の4つは同じである。
しかしこの1つの公理(有名な「ユークリッドの5番目の仮定」)はすべてを変える。
ユークリッド幾何学の定理は、非ユークリッド幾何学の定理ではなく、その逆も同様。
ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の場合、答えは明確である。これは、単に説明したいものに対応している。
数学は広大であり、どのように公理を選択するかという問題は、数学の基礎に深く行くと、はるかに感動的になる。
すべての数学的オブジェクトは、いくつかの追加構造を備えたセットと呼ばれるものであるということだ。
たとえば自然数のセット1,2,3,4,...は加算と乗算の演算を備えている。
集合論は特定の正式なシステムによって記述される。Ernst ZermeloとAbraham Fraenkelと、選択の公理と呼ばれる公理の1つに敬意を表して、ZFCと呼ばれる。
今日の数学者は、すべての数学を支える集合論の正式なシステムとしてZFCを受け入れている。
彼らは、無限の公理と呼ばれるZFCの公理の1つを含めることを拒否する。
言い換えれば、有限主義者の正式なシステムは、無限の公理のないZFCである。
無限大の公理は、自然数の集合1,2,3,4,...が存在すると述べている。すべての自然数に対してより大きな数があるという声明(「ポテンシャル無限大」と呼ばれる)よりもはるかに強い声明である。
有限主義者は、自然数のリストは決して終わらないことに同意するが、いつでも自然数の集合の有限の部分集合のみを考慮することに限定する。
彼らは一度にまとめたすべての自然数の合計が実在することを受け入れることを拒否する。
この公理を取り除くと、有限主義者が証明できる定理はかなり少なくなる。
正式なシステムを判断し、どちらを選択するかを決定することができるいくつかの客観的な基準...なんてものはない。
「時間と空間を超越した何かを象徴しているので無限大が大好きだ」と言えば無限大の公理を受け入れることができる。
ゲーデルの第二不完全性定理は、十分に洗練された正式なシステム(ZFC等)は、自身の一貫性を証明することができないと述べている。
数学者は、今日のすべての数学の基礎であるZFCが確固たる基盤にあるかどうかを実際に知らない。
そしておそらく、決して知ることはない。
なぜなら、ゲーデルの第二の不完全性定理によって、より多くの公理を追加することによってZFCから得られた「より大きな」正式なシステムにおけるZFCの一貫性を証明することしかできなかったから。
一貫性を証明する唯一の方法は、さらに大きな正式なシステムを作成することだけだ。
数学を行うためにどの公理を選択すべきかについて、実際には客観的な基準がないことを示唆している。
要するに、数学者が主観的に選んでいるというわけである。自由意志に任せて。
公理のための主観的な基準というのは、より豊かで、より多様で、より実りある数学に導くものを選ぶという人は多い。
これは自然主義と呼ぶ哲学者ペネロペ・マディが提唱する立場に近い。
特定の公理のセットを選択する行為は、量子物理学の特定の実験を設定する行為に似ている。
それには固有の選択肢があり、観察者を絵に導く。
記号操作が一意に定まらないとするなら、それは推論規則や公理系が成立しないことを意味する
数学者も最も基本的な体系が証明できないことは認識しているわけで、「特定の規則や公理を真と仮定とした場合において」他の命題を導こうとするのが数学の考え方
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13293425613
みたいな主張、ようは「数学的に証明されたら感覚的なことではない。感覚じゃない事実なことを示すために証明するんだ」みたいな主張に対する違和感から始まってんだよね、元増田は。
いや、定義自体が、人間にインプットされた「同一/非同一」とか「書き換える」みたいな原始的な観念/身体感覚に依存してる部分が多少なりともあって、このプリセットが全人類で同一か確認する術が不可知なのだから、
「感覚をあいまいなもとみなし、そこから『全く』逃れるために証明するんだ」という考え方は、誤りだろって突っ込みたい動機から始まってるんだよね。全くじゃなく、程度問題だろ、全く感覚の影響を排除できてるというのは思い上がりだろっていう。もちろん厳密であろうと努力する態度は尊いと思うよ。
数の概念は文化や歴史によって変化してきた。古代ギリシアでは、1は数ではなく単位とされていたが、現代では自然数の集合 N の最小の要素とされている。
数の概念は哲学的な問題を引き起こすことがある。無限や超準数といった数は直観に反する性質を持つ。例えば、無限は自分自身に加えても変わらないという性質を持つ（∞+∞=∞）。超準数もまた通常の数の演算法則が成り立たない（ω+1≠1+ω）。
