グロタンディーク構成・逆構成と同値対応

グロタンディーク構成には逆向きの構成があって、それらのペアが“インデックス付き圏の圏”と“ファイバー付き圏の圏”の圏同値を与えます。バンドル-ファミリー対応はその特殊ケースです。前層と“要素の圏”の対応も特殊ケースとなります。そのへんの事情をこの記事で整理します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
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%%
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`$

内容：

バンドル-ファミリーの同値対応

バンドルとファミリーの内容的なことに関しては以下の過去記事とそこからリンクされている記事達を参照してください。

• バンドル-ファミリー対応 再考

$`\cat{C}`$ を圏として、$`S \in |{\bf Set}|`$ は集合だとして、$`S`$ 上の$`\cat{C}`$-値ファミリーの圏は次のように定義します。

$`\quad \mrm{Fam}[S](\cat{C}) := {\bf CAT}(\dimU{S}{1}, {\bf Set}) \; \In {\bf CAT}\\
\text{Then}\\
\quad |\mrm{Fam}[S](\cat{C})| = {\bf SET}(S, |{\bf Set}|) \; \In {\bf SET}
`$

ここで、$`\dimU{S}{1}`$ は $`S`$ から作った 離散圏です*1。$`{\bf CAT}(\dimU{S}{1}, {\bf Set})`$ は、自然変換を射とする関手圏になります。この作り方は、実はDiag構成です。Diag構成については以下の過去記事を参照してください。

• Diag構成： 圏論的構成法の包括的フレームワークとして
• Diag構成の変種とその書き方

対象 $`X \in |\cat{C}|`$ に対するスライス圏〈オーバー圏 | over category〉を $`\cat{C}/X`$ と書きます。スライス圏の別な呼び名（意味は変わらず）が $`X`$ 上のバンドルの圏です。スライス圏の別な書き方（意味は変わらず）として次があります。

$`\quad \mrm{Bun}[X](\cat{C}) := \cat{C}/X \;\In {\bf CAT}`$

$`\cat{C}`$ の対象 $`X`$ が集合だとは限らないので、$`\mrm{Fam}[X](\cat{C})`$ と書いてもそれは無意味かも知れません。しかし、$`\cat{C} = {\bf Set}`$ の場合なら、$`\mrm{Fam}[X](\cat{C})`$ は（$`X`$ が集合なので）必ず意味をもちます。デフォルトで $`\cat{C} = {\bf Set}`$ と置いて、次の略記を採用します。

$`\quad {\bf Fam}[S] := \mrm{Fam}[S]({\bf Set})\;\In {\bf CAT}\\
\quad {\bf Bun}[S] := \mrm{Bun}[S]({\bf Set})\;\In {\bf CAT}
`$

さらに、次の圏同値があります。

$`\quad {\bf Fam}[S] \cong {\bf Bun}[S] \In {\bf CAT}`$

この圏同値を与える関手を $`\mrm{Gr}_S, \mrm{Gr}_S^{-1}`$ とします*2。

$`\quad \xymatrix@C+1pc{
{{\bf Fam}[S]} \ar@/^1pc/[r]^{\mrm{Gr}_S}
& {{\bf Bun}[S]} \ar@/^1pc/[l]^{\mrm{Gr}_S^{-1}}
}\; \In {\bf CAT}
`$

$`\mrm{Gr}_S^{-1}`$ は、厳密な意味での $`\mrm{Gr}_S`$ の逆関手ということではありません。次のような可逆な自然変換 $`\eta, \varepsilon`$ が存在する、ということです。

$`\quad \xymatrix{
{{\bf Fam}[S]} \ar@{=}[r] \ar[d]_{\mrm{Gr_S}}
\ar@{}[dr]|{\underset{\swarrow}{\cong}\, \eta}
& {{\bf Fam}[S]} \ar@{=}[d]
\\
{{\bf Bun}[S]} \ar[r]_{\mrm{Gr}_S^{-1}}
& {{\bf Fam}[S]}
}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$

