わんこら日記東京大学の過去問

東京大学2018年度理系第6問、空間図形の体積の問題の解説

ユンケル飲んでむせる季節がきました。
東京大学2018年度理系第6問、空間図形の体積の問題をやりたいと思います。

[問題]

座標空間内の4点O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(1,1,1)を考える。1/2＜r＜1とする。点Pが線分OA,AB,BC上を動くときに点Pを中心とする半径rの球(内部を含む)が通過する部分を、それぞれV_1,V_2,V_3とする、
(1)平面y=tがV_1,V_3双方と共有点をもつようなtの範囲を与えよ。さらに、この範囲のtに対し、平面y=tとV_1の共通部分および、平面y=tとV_3の共通部分を同一平面上に図示せよ。
(2)V_1とV_3の共通部分がV_2に含まれるためのrについての条件を求めよ。
(3)rは(2)の条件をみたすとする。V_1の体積をSとし、V_1とV_2の共通部分の体積をTとする。V_1,V_2,V_3を合わせて得られる立体Vの体積をSとTを用いてあらわせ。
(4)ひきつづきrは(2)の条件をみたすとする。SとTを求め、Vの体積を決定せよ。

[解答と解説]
(1)そらもう空間図形はイメージ力やろ

と図を描こうとしていくと
この重なったところはどうなるんやとかやってたら

ネコミミつけてこんなわけわからんことになります。

ちゃうねん、空間はイメージ力ちゃうねん。
しかも美術みたいにデッサンできたとしても別に積分できて体積求められるわけでもないやろ。

共通部分と軌跡が問題になってるわけやけど

共通部分の断面も共通部分のイメージをして断面を考えるんじゃなくて、先にそれぞれの断面を考えてから共通部分をとるねん。

1,それぞれの断面を描く
2,断面同士の共通部分を考える

立体の軌跡の断面も立体の軌跡をイメージして断面を考えるんじゃなくて、先に断面を考えてからそれを動かして軌跡を考えるねん。

1,断面を描く
2,断面の軌跡を考える

そしたら具体的にやってみると

V_1のy=tにおける断面は

球が点Pにあるとき方程式は
x^2+y^2+z^2=r^2をy=tで切ると
x^2+t^2+z^2=r^2⇔x^2+z^2=r^2-t^2
で-r≦t≦r
となるやろ。

この半径√(r^2-t^2)の円が中心PがOからAに動かすねん。

まあこれは軌跡のほうについてはイメージしやすいかもしれんけどな。

同じようにV_3のy=tにおける断面は

(x-1)^2+z^2=r^2-(t-1)^2で-r+1≦r≦r+1
となりますね。

点Aは両方に含まれてるから要するに両方とも点が存在するように
-r≦t≦rかつ-r+1≦t≦r+1であればオッケーですよね

つまり-r+1≦t≦rやな。

これでそれぞれの断面を考えたから、これらをあわせるねん。

半径の大きさで場合分けしたいですね。

√(r^2-t^2)^2-√(r^2-(t-1)^2)^2=-2(t-1/2)やからt=1/2がポイントですね。
-r+1≦t≦1/2ではV_1の半径が大きくて,1/2≦t≦rの時はV_2の半径が大きいねん。

そういうように図を描いたらええわ。

(2)まさに断面を考えてから共通部分とか考えるやつやな。

tの範囲は0＜r+1でr＜1やからtはそもそも0＜t＜1にあるねん。
と言うことはV_2のy=tの断面は中心(x,z)=(1,0)で半径rで結構簡単やねん。
(1)からV_1とV_3の共通部分はとんがってるところQ_t(1-√(r^2-(t-1)^2),√(r^2-t^2))が(1,0)から一番遠いからこれが半径rに入ればええねん。
と言うことで計算して
r^2≦2(t-1/2)^+1/2
でこれが-r+1≦t≦rとなるすべてのtで成立すればいいけど、この定義域の中点は1/2でt=1/2はこの定義域に入ってるから最小値を考えて
r^2≦1/2やったらええねん。
まとめて1/2＜r≦1/√2

(3)

Sはこういうやつやろ。
V_1とV_2の共通部分Tはこうややろ。

でもV_3もこの共通部分に食い込み天使やろと考えてると頭おかしくなってきて

37歳のおっさんが
いぬいぬ、わんわんわん
とか言うて児童たちに突っ込んでいって捕まることになります。

みんなはオレみたいな苦労はして欲しくないねん。

これは図形は関係なくて、もっとシンプル化した集合の関係だけでもええねん。

概念化するねん。

そしたらV_1とV_3の共通部分がV_2に含まれるから、そういう風にベン図を描くやろ。
するとV_1またはV_2またはV_3は
(左上の三日月)+V_2+(右上の三日月)
やけど三日月のところはS-Tやろ
だから
(S-T)+S+(S-T)=3S-2T