数は実在するのか、それとも人間の心の産物なのかという存在論的な問いもある。数の実在主義は、数は客観的な実在であり、人間の心とは独立して存在すると考える。数の構成主義は、数は人間の心の産物であり、人間の言語や思考に依存して存在すると考える。プラトニズムは、数はイデア界に存在する普遍的な実在であると考える。ピタゴラス主義は、数は万物の根源であると考える。論理主義は、数は論理的な体系から導き出されるものであると考える。
数の概念は数学の基礎付けにも関わる。数学の公理や定理は、数の概念に基づいて構築されているが、その正当性や完全性には限界がある。ゲーデルの不完全性定理は、数の概念を用いた形式体系には矛盾しないが証明できない命題が存在することを示した。
数の概念は、かつて客観的な現実を表すものと考えられていたが、量子論の発展により、数はより複雑で主観的なものである可能性が高まった。古典物理学では、数は物理量と一致していたが、量子論では、数は物理量とは別の抽象的な概念として使われている。
自我や自由意識と同様に、数の本質はまだ解明されていない。しかし、量子コンピューターは数の概念を利用して作られており、数は物理システムを表現する有効なツールであることは、どのレイヤー、スケールにおいても明らかである。
数の概念は私たちの知識や理解を拡張するものであり、同時に私たちの疑問や不確実性を増やすものでもある。
数の概念は、私たちの世界に対する見方を変える力を持っている。(どやああああ)
————————-
「Aかつ¬Aの証明を得ることができる」に対して、「いいや得られない。お前がそのように見せかけているだけだ」おれの計算(記号処理)手続きこそ推論規則に適っているし正しいと、反論されたら？
また、「そもそもここでいう『得る』とは」どういう意味か？と突っ込まれたら曖昧でなく『得る』ということが『得る結果の具体例ではなく』『どういうことか』記述できるのかという話です。
￢￢Ａ→Ａという規則に基づいた結果が
￢￢￢￢￢Ａ→￢￢￢(￢￢Ａ)→Ａ
なんだよ！と言い張られる。もちろん常識的にはおかしいと思えますが、いまは突き詰めたことを言っています。
一般には、￢￢￢￢￢Ａを書き換えるために、この記号列の一部分￢￢Ａに着目して、規則からＡと書き換えられるから、この結果を￢￢￢(￢￢Ａ)に代入？して、￢￢￢Ａに書き換えられる、という思考プロセスをとるでしょう。
しかしあくまでものとしては、ここで考えているのは￢￢Ａではなく￢￢￢￢￢Ａなわけです。
規則通りに書き換えられてない、言い換えるなら同じ規則を使っていないという主張に対して、そもそも同じ規則が適用できているということ、規則が同じとはどういうことか自体を定義や公理に組み込むことはできるのか。
矛盾や証明ということはまだその概念を記号列で示す余地があるが、規則が同じかどうかという定義もとい「規則」は厳密に定義可能かということです(無定義語として関係性の定義でもよい)。図形が合同か、みたいな合同の概念の定義など比べてもまたレイヤーが一段メタ的になっていて厄介というか。「違うのは自明じゃないか！」といっても、自明は説明できてこそ自明なのですが、ここでいう同じかそうでないかということについてはそれを根拠だてる定義は原理的に無理なんじゃないかと思えてしまいます。
さきほど『得る』という言葉に突っ込まれたら云々ということを言いました。
ブコメには「自然言語の曖昧さで数学をの厳密さ否定しようとしてるだけだ」というのがあります。
別に私は自然言語の曖昧さを問題にしていません。そこは問題の本質ではないです。
むしろこうした言葉は一般に疑いようなく明らかなものです。「左右」とか「これやあれ」みたいな近称や遠称の概念などもそう思われるでしょう。
しかしむしろこれらの概念には一切曖昧さはないという前提に立っても、これもごく単純な話で、曖昧でないからといって、いままでその概念を持ってなかった知性的存在に対して、「これ」や「左右」といった「概念」を、対面やジェスチャーを使えばいざしらず、記号列を用いて一意に定義できる保証はないよね、ということです。定義の厳密さを担保する必要条件が、記号論理学に基づくということにあるのなら、数学を厳密とのたまうかぎりにおいて、当然対面やジェスチャーではなく、これとか同じとかみたいなもっとも原始的な部類の言葉まで全て記号で一意に定義できることを示せなければならないでしょう。
あとあなたが↓のトラバと同一だと言ってくれたら以降↓の方のツリーに返信書いて一元化するのでそのつもりで
https://anond.hatelabo.jp/20240216215810