$`\quad \xymatrix{
{{\bf Bun}[S]} \ar@{=}[r] \ar[d]_{\mrm{Gr_S^{-1}}}
\ar@{}[dr]|{\underset{\nearrow}{\cong}\, \varepsilon}
& {{\bf Bun}[S]} \ar@{=}[d]
\\
{{\bf Fam}[S]} \ar[r]_{\mrm{Gr}_S}
& {{\bf Bun}[S]}
}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$

上記は、ペースティング図によって圏同値を記述しています。ペースティング図による法則の記述法は以下を参照してください。

• 構造記述のための指標と名前 1/n 基本 // 図式による法則の記述

可逆自然変換による法則（スード法則）をテキストで書くなら（以下のアスタリスクは関手の図式順結合記号）：

$`\quad \eta :: \mrm{Id}_{{\bf Fam}[S]} \overset{\cong}{\twoto} \mrm{Gr}_S * \mrm{Gr}_S^{-1}
: {\bf Fam}[S] \to{\bf Fam}[S] \In {\bf CAT}\\
\quad \varepsilon :: \mrm{Gr}_S^{-1} * \mrm{Gr}_S \overset{\cong}{\twoto} \mrm{Id}_{{\bf Bun}[S]}
: {\bf Bun}[S] \to{\bf Bun}[S] \In {\bf CAT}
`$

関手 $`\mrm{Gr}_S, \mrm{Gr}_S^{-1}`$ の下付きの $`S`$ は、文脈から明らかなら省略してかまいません。

$`\mrm{Gr}`$ はグロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉の特別な場合です。$`\mrm{Gr^{-1}}`$ は、グロタンディーク構成の弱い〈スードな〉意味での逆になるので、逆グロタンディーク構成〈inverse Grothendieck construction〉です。

グロタンディーク構成と逆グロタンディーク構成は、バンドルの圏とファミリーの圏の“圏同値”対応を与えます。以下「同値対応」は、“圏同値”を与える対応（関手のペア）の意味です。

記法・概念の整理： バンドル

バンドル-ファミリー対応は、グロタンディーク構成・逆構成の特別な場合であって、より一般的な場合のグロタンディーク構成・逆構成もあります。特別な場合と一般的な場合をまとめて記述するために、記法・概念を整理します。

バンドル（バンドルの圏の対象）を $`A`$ などのラテン文字大文字で表して、バンドルの構成素〈constituent | component〉は次のように書きます。

• $`\base{A}`$ ： $`A`$ のベース集合〈base set〉*3
• $`\o{A}`$ ： $`A`$ のトータル集合〈total set | entire set〉
• $`\pi^{A} : \o{A} \to \base{A} \In {\bf Set}`$ ： $`A`$ の射影〈projection〉

「射影」と呼ぶからといって全射の仮定はしていません。射影は任意の写像です。

バンドル $`A`$ は次のように書きます。

$`\quad A = (\base{A}, \o{A}, \pi^A)`$

この書き方は、冗長な表現です。$`\pi^A`$ が決まれば他は決まってしまうからです。

$`\quad \base{A} := \mrm{cod}(\pi^A)\\
\quad \o{A} := \mrm{dom}(\pi^A)\\
\quad A := (\pi^A : \o{A} \to \base{A} \In {\bf Set})
`$

しかし、ときに冗長な表現のほうが便利なことがあります。

同一のベース集合を持つバンドルだけではなくて、異なるベース集合を持つバンドルのあいだの準同型射〈バンドル射 | bundle morphism〉を考えることができます。
$`\quad A = (\base{A}, \o{A}, \pi^A)`$
$`\quad B = (\base{B}, \o{B}, \pi^B)`$
を2つのバンドルとして、このあいだのバンドル射 $`\varphi`$ は次の構成素からなります。

• $`\base{\varphi} :\base{A} \to \base{B} \In{\bf Set}`$ ： $`\varphi`$ のベースパート〈base part〉
• $`\o{\varphi} : \o{A} \to \o{B} \In{\bf Set}`$ ： $`\varphi`$ のトータルパート〈total part〉

