角に追い詰められて刺されたい年頃になりました。
東京大学2014年度理系第1問、空間図形の問題の解説をします、
[問題]
1辺の長さが1の正方形を底面とする四角柱OABC-DEFGを考える。3点P,Q,Rを、ぞれぞれ辺AE、辺BF、辺CG上に、4点O,P,Q,Rが同一平面上にあるようにとる。四角形OPQRの面積をSとおく。また、∠AOPをα、∠CORをβとおく。
(1)Sをtanαとtanβを用いて表せ。
(2)α+β=π/4,S=7/6であるとき、tanα+tanβの値を求めよ。さらに、α≦βのとき、tanαの値を求めよ。
[解答と解説]
空間図形の平行四辺形の面積はどうしたらええかやな。
まず三角形の面積で1/2・√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)と言う公式あるやん。
これはそもそも平行四辺形の面積√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)の半分ってことやねん。
それで1/2・√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)って公式は別に
1/2・OA・OBsin∠AOB
で計算したらええし、座標なら
1/2・|x_1y_2-x_2y_1|
で計算したらよいのに、何故かわりと重要な感じで扱われるやろ。
これはな、1/2・√(|OA→|^2|OB→|^2-(OA→・OB→)^2)の形で書くと3次元でも同じ公式やねん。
でも1/2・|x_1y_2-x_2y_1|の形なら3次元と違うやろ。
可愛い2次元美少女描いてたら、横から真面目な大学生の兄さんがいやいや実際の人間はそんなんちゃうやろって3次元美少女描いたらリアルすぎて消化しきれないみたいなもんやねん。
直線の方程式も法線ベクトルn→で点Aと通る直線はn→・AP→=0と言う形であらわしておけば、これを三次元にそのまま使うと平面の方程式になるしな。
ベクトルで表記すると計算の効率が良いというより2次元と3次元同じ形で書けて覚えやすいねん。
それともう一つのポイントは直方体とかベクトルが直行するのは座標も便利やねん。
(1)
と言うことで図のようにO(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0)と言うように座標をとります。
そしたらP,Qの座標から
OP→=(1,0,tanα)
OQ→=(0,1,tanβ)
になるから後はさっきの公式に入れて
S=√(|OP→|^2|OQ→|^2-(OP→・OQ→)^2)
=√{(1+(tanα)^2)(1+(tanβ)^2)-(tanαtanβ)^2}
=√{(tanα)^2)+(tanβ)^2+1}
(2)
そしたら一緒に式を整理してみよか
α+β=π/4
7/6=√{(tanα)^2)+(tanβ)^2+1}
これからαかβ消去すればええんやろうけど、α+β=π/4をtanα,tanβの式にしてtanで考えると
tan(α+β)=1
加法定理から
(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=1
で
7/6=√{(tanα)^2)+(tanβ)^2+1}
の2つの式で求まるはずやな。
tanαとtanβの対称式やから、tanα+tanβ=s,tanαtanβ=tとおいてs,tを求めると更に楽かもしれん。
s/(1-t)=1
s^2-2t+1=(7/6)^2
t消去を目3指して
t=1-s
s^2+2s-85/36=0
これを因数分解して
(s+17/6)(s-5/6)=0
別に分数のままじゃなくて
36s^2+72s-85=0で考えたらええねんけどな。
それで0＜α＜π/2,0＜β＜π/2よりs=tanα+tanβ＞0やから
s=5/6,t=1/7
って決まるねん
これからtanαとtanβは2次方程式
x^2-5/6x+1/6=0の解やから
(3x-1)(2x-1)=0
で
x=1/3,1/2
ここでα≦βよりtanα≦tanβなので
tanα=1/3
とわかりました。
多変数と言っても、この問題では鋭角でtanは1:1で単純やから
厳密に同値変形するほどでもなくて、
必要条件から解を出して、そのうち十分なものを求める論法でええやろな。
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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