ちなみに関連しそうな話題として自分自身ラムダ式を勉強した経験があるけど
2. ラムダ項M, Nに対して (M N) はラムダ項。この形のラムダ項を適用（ラムダ適用）という。
という定義があるんだけど、これに基づけば(x x)というのもラムダ項じゃないのって思ってた。
でもラムダ式で(x x)なんて形のは見たことないし、違うんだろうなと。
でも論理的にはなぜ違うのか全く納得できてないので(納得感が正しさにとって問題じゃないとはいえあえて言うが)(x x)だってラムダ式でしょって胸を張って言い張れる。
分かってる人からみれば、そして俺にとっても￢￢￢￢￢Ａ→Aと同程度にバカげた主張なんだが、そのわかってる人にとっても「この規則ならこういうことが言えると思うのに、なんで正解とされてるのと自分が思ってることが違うの？」ってなることはあるはずで、それはこの世で一番数学ができる人であってもありえること。この世で一番数学ができる人さえ規則を正しく適用できていないらしいとき、そもそも正しい適用とはなんだってなりそうに思うんだが。
これは本質的な問で、哲学では「規則の問題」あるいは「規則のパラドックス」として知られる古典的な問題意識です。「規則の問題」の議論では足し算などが例として良く用いられますが、ここでは形式的な証明を例に説明します。
形式的な証明体系において、「推論規則」あるいは「公理」は無限種類あるため一覧表を作ることができません。そのため通常は「推論規則型（rule schema）」や「公理型（axiom schema）」と呼ばれる、無限個の論理式をひとつの式で代表したものを使って有限っぽく表示します。例えば、ツリーにある「 A と A → B が証明可能なら B が証明可能」というのは規則スキーマです。これは A と B がどのような論理式でも使える規則型であり、（A と B を具体的な論理式に置換して得られる）無限種類の規則の集まりを有限で表現したものです。例えば「x=0 と x=0 → x^2=0 が証明可能なら x^2=0 が証明可能」は規則の例です。
そして問は、まさに規則型や公理型から規則を得る方法はどうして合意できるのか、ということだと思います。例えば「x=0→x^2=0 と x=0→x^2=0→-x=0 が証明可能なら -x=0 が証明可能」はさきほどの規則型の形に当てはまらないものなのですが、この "事実" を全員が了解しているのがどういう理屈によるのか、というのが問です。そしてこれは正しく「規則の問題」です。
ここからは私見ですが、「規則型から規則を得る方法について全員が一致する見解に到れる」というのは幻想でしょう。ただ、現実に数学を営む上では「規則型から規則を得る方法について数学者の見解は一致している」と思い込んでもこれまで大きな問題を生じてはいないので、問題が生じるまでは別に気にしなくていいのではないか、という感じではないかと思います。元々の問であった教師と生徒の例についていえば、数学者コミュニティに近しい立場である教師がコミュニティの流儀を教えている、ということになるのではないでしょうか。
現代の数学者のほとんどは形式化された数学の体系であるツェルメロ-フレンケル集合論ZFCを使っています.
言及されている通り, ゲーデルの不完全性定理によってZFCが無矛盾であるならばZFCは自身の無矛盾性を証明することができません. ZFCが矛盾している可能性はあります. ZFCの無矛盾性に関しては, 一方でZFCを用いて多くの数学者が数学をしている中でまだ矛盾が見つかってないという傍証もあります.
仮に矛盾が見つかってしまった場合, その後の方向性はいくつか考えられます:
1. その矛盾の証明をよく調べて, その原因を取り除いてZFCより弱い新たな数学体系を構築する.
これに関しては普段の数学をする際にフルでZFCを使っているわけではないので, 合理的なZFCより弱い体系を見つけることができればこれまでの数学を続けることができるかも知れません.
この場合は数学がどうなるか想像がつきません. 数学にとって大打撃になると思います.
他にもZFC以外の別の数学の形式的な基礎づけを与えようという動きもあります. またZFCより改善させるような新しい体系, 公理形を見つける方向の研究もあります.
まず数学的な内容の真偽の判断に納得感や権威などは関係ないです.
あくまで言及されている状況の場合は, 先生の方が想定している証明の体系では生徒が与えた記号列, 文字列が合致しなかったためそれが証明ではないと判定されたのではないでしょうか?
もちろん極論を言えば先生の方から公理や推論規則を全て提示すべきというのはそれはそうですが, そこは暗黙の了解や文脈に依存する話です.
まず数学的な内容の真偽の判断に納得感や権威などは関係ないです.