「構成素」「成分」「パート」は同義語ですが、使い分けているのは習慣／歴史的経緯で、特に意味はありません。

バンドル射 $`\varphi`$ は次の法則を満たします。四角形内のイコール記号が図式の可換性を表します（「構造記述のための指標と名前 1/n 基本 // 図式による法則の記述」参照）。

$`\quad \xymatrix{
\o{A} \ar[d]_{\pi^A} \ar[r]^{\o{\varphi}}
\ar@{}[dr]|{ {=} }
& \o{B} \ar[d]^{\pi^B}
\\
\base{A} \ar[r]_{\base{\varphi}}
& \base{B}
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$

バンドル $`B`$ と $`f:\base{A} \to \base{B} \In {\bf Set}`$ に対して、$`B`$ の $`f`$ によるファイバー引き戻し〈fiber pullback〉 $`f^\# B`$ は次のように定義します（「ファイバーの計算の動機としてのプルバック公式 」参照）。

$`\quad f^\# B := (\base{A}, (\base{A} \NFProd{f}{\base{B}}{\pi^B} \o{B}), f^\# (\pi^B) )`$

この定義は、次のプルバック図式に基づいています。

$`\quad \xymatrix {
{ \base{A} \NFProd{f}{ \base{B} }{\pi^B} \o{B} }
\ar[r]_{ } \ar[d]_{ f^\# (\pi^B)}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
& \o{B} \ar[d]^{\pi^B}
\\
\base{A} \ar[r]_{f}
& \base{B}
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$

バンドル射 $`\varphi`$ は次の形にも書けます。

$`\quad \varphi = (\base{\varphi}, \varphi^\flat)
`$

ここで、$`\varphi^\flat`$ はバンドル射のファイバーパート〈fiber part〉で次の法則を満たします。

$`\quad \xymatrix {
\o{A} \ar[r]^-{\varphi^\flat} \ar[d]_{\pi^A}
\ar@{}[dr]|{=}
& { f^\# B}
\ar[d]^{\pi^{f^\# B} = \,\base{\varphi}^\#(\pi^B) }
\\
\base{A} \ar@{=}[r]
& \base{A}
}\\
\quad \In {\bf Set}
`$

ベース集合を固定しないすべての集合バンドル（集合圏におけるバンドル）を対象とする圏を $`{\bf Bun}`$ と書きます。圏 $`{\bf Bun}`$ は、集合圏から作ったアロー圏〈arrow category〉と同じ圏です。圏同型や圏同値ではなくて同一な圏です。

$`\quad {\bf Bun} = \mrm{Arr}({\bf Set})`$

アロー圏については、以下の過去記事で説明しています。

• 自然変換は関手 // アロー圏

記法・概念の整理： ファミリー

以下、ファミリーは集合圏に値を取るファミリーのことだとします。ファミリー（ファミリーの圏の対象）を $`F`$ などのラテン文字大文字で表して、ファミリーの構成素は次のように書きます。

• $`\base{F}`$ ： $`F`$ のインデキシング集合〈indexing set | ベース集合 | base set〉
• $`F`$ ： 写像としての $`F`$ そのもの

ファミリー $`F`$ は次のようにも書きます。

$`\quad F = (\base{F}, F)`$

この書き方も冗長です。が、$`F`$ の域であるインデキシング集合〈ベース集合〉を明示しておくと便利なことがあります。

同一のインデキシング集合〈ベース集合〉を持つファミリーだけではなくて、異なるインデキシング集合〈ベース集合〉を持つファミリーのあいだの準同型射〈ファミリー射 | family morphism〉を考えることができます。
$`\quad F = (\base{F}, F)`$
$`\quad G = (\base{G}, G)`$
を2つのファミリーとして、このあいだのファミリー射 $`\alpha`$ は次の構成素からなります。

• $`\base{\alpha} :\base{F} \to \base{G} \In{\bf Set}`$ ： $`\alpha`$ のベースパート〈base part〉
• $`\alpha^\flat : F \to \base{\alpha}^*(G) \In {\bf Fam}[\base{F}]`$ ： $`\alpha`$ のファイバーパート〈fiber part〉

