アロー圏 ＝ バンドルの圏

同一の概念にたくさんの呼び名があるのは、よくあることです。呼び名が違うことで同一性に気付かなかったり混乱したりします。表題にある概念の同一性について整理しておきます。$`\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1} }
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\op}{ \mathrm{op} }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\base}[1]{ {{#1}\!\lrcorner} }
\newcommand{\Vtimes}{\mathop{!\!{\times}} }
`$

内容：

アロー圏

アロー圏については、以下の過去記事で書いています。

• 自然変換は関手 // アロー圏

「アロー」は「射 ＝ 1-射」の同義語です。$`\cat{C}`$ のアロー圏 $`\mrm{Arr}(\cat{C})`$ の対象は $`\cat{C}`$ のアロー〈射〉です。アロー圏の射は、$`\cat{C}`$ の可換四角形です。このことは次のように書けます。

$`\quad |\mrm{Arr}(\cat{C})| = \mrm{Mor}(\cat{C})\\
\quad \mrm{Mor}(\mrm{Arr}(\cat{C})) = \mrm{CommSq}(\cat{C})
`$

ここで、$`\mrm{CommSq}(\cat{C})`$ は可換四角形〈commutative square〉達の集合です。$`\mrm{CommSq}(\cat{C})`$ の要素は次の形をしています。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{=}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad \In \cat{C}`$

四角形のなかに書き込まれたイコールは、四角形が可換であることを示します。可換性を等式で書けば：

$`\quad f;q = p;g\\
\text{Or}\\
\quad p; g = f;q
`$

上の2つの等式は同じことで、通常は区別しません。が、等式も向きを持っている（つまり2-射）と考えて、以下のように区別します。

$`\quad f;q \twoto p;g \In \cat{C}\\
\text{Or}\\
\quad p; g \twoto f;q \In \cat{C}
`$

可換四角形も2種類あると考えます。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{ {_\nearrow =} \:}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad f;q \twoto p;g \In \cat{C}\\
\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{ {^\swarrow =} \:}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad p;g \twoto f;q \In \cat{C}
`$

この等式の向きにより、四角形の向きも決めます。四角形の向きは縦方向か横方向かになりますが、縦横は図の描き方の約束で変わってしまいます。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{ {_\nearrow \twoto} \:}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad f;q \twoto p;g \In \cat{C}\\
\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{ {^\swarrow \Downarrow} \:}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad p;g \twoto f;q \In \cat{C}
`$

向きをどっちに決めても同じ話が出来るのですが、そもそも向きがニ種類あることが混乱の原因となります。「自然変換は関手」では、四角形の向きを縦方向に取りましたが、この記事では（あえて）横方向にとってみます。

アロー圏の射をアロー射〈arrow morphism〉（射のあいだの射という意味）と呼ぶことにして、アロー射の名前はギリシャ文字小文字としましょう。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{p} \ar[d]_{f} \ar@{}[dr]|{ \alpha\, \twoto}
& \cdot \ar[d]^{g}
\\
\cdot \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad \alpha : f \to g \In \mrm{Arr}(\cat{C})
`$

実際に混乱が起きる例として、次の質問を考えてみます。

• å°„ $`\alpha`$ のコドメイン〈余域〉はどれ？

$`\alpha : f \to g \In \mrm{Arr}(\cat{C})`$ なので、当然 $`\alpha`$ のコドメインは $`g`$ です。ところが、$`\alpha`$ のコドメインは $`q`$ だとみなすことがあります。$`\alpha`$ を縦方向だとみなすのか？ いいえ違います。$`\alpha`$ の向きは（上の図のとおり）横方向だとして、それでも「$`\alpha`$ のコドメインは $`q`$」と言うことがあるのです。

その一例は、コドメイン・ファイブレーション〈codomain fibration | 余域ファイブレーション〉です。

• nLab項目：https://ncatlab.org/nlab/show/codomain+fibration

コドメイン・ファイブレーションにおけるコドメイン関手〈codomain functor〉 $`\mrm{cod} : \mrm{Arr}(\cat{C}) \to \cat{C}`$ は、次のように与えられます。

$`\quad |\mrm{Arr}(\cat{C})| \ni f \mapsto \mrm{cod}(f) \in |\cat{C}|\\
\quad \mrm{Mor}(\mrm{Arr}(\cat{C})) \ni \alpha \mapsto q \in \mrm{Mor}(\cat{C})
`$