あくまで言及されている状況の場合は, 先生の方が想定している証明の体系では生徒が与えた記号列, 文字列が合致しなかったためそれが証明ではないと判定されたのではないでしょうか?
もちろん極論を言えば先生の方から公理や推論規則を全て提示すべきというのはそれはそうですが, そこは暗黙の了解や文脈に依存する話です.
言及されている状況を(記号論理のような)推論規則を用いて何らかの証明を書いていると仮定します.
「証明」というものも特定の条件を満たす公理と推論規則を用いた操作の列として(数学的に)定義されています. ここで公理や推論規則などはあらかじめ固定されています.
与えれた記号列, 文字列が証明であるかどうかもその定義に基づいて判定することができます.
言及されている状況での会話ですが, あくまで推察ですがおそらく生徒の書いた証明が証明の体を成しておらず, 皮肉混じりに言ったのではないでしょうか?
哲学など数学以外のことは専門外のため, あくまで数学に関することだけ言及させていただきます.
ユークリッド幾何学に言及されているように数学の歴史は紀元前まで遡りますが, 数学の形式化が意識され始めたのは1900年代以降と最近の話です. 主にヒルベルトによって主導されたものだと私は理解しています. (もちろん多くの数学者がこのプログラムに関わってきました. ) 数学の形式化や形式主義で調べると参考になると思います.
数学的な内容に関して言及したいことは多くありますが, かいつまんで述べさせていただきます.
(あくまでこれは元の記事が間違っているなどと主張しているわけではないです. 現代の数学の考え方や雰囲気の一部を分かっていただければ幸いです. )
現代の形式化された数学は原理的には決められたルール(公理と推論規則)を用いて行われる一連の手続きです. それらの「意味」が何かは一旦全て忘れてください. ここで公理とはあらかじめ定められた記号列で, 推論規則とはいくつかの文字列を用いて新しい文字列を生み出す操作です, 例えば文字列A→BとAが与えられたときに文字列Bを得る操作があります. 定理(数学的命題)とはこの操作によって生み出される文字列です. これらの操作は数学における証明を形式的に記述したものになっています. 論理式などもこの形式化のもとで特定の条件を満たす文字列として定義されます. 例えば論理式Pの否定は¬Pという文字列です. (ここでは否定を表すための記号として¬という文字列を用いています. )
ここまで文字列だけを考えた形式的なものですが, 構造やモデルを使うことによってこれらの文字列を解釈する(つまり意味を与える)ことができます. (詳細は省きます. ) 構造やモデルを定めることによって論理式の意味が一意的に定まります. またそれらの取り方を変えることによって意味が変わることもあります.
これの考え方によって(数学的な)意味は形式から分離されています. さらに気になる場合はゲーデルの完全性定理などを見てください.
そして適切な公理と推論規則を定めることにより数学そのものを形式的に扱うことできます. その適切な公理はツェルメロ-フレンケル集合論(ZFC)と呼ばれており, 現在の数学者はこのZFCを用いて数学をしています. (一部, 圏論などでZFCに収まらない議論があると聞きますが, それらもZFCの適切な拡張を考えることで解決できます. )
つまり, これまでに書かれた数学の証明などは全てこのZFCを用いることで文字列の操作に書き換えることができます.
一方で数学の論文は普段の言葉(自然言語)を使って書かれます. これは本当に全て文字列に書き換えることをした場合, 可読性が著しく落ち, また分量も膨大になるため人が読めないためです. しかし証明は自然言語で書きつつも, いざとなったら形式的に文字列に書き換えることができるという前提に立っています. そしてこれは理論的には可能であり, 数学の厳密性を担保しています.
「定義の一意性」に関してですが私自身が元記事の要点を完全に理解しているわけではないのですが, 数学に関していうとある数学的概念の定義が複数あることはよくあります. もちろんその複数ある定義が同値であることを証明されなければなりません. ここで同値というのはある数学的対象Aが定義Pと定義Qで与えられていた時に, 「Aが定義Pを満たすならば, 定義Qを満たす. またAが定義Qを満たすならば定義Pを満たす. 」ということです. 実際に使う際には用途に合った定義を用いることになります. それらは同値なのでどれを選んでも問題ないです.
以上がざっくりとした形式化された数学に関してです. 参考になれば幸いです.
追記: これは筆者個人の考えですが, 数学と哲学の議論はしっかりと分離してなされるべきだと考えています. もちろん相互の交流はなされるべきですが, 両者を混同するのは誤解や誤りの原因になると思います.