ここで、$`\base{\alpha}^*(G)`$ は、$`G`$ の $`\base{\alpha}`$ によるプレ結合引き戻し〈pre-composition pullback〉です。

$`\quad \base{\alpha}^*(G) := \base{\alpha} ; G : \base{F} \to |{\bf Set}| \In {\bf SET}`$

ファイバーパート $`\alpha^\flat`$ は自然変換なので、次のような成分を持ちます。

$`\text{For }a\in \base{F}\\
\quad \alpha^\flat_a : F(a) \to G(\base{\alpha}(a) ) \In {\bf Set}
`$

記号の乱用で、$`\alpha^\flat`$ を単に $`\alpha`$ と書くことがあります。さらに、$`\base{\alpha}`$ も単に $`\alpha`$ とオーバーロード（記号の多義的使用）することもあります。乱用・オーバーロードすると、簡潔に書けます。

$`\text{For }a\in \base{F}\\
\quad \alpha_a : F(a) \to G(\alpha(a)) \In {\bf Set}
`$

$`\alpha^\flat`$ は自然変換ですが、$`\base{F}`$ が離散圏（事実上、単なる集合）なので、自然性〈naturality〉の条件は自明に成立します。

インデキシング集合〈ベース集合〉を固定しないすべての集合ファミリーを対象とする圏を $`{\bf Fam}`$ と書きます。一般的なグロタンディーク構成を前提（先取り）して言えば、$`{\bf Fam}`$ は、インデックス付き圏 $`{\bf Fam}[\hyp]`$ のグロタンディーク構成です。

$`\quad {\bf Fam} := {\displaystyle \int_{{\bf Set}} {\bf Fam}[\hyp] }`$

記法・概念の整理： ファイバー付き圏

次はすべて同義語です。

1. ファイバー付き圏〈{fibered | fibred} category〉
2. 圏のファイブレーション〈fibration of categories〉
3. グロタンディーク・ファイブレーション〈Grothendieck fibration〉

ここでは、「ファイバー付き圏」または、単に「ファイブレーション」を使います。呼び名は決めますが、ファイバー付き圏の内容的説明はここではしません。

ファイバー付き圏〈ファイブレーション〉を $`\cat{C}`$ などのカリグラフィー体文字で表して、ファイバー付き圏の構成素は次のように書きます。

• $`\base{\cat{C}}`$ ： $`\cat{C}`$ のベース圏〈base category〉
• $`\o{\cat{C}}`$ ： $`\cat{C}`$ のトータル圏〈total category | entire category〉
• $`\pi^{\cat{C}} : \o{\cat{C}} \to \base{\cat{C}} \In {\bf CAT}`$ ： $`\cat{C}`$ の射影関手〈projection functor〉

ベース射（ベース圏の射）が、トータル圏のデカルト射〈Cartesian morphism〉に持ち上げ可能である、という条件が付きます（詳細は割愛）。

ファイバー付き圏〈ファイブレーション〉 $`\cat{C}`$ は次のように書きます。

$`\quad \cat{C} = (\base{\cat{C}}, \o{\cat{C}}, \pi^\cat{C})`$

$`\pi^\cat{C}`$ が決まれば他は決まってしまうので、この書き方は冗長な表現です。

異なる（かも知れない）ベース圏を持つファイバー付き圏のあいだの準同型関手〈morphism between fibered categories〉はファイバー付き関手〈{fibered | fibred} functor〉と呼びます。
$`\quad \cat{C} = (\base{\cat{C}}, \o{\cat{C}}, \pi^\cat{C})`$
$`\quad \cat{D} = (\base{\cat{D}}, \o{\cat{D}}, \pi^\cat{D})`$
を2つのファイバー付き圏として、このあいだのファイバー付き関手 $`\Phi`$ は次の構成素からなります。