コドメイン関手の対象パートが、$`\cat{C}`$ のコドメイン写像なので、「コドメイン」と呼んでいるわけです。

• アロー圏のコドメイン写像： $`\mrm{cod}: \mrm{Mor}(\mrm{Arr}(\cat{C})) \to |\mrm{Arr}(\cat{C})| \In \mbf{SET}`$
• アロー圏からのコドメイン関手： $`\mrm{cod}: \mrm{Arr}(\cat{C}) \to \cat{C} \In \mbf{CAT}`$
• コドメイン関手の対象パート： $`\mrm{cod}_\mrm{obj} : \cat{C} \to |\cat{C}| \In \mbf{SET}`$

向きがニ種類あることから、こういうことが起きてしまうのです。

とりあえず、関手としてのドメイン／コドメインは大文字始まりで $`\mrm{Dom}, \mrm{Cod}`$ と書くことで混乱を回避しましょう。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{\mrm{Dom}(\alpha)} \ar[d]_{\mrm{dom}(\alpha)} \ar@{}[dr]|{ \alpha\, \twoto}
& \cdot \ar[d]^{\mrm{cod}(\alpha)}
\\
\cdot \ar[r]_{\mrm{Cod}(\alpha)}
& \cdot
}\\
\quad \In \mrm{Arr}(\cat{C})
`$

デカラージ構成

アロー圏の射は、もとの圏 $`\cat{C}`$ の可換四角形でした。四角形の一辺（今の図の描き方で下の辺）が恒等射である四角形を考えます。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{\mrm{Dom}(\alpha)} \ar[d]_{\mrm{dom}(\alpha)} \ar@{}[dr]|{ \alpha\, \twoto}
& \cdot \ar[d]^{\mrm{cod}(\alpha)}
\\
\cdot \ar@{=}[r]
& \cdot
}\\
\quad \In \mrm{Arr}(\cat{C})
`$

この形の四角形は、$`\cat{C}`$ 内の可換三角形だとも言えます。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[rr]^{\mrm{Dom}(\alpha)} \ar[dr]_{\mrm{dom}(\alpha)}
& {}
& \cdot \ar[dl]^{\mrm{cod}(\alpha)}
\\
{}
& \cdot
&{}
}\\
\quad \text{commutative } \In \cat{C}
`$

下の辺（今の図の描き方で）が恒等射である四角形（あるいは三角形）の全体を射とする圏が構成できます。この圏を $`\cat{C}`$ のデカラージ圏〈décalage category〉と呼びます。$`\mrm{Decal}(\cat{C})`$ と書くことにします。圏からそのデカラージ圏を作る構成をデカラージ構成〈décalage construction〉といいます。

"décalage" は「ずれ、間隔」といった意味のフランス語です。デカラージ構成については、例えば次の論文に記述があります。

• [GKW18-]
• Title: Operadic categories and décalage
• Authors: Richard Garner, Joachim Kock, Mark Weber
• Submitted: 4 Dec 2018
• Pages: 20p
• URL: https://arxiv.org/abs/1812.01750

デカラージ圏は、スライス圏〈オーバー圏〉を寄せ集めたものです。

$`\quad \mrm{Decal}(\cat{C}) = \sum_{X\in |\cat{C}|}\cat{C}/X`$

単に寄せ集めただけで、ファイブレーション〈ファイバー付き圏〉の構造は持っていません。ファイバーがパランパランのファイバー付き圏だと言えなくはないですが。

上の辺（今の図の描き方で）が恒等射である四角形（あるいは三角形）の全体を射とする圏も同様に考えることができます。これは余デカラージ圏〈co-décalage category〉と言えるでしょう（co-décalage は見たことがないのですが）。$`\mrm{CoDecal}(\cat{C})`$ と書くことにします。

余デカラージ圏は、余スライス圏〈アンダー圏〉を寄せ集めたものです。

$`\quad \mrm{CoDecal}(\cat{C}) = \sum_{X\in |\cat{C}|} X/\cat{C}`$

もとの圏 $`\cat{C}`$ に終対象がなくても、スライス圏 $`\cat{C}/X`$ には終対象 $`\mrm{id}_X`$ があります。したがって、スライス圏 $`\cat{C}/X`$ は連結圏〈connected category〉になります。デカラージ圏において、異なる対象 $`X, Y`$ 上の2つのスライス圏は分離しています。よって、デカラージ圏の連結成分は、もとの圏の対象と一対一に対応します。

$`\quad \pi_0(\mrm{Decal}(\cat{C})) \cong |\cat{C}| \In \mbf{SET}`$

ここで、$`\pi_0(\hyp)`$ は、圏の連結成分の集合を作る写像です。デカラージ圏は、連結成分ごとに終対象を持つ圏となります。余デカラージ圏は、連結成分ごとに始対象を持つ圏となります。

スライス構成

$`\cat{C}`$ から作った $`\mrm{Decal}(\cat{C})`$ は、連結成分ごとに特定された終対象を持ち、連結成分が $`|\cat{C}|`$ に一致する圏でした。これは、次のような写像とみなせます。