とわかりました。

(4)

Sの体積は半径rの球と半径rで高さ1の円柱の和で簡単ですね。
S=4/3πr^3+πr^2

TについてはV_1とV_2の共通部分やから、またそれぞれの断面を考えてその共通部分を考えたらええな。
この場合はz=sとかで切ればええやろな。
そしたら図のようになるやろ。
1辺が√(r^2-s^2)の正方形と半径√(r^2-s^2)の円の3/4の和やな。
(1+3π/4)(r^2-s^2)
と言うことで断面積が出るから、それを-r≦s≦rで積分すればええねん。

それで
T=∫(-r,r)(1+3π/4)(r^2-s^2)ds
これを計算して
(π+4/3)r^3

だからVの体積は
3S-2T=(2π-8/3)r^3+3πr^2

これは東大の空間図形の体積の問題の解き方によく使う考え方が勉強できてええ問題やな。

東大だけじゃなくても役立つと思うわ、

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東京大学2013年度理系第4問の確率、ベクトルの問題の解説

終幕に向かってきたところで東京大学2013年度理系第4問の解説をしたいと思います。
[問題]

△ABCにおいて∠BAC=90°、|AB→|=1,|AC→|=√3とする。△ABCの内部Pが
PA→/|PA→|+PB→/|PB→|+PC→/|PC→|=0→を満たすとする。
(1)∠APB,∠APCを求めよ。
(2)|PA→|,|PB→|,|PC→|を求めよ。

[解答と解説]
(1)似たような問題の解き方を使わないかって考えるねん。

似たようなよくある問題として

△ABCの外心をOとして
2OA→+3OB→+4OC→=0
のときcos∠AOBを求めよ

ってやつやな
これは|OA→|=|OB→|=|OC→|=Rとおけて
2OA→+3OB→=-4OC→
って1つ右に持ってきて平方して
|2OA→+3OQ→|^2=16|OC→|^2
4|OA→|^2+12OA→・OB→+9|OB→|^2=16|OC→|^2
4R^2+12R^2cos∠AOB+9R^2=16R^2
cos∠AOB=1/4

これがやな！

と言うことで

PA→/|PA→|+PB→/|PB→|=-PC→/|PC→|より
|PA→/|PA→|+PB→/|PB→||^2=|-PC→/|PC→||^2
1+2cos∠APB+1=1
から
cos∠APB=-1/2
これで∠APB=120°やな。

同じように

PA→/|PA→|+PC→/|PC→|=-PB→/|PB→|より
|PA→/|PA→|+PC→/|PC→||^2=|-PB→/|PB→||^2
1+2cos∠APC+1=1
から
cos∠APC=-1/2
これで∠APC=120°

(2)∠APB=∠APC=∠BPC=120°やろ。
そしたらPA→、PB→、PC→はなす角度わかるし
△ABCは直角三角形でBC=2やから
|PA→|^2+|PB→|^2-2PA→・PB→=1^2
|PB→|^2+|PC→|^2-2PB→・PC→=2^2
|PC→|^2+|PA→|^2-2PC→・PA→=√3^2
これで3つ未知数で3つ式あるから全部いけるやん
まあ言うたら、これらは余弦定理やな。

|PB→|^2+|PC→||PB→|+|PC→|^2-4=0
|PB→|=(-|PC→|±√(16-3|PC→|^2))/2
ちゃうねん、ちゃうねん。
これを代入するねん。

((-|PC→|+√(16-3|PC→|^2))/2)^2+|PA→|^2+((-|PC→|+√(16-3|PC→|^2))/2)|PA→|=1|PA→|=…

ってやってたら

こんなわけわからんことになります。

実は解けなくもないねんけどな。
それは最後にやるわ。

(1)は誘導として

東大やから幾何的に解くんかなって感じするやん。
そしたら東大は余弦定理ではなく、意外と正弦が上手くいくこと多いねん。

直角三角形やしな。

∠PCA=θとおくと、それぞれ角度をあらわしていくと
∠PAC=180°-120°-θ=60°-θ
∠PAB=90°-(60°-θ)=30°+θ
∠PBA=180°-120°-(30°+θ)=30°-θ