• $`\base{\Phi} :\base{\cat{C}} \to \base{\cat{D}} \In{\bf CAT}`$ ： $`\Phi`$ のベースパート〈base part〉
• $`\o{\Phi} : \o{\cat{C}} \to \o{\cat{D}} \In{\bf CAT}`$ ： $`\Phi`$ のトータルパート〈total part〉

これらは次の可換性を満たします。イコール記号は、四角形が可換であることを示します。

$`\quad \xymatrix{
\o{\cat{C}} \ar[d]_{\pi^\cat{C}} \ar[r]^{\o{\Phi}}
\ar@{}[dr]|{=}
& \o{\cat{D}} \ar[d]^{\pi^\cat{D}}
\\
\base{\cat{C}} \ar[r]_{\base{\Phi}}
& \base{\cat{D}}
}\\
\quad \In {\bf CAT}`$

さらに、$`\o{\Phi}`$ は、$`\o{\cat{C}}`$ のデカルト射を $`\o{\cat{D}}`$ のデカルト射に移します。

$`F: {\cat{A}} \to \base{\cat{D}}`$ を任意の関手として、ファイバー付き圏 $`\cat{D}`$ に対して作った以下のコスパンをプルバック図式に拡張できるか（「圏論におけるフレーム充填問題」を参照）が問題となります。

$`\quad \xymatrix{
{}
& \o{\cat{D}} \ar[d]^{\pi^\cat{D}}
\\
\cat{A} \ar[r]_{F}
& \base{\cat{D}}
}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$

厳密2-圏 $`{\bf CAT}`$ におけるプルバックを考えるので、1-圏と同じというわけにはいきません。しかし、1-圏のプルバックに近い定義を採用すると、ファイバー付き圏 $`\cat{D}`$ を関手 $`F`$ に沿って引き戻したファイバー付き圏 $`F^\# \cat{D}`$ を構成できます。

また、次のようなファイバー付き圏の連鎖から、単に射影関手を結合〈合成〉することで新しいファイバー付き圏を作れます。

$`\quad \xymatrix{
\o{\cat{C}} \ar[d]^{\pi^\cat{C}}
\\
{\base{\cat{C}} = \o{\cat{D}} } \ar[d]^{\pi^\cat{D}}
\\
\base{\cat{D}}
}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$

つまり、ファイバー付き圏（の射影関手）全体の族は、2-圏 $`{\bf CAT}`$ 内において、ファイバー引き戻しと結合に関して閉じた〈closed | 安定した | stable〉族を形成します。この性質があるので、ファイバー付き圏達は、集合バンドル達とほぼ同じように扱えます。次の記法・概念は意味を持ちます。

• $`F^\# \cat{D}`$ ： ファイバー付き圏 $`\cat{D}`$ を、関手 $`F`$ によりファイバー引き戻ししたファイバー付き圏
• $`\Phi = (\base{\Phi}, \Phi^\flat)`$ ： ファイバー付き関手の、ベースパートとファイバーバートによる表示

ファイバー付き圏の全体を考えることができますが、1-圏として組織化するか、2-圏として組織化するかで話が変わってきます。もちろん1-圏レベルの構成のほうが簡単です。

$`{_1 {\bf FibCAT}}[\cat{A}]`$ は、圏 $`\cat{A}`$ をベース圏とするファイバー付き圏達の1-圏とします。射はベース圏を固定するファイバー付き関手です。左下の $`1`$ は、1-圏であることを示しています。$`{_1 {\bf FibCAT}}`$ は、ベース圏を固定しないすべてのファイバー付き圏達の1-圏です。

1-圏レベルなら、通常のグロタンディーク構成が使えるので、次の定義が可能です。

$`\quad {_1{\bf FibCAT}} := {\displaystyle \int_{\dimU{\bf CAT}{1}} {_1{\bf FibCAT}}[\hyp] }`$

記法・概念の整理： インデックス付き圏

インデックス付き圏に関する内容的説明はここではしません。インデックス付き圏に関する比較的新しい記事だと以下があります。

• 最近の型理論： 拡張包括構造を持ったインデックス付き圏 // インデックス付き圏
• 2階インデックス付き圏と反ラックス余錐

インデックス付き圏を $`P`$ などのラテン文字大文字で表して、インデックス付き圏の構成素は次のように書きます。

• $`\base{P}`$ ： $`P`$ のインデキシング圏〈indexing category | ベース圏 | base category〉
• $`P`$ ： 関手としての $`P`$ そのもの

