一般化ハイパーグラフ → P-バンドル、P-ファミリー

今年（2025年）最初の投稿。内容はいつもと変わらんけど。

スケマティック集合（組み合わせ幾何的対象物）のなかで扱いやすいモノとして、一般化ハイパーグラフを定義しました。

• 一般化ハイパーグラフ
• 一般化ハイパーグラフ 再論

一般化ハイパーグラフは、間違いなく役に立つ概念です。が、ネーミング・用語法が誤認・誤解の原因になりそうです。

ネーミング・用語法なんてのは、約束が決まっていることが重要であり、どんな言葉を使っているかなんてどうでもいいのですよ、建前上は。しかし、僕の経験では、十分にトレーニングされた人でさえ、言葉の国語辞書的意味からの連想により、誤認・誤解したり混乱したりします。実にまったく言霊の悪影響は恐ろしいものです。$`
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\o}[1]{ \overline{#1} }
\newcommand{\u}[1]{ \underline{#1} }
\newcommand{\id}{ \mathrm{id} }
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
%\newcommand{\On}{ \text{ on }}
\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
\newcommand{\op}{ \mathrm{op}}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
`$

内容：

一般化ハイパーグラフ

過去記事で導入した一般化ハイパーグラフは、ハイパーグラフと呼ばれているモノの一般化として妥当なものです。一般化ハイパーグラフの種類を決めるのは、集合圏上の自己関手 $`P:\mbf{Set} \to \mbf{Set}`$ です。$`P`$ （プロファイル・コンストラクタ）を固定した上で、次の3つの構成素で一般化ハイパーグラフが定義されます。

1. 頂点の集合： $`V\in |\mbf{Set}|`$
2. 辺〈ハイパー辺〉の集合：$`E \in |\mbf{Set}|`$
3. 境界写像： $`\mrm{bdry}:E \to P(V) \In \mbf{Set}`$

自己関手 $`P`$ の選び方で色々な種類のハイパーグラフを定義できます。例えば、過去記事「ストリング図とハイパーグラフ図 // ハイパーグラフ」で定義したハイパーグラフは、プロファイル・コンストラクタを次のように定義すればOKです。

$`\quad |\mbf{Set}| \ni X \mapsto \mrm{List}(X)\times \mrm{List}(X) \in |\mbf{Set}|`$
$`\quad \mrm{Mor}(\mbf{Set}) \ni (f : X\to Y) \mapsto (\mrm{List}(f)\times \mrm{List}(f): \mrm{List}(X)\times \mrm{List}(X) \to \mrm{List}(Y)\times \mrm{List}(Y)) \in \mrm{Mor}(\mbf{Set})`$

境界写像は、始頂点写像と終頂点写像をデカルト・ペアリングした写像です。

$`\quad \mrm{bdry} := \langle \mrm{src}, \mrm{trg}\rangle : E \to \mrm{List}(V)\times \mrm{List}(V) \In \mbf{Set}`$

また、過去記事「ハイパーグラフが要らない理由 // ハイパーグラフ」で定義したハイパーグラフは Wikipedia からの引用ですが、この場合のプロファイル・コンストラクタは次の関手です。

$`\quad |\mbf{Set}| \ni X \mapsto \mrm{Pow}_+(X) \in |\mbf{Set}|`$
$`\quad \mrm{Mor}(\mbf{Set}) \ni (f : X\to Y) \mapsto ({\mrm{Pow}_+}_*(f) : \mrm{Pow}_+(X) \to \mrm{Pow}+(Y) ) \in \mrm{Mor}(\mbf{Set})`$

$`\mrm{Pow}_+(\hyp)`$ は空集合を除外したベキ集合です。$`{\mrm{Pow}_+}_*(\hyp)`$ は、空集合除外ベキ集合から誘導された共変関手の射パートです。

Wikipedia の定義では、境界写像は包含写像に限定されています。

$`\quad \mrm{bdry} := \mrm{incl}_E : E \hookrightarrow \mrm{Pow}_+(V) \In \mbf{Set}`$