$`\quad \mrm{Decal}_\cat{C} : |\cat{C}| \to |\mbf{CATwDTO}| \In \mathbb{SET}`$

ここで $`\mbf{CATwDTO}`$ は次のような2-圏です。

• 特定された終対象〈distinguished terminal object | DTO〉を持つ圏〈category with DTO〉を対象として、
• 特定された終対象を厳密に保存する関手を1-射として、
• 自然変換を2-射とする2-圏。

対象集合 $`|\mbf{CATwDTO}|`$ しか使ってないので、2-圏の構造は実はどうでもいいとも言えますが。

特定された終対象のことを忘れてしまえば、次のような写像となります。

$`\quad \mrm{Decal}_\cat{C} : |\cat{C}| \to |\mbf{CAT}| \In \mathbb{SET}`$

デカラージ構成と類似の構成にスライス構成があります。スライス構成については以下の記事で書いています。

• スライス圏の大域的な定義： スラッシュ記号の解釈
• スライス構成： めんどうなスラッシュ・アスタリスク

圏 $`\cat{C}`$ におけるスライシング関手と反変スライシング関手を以下のように書きます。（暗黙に、1-圏を2-圏とみなしています。）

$`\quad \mrm{Slice}_\cat{C} = (\cat{C}{/_*}\hyp) : \cat{C} \to \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}\\
\quad \mrm{Slice}^*_\cat{C} = (\cat{C}{/^*}\hyp) : \cat{C}^\op \to \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}
`$

形を揃えて書いてますが、$`\mrm{Slice}_\cat{C}`$ と $`\mrm{Slice}^*_\cat{C}`$ はだいぶ違います。共変と反変というだけでなく：

• $`\mrm{Slice}_\cat{C}`$ はどんな $`\cat{C}`$ に対しても定義できるが、$`\mrm{Slice}^*_\cat{C}`$ はプルバック〈ファイバー積〉を持つ圏に対してしか定義できない。
• $`\mrm{Slice}_\cat{C}`$ は厳密2-関手だが、$`\mrm{Slice}^*_\cat{C}`$ はスード2-関手である。

だいぶ違いがある $`\mrm{Slice}_\cat{C}`$ と $`\mrm{Slice}^*_\cat{C}`$ ですが、$`|\cat{C}|`$ 上に制限する（対象パートだけとる）と同じ写像になります。それはデカラージの写像です。

$`\quad (\mrm{Slice}_\cat{C})_\mrm{obj} = \mrm{Decal}_\cat{C} : |\cat{C}| \to |\mbf{CAT}| \In \mathbb{SET}\\
\quad (\mrm{Slice}^*_\cat{C})_\mrm{obj} = \mrm{Decal}_\cat{C} : |\cat{C}^\op| \to |\mbf{CAT}| \In \mathbb{SET}
`$

バンドルの圏

バンドルの圏はアロー圏と同じものです。

$`\quad \mrm{Bun}(\cat{C}) = \mrm{Arr}(\cat{C})\\
\quad (\mrm{Base} : \mrm{Bun}(\cat{C}) \to \cat{C}) =
(\mrm{Cod} : \mrm{Arr}(\cat{C}) \to \cat{C})
`$

用語の対応は以下のとおりです。

バンドルの圏	アロー圏
バンドル	アロー
バンドル射	アロー射
バンドルのベース対象	アローの余域〈コドメイン〉
バンドルのトータル対象	アローの域〈ドメイン〉
ベース関手	コドメイン関手

バンドルと呼んだ場合は、バンドルのファイバーや、バンドルのファイバー引き戻し（「ファイバーの計算の動機としてのプルバック公式 // プルバックってなに？」参照）を考えたいので、もとになる圏 $`\cat{C}`$ は終対象とプルバック〈ファイバー積〉を持つ圏だと仮定する場合が多いでしょう。

例えば、$`\mbf{1}`$ を $`\cat{C}`$ の終対象として、「$`A`$ の“点” $`a:\mbf{1} \to A`$ におけるバンドル $`b`$ のファイバー $`F`$」は次の図式で定義できます。

$`\quad \xymatrix{
F \ar[r] \ar[d]
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
& \cdot \ar[d]^b
\\
\mbf{1} \ar[r]_a
& A
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

「バンドルの圏」と「アロー圏」は、基本的には同義語ですが、以下では、もとになる圏 $`\cat{C}`$ がプルバックを持つと仮定します。この仮定のもとでは、バンドル射を引き戻し方式〈pullback-style〉で書くことができます。引き戻し方式のバンドル射 $`\varphi`$ は次の構成素を持ちます。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r] \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\varphi^\flat\, \twoto}
& \cdot \ar[r] \ar[d]
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.}}
& \cdot \ar[d]^g
\\
\cdot \ar@{=}[r]
& \cdot \ar[r]_{\base{\varphi}}
& \cdot
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