インデックス付き $`P`$ は次のようにも書きます。

$`\quad P = (\base{P}, P)\\
\text{Where}\\
\quad P : \base{P}^\op \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

同一のインデキシング圏〈ベース圏〉を持つインデックス付き圏だけではなくて、異なるインデキシング圏〈ベース圏〉を持つインデックス付き圏のあいだの準同型射〈homomorphism between indexed categories〉を考えることができます。
$`\quad P = (\base{P}, P)`$
$`\quad Q = (\base{Q}, Q)`$
を2つのインデックス付き圏として、このあいだの準同型射 $`\alpha`$ は次の構成素からなります。

• $`\base{\alpha} :\base{P} \to \base{Q} \In \dimU{\bf CAT}{1}`$ ： $`\alpha`$ のベースパート〈base part〉*4
• $`\alpha^\flat : P \to \base{\alpha}^*(P) \In {\bf IndCAT}[\base{P}]`$ ： $`\alpha`$ のファイバーパート〈fiber part〉

ここで、$`\base{\alpha}^*(Q)`$ は、$`Q`$ の $`\base{\alpha}`$ による関手のプレ結合引き戻し〈pre-composition pullback〉です。関手の図式順結合記法はアスタリスクとします。

$`\quad \base{\alpha}^*(P) := \base{\alpha}^\op * P : \base{P}^\op \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$

ファイバーパート $`\alpha^\flat`$ は自然変換なので、次のような成分を持ちます。

$`\text{For }A\in |\base{P}|\\
\quad \alpha^\flat_A : P(A) \to Q(\base{\alpha}(A) ) \In \dimU{\bf CAT}{1}
`$

記号の乱用とオーバーロードをすると、簡潔に書けます。

$`\text{For }A\in |\base{P}|\\
\quad \alpha_A : P(A) \to Q(\alpha(A)) \In \dimU{\bf CAT}{1}
`$

自然変換 $`\alpha^\flat`$ の自然性〈naturality〉の条件は以下の可換図式になります。簡潔にするために、記号の乱用とオーバーロードを使います。

$`\text{For } f:A \to B \In \base{P}\\
\quad \xymatrix{
P(A) \ar[r]^{\alpha_A}
\ar@{}|{=}
& Q(\alpha(A))
\\
P(B) \ar[r]^{\alpha_B} \ar[u]^{P(f)}
& Q(\alpha(B)) \ar[u]_{Q(\alpha(f) ) }
}\\
\quad \In \dimU{\bf CAT}{1}
`$

インデキシング圏〈ベース圏〉を固定しないすべてのインデックス付き圏を対象とする圏を $`{\bf IndCAT}`$ と書きます。$`{\bf IndCAT}`$ は、インデックス付き圏 $`{\bf IndCAT}[\hyp]`$ のグロタンディーク構成です。

$`\quad {\bf IndCAT} := {\displaystyle \int_{ \dimU{\bf CAT}{1} } {\bf IndCAT}[\hyp] }`$

グロタンディーク構成・逆構成による同値対応

$`\cat{A}`$ をサイズが小さいとは限らない圏だとして、$`\mrm{Gr}_\cat{A}, \mrm{Gr}_\cat{A}^{-1}`$ は、次の圏同値を与える関手（のペア）です。圏同値を与えるペアということは、単位・余単位がともに可逆となる随伴ペアだとも言えます。

$`\quad \xymatrix@C+1pc{
{ {\bf IndCAT}[\cat{A}]} \ar@/^1pc/[r]^{\mrm{Gr}_\cat{A} }
& {{\bf ClvFibCAT}[\cat{A}]} \ar@/^1pc/[l]^{\mrm{Gr}_\cat{A}^{-1} }
}\\
\quad \In \dimU{\bf CAT}{1}
`$