プロファイル・コンストラクタ $`P`$ を取り替えれば、その他のハイパーグラフ概念も定式化できます。

一般化ハイパーグラフとストリング図との関係

「ハイパーグラフ」「頂点」「辺」などの呼び名を変えようと思ったのは、ストリング図について語る場合に混乱するからです。ストリング図と無関係な文脈では、今までの呼び名で別にかまいません。

一般化ハイパーグラフはストリング図の下部構造になります。ストリング図は、一般化ハイパーグラフに相対的に定義されるのです。このとき、一般化ハイパーグラフの用語とストリング図の用語の対応は次のようになります（圏／オペラッドの用語も付けておきます）。

一般化ハイパーグラフ	ストリング図	圏／オペラッド
辺	ノード、頂点、ボックス	射、オペレーション、オペレーター、セル
頂点	色、型	対象、色
境界写像	(特に呼び名はない)	dom/cod、src/trg

一般化ハイパーグラフの辺が、ストリング図では頂点〈ノード | ボックス〉のことで、一般化ハイパーグラフの頂点が、ストリング図では（ポートやワイヤーに付く）色〈型〉のことです。

「そう呼ぶと約束してるんだからしょうがないだろう」が建前の主張ですが、実際には混乱しますよね。一般化ハイパーグラフとストリング図を一緒に語るときは、一般化ハイパーグラフの標準的な用語法は使用しないほうが無難だと思います。代替の用語法を決めましょう。

P-バンドル

一般化ハイパーグラフは、プロファイル・コンストラクタ $`P`$ ごとに別物となります。「プロファイル・コンストラクタが $`P`$ である一般化ハイパーグラフ」を$`P`$-バンドル〈$`P`$-bundle〉と呼ぶことにします。$`P`$ が集合圏の恒等関手のときは（集合論的）バンドルです。

バンドルとバンドル射の圏は $`\mbf{Bun}`$ と書くので、$`P`$-バンドルと$`P`$-バンドル射の圏は $`P\text{-}\mbf{Bun}`$ とします。$`P`$-バンドル射〈$`P`$-bundle morphism〉は、$`P`$-ハイパーグラフの準同型射（「一般化ハイパーグラフ 再論」参照）のことです。

$`P`$-ハイパーグラフを$`P`$-バンドルと呼び替えたので、関連する用語も変更します。

$`P`$-ハイパーグラフ	$`P`$-バンドル
辺	セル〈cell〉
頂点	色〈color〉
境界写像	境界プロファイル写像〈boundary-profile map〉

「セル」は「射」の同義語としてよく使われる言葉です。「色」はオペラッドの用語から借用。「境界写像」を「境界プロファイル写像」に変更したのは、セルに対応させるモノが、幾何的境界ではなくて、境界上に載っているプロファイル情報だからです。多様体に境界を対応させる写像とは違います。

自己関手 $`P`$ は引き続きプロファイル・コンストラクタ〈profile constructor〉と呼びます。$`P(X)`$ の要素は（色が $`X`$ である）プロファイル〈profile〉です。

$`P`$-バンドル $`A`$ の構成素は次のように書きます。

1. セルの集合〈set of cells〉： $`\mrm{Cell}(A) \in |\mbf{Set}|`$
2. 色の集合〈set of colors〉： $`\mrm{Color}(A) \in |\mbf{Set}|`$
3. 境界プロファイル写像： $`\mrm{bp}_A : \mrm{Cell}(A) \to P(\mrm{Color}(A)) \In \mbf{Set}`$

構成素の略記は次のとおり（略記法は「一般化ハイパーグラフ 再論」と同じ）です。

1. セルの集合： $`\o{A} \in |\mbf{Set}|`$
2. 色の集合： $`|A| \in |\mbf{Set}|`$
3. 境界プロファイル写像： $`\mrm{bp}_A : \o{A} \to P(|A|) \In \mbf{Set}`$