• $`f`$ ： $`\varphi`$ の域
• $`g`$ ： $`\varphi`$ の余域
• $`\base{\varphi}`$ ： $`\varphi`$ のベースパート〈base part〉
• $`\varphi^\flat`$ ： $`\varphi`$ のファイバーバート〈fiber part〉

ベースパート／ファイバーバートの書き方は「Diag構成の変種とその書き方」で導入した記法です。

可換四角形で与えられる射 $`\alpha`$ を、どのようにして引き戻しスタイルの射 $`\varphi`$ に変換するかを説明しましょう。$`\alpha`$ は以下のようだとします。

$`\quad \alpha : f \to g \In \mrm{Bun}(\cat{C})\\
\text{i.e.}\\
\quad \xymatrix{
A \ar[r]^p \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\alpha\,\twoto}
&\cdot \ar[d]^g
\\
B \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

まず、次のようなプルバック四角形を作ります。

$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{q'} \ar[d]_{g' }
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.} }
& \cdot \ar[d]^g
\\
B \ar[r]_q
& \cdot
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

これは、コスパン $`(q, g)`$ のプルバック四角形のひとつを選んだものです。四角形はプルバックなので、以下の図式の点線の射が一意的に存在します。

$`\quad \xymatrix{
A \ar@/^/[drr]^p \ar@/_/[ddr]_f \ar@{.>}[dr]
& {}
& {}
\\
{}
& {\cdot} \ar[r]^{q'} \ar[d]_{g'}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.} }
& {} \ar[d]^g
\\
{}
& {B} \ar[r]_q
& {}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

点線の射を $`f'`$ とすると、次の図式を作れます。'$`\twoto`$' は、向きを持った可換四角形を意味します。

$`\quad \xymatrix{
A \ar[r]|{f'} \ar@/^1pc/[rr]^{p} \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\twoto }
& {\cdot} \ar[r]|{q'} \ar[d]|{g'}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.} }
& {\cdot} \ar[d]^{g}
\\
B \ar@{=}[r]
& {B} \ar[r]_{q}
& {\cdot}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

$`q`$ をベースパート $`\base{\varphi}`$ 、左の可換四角形をファイバーバート $`\phi^\flat`$ と置くことによって、目的の引き戻し方式のバンドル射 $`\varphi`$ が得られます。

$`\quad \xymatrix{
A \ar[r]|{f'} \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\varphi^\flat\,\twoto }
& {\cdot} \ar[r]|{q'} \ar[d]|{g'}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.} }
& {\cdot} \ar[d]^{g}
\\
B \ar@{=}[r]
& {B} \ar[r]_{\base{\varphi} }
& {\cdot}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$

ファイバーバートは、スライス圏 $`\cat{C}/B`$ の射になります。対応 $`\alpha \leftrightarrow \varphi`$ は、次のような集合の同型を与えます。

$`\quad \mrm{Bun}(\cat{C})(f, g) \cong
(q\in \cat{C}(\mrm{cod}(f), \mrm{cod}(g)) ) \Vtimes \cat{C}/\mrm{cod}(f)(f, q^\#g)`$

ここで：

• '$`\Vtimes`$' は、「型理論で出てくる射影の整理と約束」で定義したシグマ型を表す二項演算子記号。もともとは、「シグマ型とパイ型の短縮記法（便利）」で '$`\ltimes`$' として導入したもの。感嘆符に変更したのは、$`!\!{+},\, !\!{\to}`$ なども使いたいから。
• $`q^\#g`$ は、$`q`$ による $`g`$ のファイバー引き戻し。上の図の $`g'`$ のこと。「ファイバー引き戻し」は、「ファイバーの計算の動機としてのプルバック公式 // プルバックってなに？」で色々な「引き戻し」を区別するために導入した言葉。

上のホムセット同型公式を使うと、$`\mrm{Mor}(\mrm{Bun}(\cat{C}))`$ は次のように書けることが分かります。

$`\quad \mrm{Mor}(\mrm{Bun}(\cat{C})) \cong \\
\quad (B, Y \in |\cat{C}| ) \Vtimes \\
\quad ( (q \in \cat{C}(B, Y) ) \times (f\in |\cat{C}/B|) \times (g\in |\cat{C}/Y)|) \Vtimes \\
\quad \cat{C}/B(f, q^\#g)
`$

このような同型は完全に一意的に決まるわけではありません。$`q^\#g`$ が一意的に決まるとは限らず、選択が入るからです。

最後にもう一度繰り返すと、バンドルの圏はアロー圏と同じものです。が、「バンドル」という言葉を使うときに、もとになる圏がプルバックを持つことを想定しているかも知れません。