このペアについて説明します。

$`{\bf IndCAT}[\cat{A}]`$ は関手圏なので、分かっているモノとしましょう（説明省略）。$`{\bf ClvFibCAT}[\cat{A}]`$ は、前節で整理したファイバー付き圏達の圏ですが、$`{\bf Clv}`$ が付いています（左下付きの $`1`$ は省略しました）。これは、"cloven" のことです。ブログ内検索で "cloven" を探すと、3つの記事がヒットします。

• 14年ぶりにファイバー付き圏
• ファイブレーションにおけるデカルト持ち上げによる平行移動
• 圏のファイブレーション

過去記事において、名詞 "cleavage" の翻訳語は「切開」と「亀裂」でどっちがいいか？ とか迷ってますが、名詞も形容詞も亀裂〈cleavage, cloven〉にします。亀裂は、ファイバー付き圏に具体性を持たせるもので、ファイバー付き圏からインデックス付き圏を構成する逆グロタンディーク構成を確実にします。上記の関手のペアが圏同値を与えることを確実にしたいなら、亀裂ファイバー付き圏〈cloven fibered category〉達（と亀裂を保つファイバー付き関手達）の圏 $`{\bf ClvFibCAT}[\cat{A}]`$ を使うほうがよいでしょう。

$`\mrm{Gr}_\cat{A}`$ は、インデックス付き圏 $`P`$ に次のようなファイバー付き圏を対応させます。

$`\quad \mrm{Gr}_\cat{A}(P) := (\pi^P : {\displaystyle \left(\int_{ \base{P} } P\right) } \to \base{P} \In
\dimU{\bf CAT}{1} )
`$

ここで、$`\pi^P`$ は、グロタンディーク構成に伴う標準的な射影関手です。亀裂も構成できるので、$`\mrm{Gr}_\cat{A}(P)`$ は $`{\bf ClvFibCAT}[\cat{A}]`$ の対象になります。

一方、$`\mrm{Gr}_\cat{A}^{-1}`$ は、亀裂ファイバー付き圏 $`\cat{C}`$ に次のようなインデックス付き圏を対応させます。

$`\quad \mrm{Gr}_\cat{A}^{-1}(\cat{C}) := \lambda\, x : \cat{A}. \cat{C}_{@ x}
`$

ここで、$`\lambda`$ はラムダ記法のラムダ記号です。圏 $`\cat{A}`$ の対象 $`A`$ に、ファイバー付き圏のファイバー $`\cat{C}_{@ A} := (\pi^\cat{C})^{-1}(A)`$ を対応させます。$`\cat{A}`$ の射 $`f`$ には、ファイバー間の“水平方向の移動”による関手 $`\cat{C}_{@ f}`$ を対応させます。

バンドル-ファミリーの同値対応〈圏同値〉は、グロタンディーク構成・逆構成による同値対応の特殊ケースです。また、前層と要素の圏〈category of elements〉の同値対応もグロタンディーク構成・逆構成による同値対応の特殊ケースになります。

この記事では、2-圏 $`{\bf CAT}`$ の2-射を（恒等を除いて）捨て去った1-圏 $`\dimU{\bf CAT}{1}`$ で議論しました。そのほうが簡単だからです。しかし、より広い範囲の応用のためには、2-圏 $`{\bf CAT}`$ をそのまま使う必要があります。2-射が入ると、当然に面倒になります。とりあえずは1-射までにしておきました。

*1:記号 $`\dimU{\hyp}{k}`$ の一般的な意味は「圏の次元調整」を参照。

*2:$`\mrm{Gr}^{-1}`$ は、「ファイバーの計算の動機としてのプルバック公式」ではファイバー関手 $`R`$ と呼んでいた関手です。

*3:$`\base{\hyp}`$ という書き方は、「Diag構成の変種とその書き方」で導入したものです。

*4:$`\base{\alpha} :\base{P}^\op \to \base{Q}^\op`$ としておくと、ほんの少し楽で、混乱が少ないかも知れません。