$`P`$-バンドル射 $`f`$ は2つのパートからなりますが、それは：

1. 色パート〈color part〉： $`f_\mrm{color} : |A| \to |B| \In \mbf{Set}`$
2. セル・パート〈cell part〉： $`f_\mrm{cell} : \o{A} \to \o{B} \In \mbf{Set}`$

圏のあいだの関手なら、対象パートと射パートと呼びますね（同じ概念に、とにかく色々な呼び名がある）。

今導入した$`P`$-バンドルの用語法は、バンドル（ファイバー付き集合〈fibered set〉とも呼ぶ）の用語法とは食い違っています。

$`P`$-バンドル	バンドル
セル	(特に呼び名はない)
セルの集合	トータル集合〈トータル空間〉
色	(特に呼び名はない)
色の集合	ベース集合〈ベース空間〉
境界プロファイル写像	射影
射の色パート	射のベースパート
射のセル・パート	射のトータル・パート

$`P`$-バンドルの境界プロファイル写像（バンドルの用語では射影）の逆像集合をファイバー〈fibre | fiber〉と呼びます。ファイバーは、圏のホムセットに相当するので、ホムセットと同じ記法で書きます。

$`\text{For }\alpha \in P(|A|)\\
\quad A(\alpha) := {\mrm{bp}_A}^{-1}(\alpha) \subseteq \o{A}
`$

プロファイル $`\alpha`$ のファイバー $`A(\alpha)`$ は、関数呼び出しと同じ形式なのでたいへん曖昧な記法ですが、文脈で判断します。紛らわしいときは、下付きアットマークを使った記法が良いかと思います。

$`\text{For }\alpha \in P(|A|)\\
\quad A_{@\alpha} := {\mrm{bp}_A}^{-1}(\alpha) \subseteq \o{A}
`$

圏 $`\cat{C}`$ のホムセットを下付きアットマークで書くなら $`\cat{C}_{@(A, B)}`$ です。実際には使いませんけどね。

P-ファミリー

バンドル-ファミリー対応（「バンドル-ファミリー対応 再考」参照）があるので、$`P`$-バンドルには$`P`$-ファミリーが対応します。

$`A = (\mrm{bp}_A : \o{A} \to P(|A|)`$ を$`P`$-バンドルとして、対応するファミリーを $`F`$ とすると、$`F`$ は次の形です。

$`\quad F: P(|A|) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}`$

ファミリーのインデキシング集合は $`P(\hyp)`$ の形をしているので$`P`$-ファミリーと呼ぶことにします。$`P`$-バンドル $`A`$ から作られた$`P`$-ファミリーの具体的な定義は：

$`\text{For }\alpha \in P(|A|)\\
\quad F(\alpha) := A_{@\alpha} \;\in |\mbf{Set}|
`$

プロファイルにそのファイバーを対応させるファミリー〈集合族〉です。

$`f:A \to B`$ が$`P`$-バンドル射のとき、対応するファミリーのあいだの準同型射を $`\varphi`$ とすると、$`\varphi`$ は $`P(|A|)`$ でインデックスされた写像の族になります。

$`\text{For }\alpha \in P(|A|)\\
\quad \varphi_{@\alpha} : A_{@\alpha} \to B_{@P(f_\mrm{color})(\alpha)} \In \mbf{Set}
`$

アットマークを付けたのは、ファイバーの記法と揃えるためです。$`\varphi_{@\alpha}`$ は、関手のホムパート（ホムセット間の写像）に相当するものです。

バンドル-ファミリー対応は逆向きの対応もあるので、$`P`$-ファミリー $`F:P(X) \to |\mbf{Set}|`$ が与えられたとき、対応する$`P`$-バンドルを構成できます。 バンドル-ファミリー対応は、$`P`$-バンドルの圏 $`P\text{-}\mbf{Bun}`$ と$`P`$-ファミリーの圏 $`P\text{-}\mbf{Fam}`$ の圏同値を与えます。