△APCにおいて正弦定理より
√3/sin120°=PA/sinθ=PC/sin(60°-θ)
これをPAとPCをθであらわしていくと
PA=2sinθ,PC=2sin(60°-θ)

△APBにおいて正弦定理より
1/sin120°=PA/sin(30°-θ)=PB/sin(30°+θ)
これからPAとPBをθであらわしていくと
PA=(2/√3)sin(30°-θ),PB=(2/√3)sin(30°+θ)

と言うことでPA消去したらcosθ,sinθ求まりそうやな。
2sinθ=(2/√3)sin(30°-θ)
(√3)sinθ=1/2cosθ-(√3)/2sinθ
tanθ=1/(3√3)
sinθ=√((tanθ)^2/(1+(tanθ)^2))
=1/(2√7)
cosθ=sinθ(1/tanθ)
=(3√3)/(2√7)
だから
PA=(sinθ√3)/sin120°
=1/√7
PB=2/(√3)(1/2cosθ+(√3)/2sinθ)
=2/√7
PC=2((√3)/2cosθ-1/2sinθ)
=4/√7
って求まりました。

やっぱ東大は正弦定理やな。

そしたらさっきの余弦定理のやり方でごり押しで解く方法をやろか

|PA→|^2+|PB→|^2-2PA→・PB→=1^2
|PB→|^2+|PC→|^2-2PB→・PC→=2^2
|PC→|^2+|PA→|^2-2PC→・PA→=√3^2

書くのを簡単にするために|PA→|=a,|PB→|=b,|PC→|=cとおいて
a^2+b^2+ab=1
b^2+c^2+bc=4
c^2+a^2+ca=3

これをどう解けば楽なのかと言うと、これも似たような問題を思い出してくれ

x^2+2xy+2y^2=1 …①
x^2-2y^2+3=0 …②

これは定数項を消去するってやり方あったやんな。

①×3+②で定数を消去して
4x^2-6xy+4y^2=0
これで
x=((3±√5)/2)y
ってxとyの比を求める、つまりはx/yを求める感じで
これを②とかに代入して
((14±6√5)/4 -2)y^2+3=0
となってこれで解けるやろ。

この真似をしてみるねん。

a^2+b^2+ab=1 …①
b^2+c^2+bc=4 …②
c^2+a^2+ca=3 …③

定数を消してb/aとc/aの式にしてみよか
①×4-②
4a^2+4ab+3b^2-bc-c^2=0
から
4+4(b/a)+3(b/a)^2-(b/a)(c/a)-(c/a)^2=0

②×3-③×4
3b^2+3bc-c^2-4ca-4a^2=0
3(b/a)^2+3(b/a)(c/a)-(c/a)^2-4(c/a)-4=0
さらに簡単に書くためにb/a=B,c/a=Cとおいたら、それぞれ
3B^2-BC-C^2+4B+4=0 …④
3B^2+3BC-C^2-4C-4=0 …⑤
これで次数を下げるために
④-⑤から
-4BC+4B+4C+8=0
B=(C+2)/(C-1)
これを④に代入して
3((C+2)/(C-1))^2-(C+2)/(C-1)-C^2+4(C+2)/(C-1)+4=0
整理してC+2＞0に注意して割ってしまって
3(C+2)-(C-1)C-(C-2)(C-1)^2+4(C-1)=0
(C-4)(C^2+C+1)=0
C=4,B=2とわかって
c/a=4,b/a=2からc=4a,b=2a
①からa^2+2a^2+4a^2=1でa=1/√7
(a,b,c)=(1/√7,2/√7,4/√7)
ってわかりました。

これはあれやな。

計算技術を磨いておけば、少々方針をミスってもごり押しで解けて底上げされる感じやな。

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【2017/08/02 15:56】 | 東京大学の過去問 | TRACKBACK(0)

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東京大学2013年度理系第3問の確率、数列の問題の解説

グミの新作を買い続けて人の信用を失ったところで東京大学2013年度理系第3問の解説をしたいと思います。

[問題]

A,Bの2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ1/2のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i)Aがコインを持っているときは、コインを投げ表が出ればAに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば両者に点を与えじ、AはコインをBに渡す。
(ii)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればBに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そしてA,Bのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1)A,Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率p(n)を求めよ。
(2)Σ(k=1～∞)p(n)を求めよ。

[解答と解説]
(1)
この問題はな

こうやってシンプルに描くと0.7秒かかるやろ

こうやってリアルに描くと11分32秒かかるやろ。

これで大きな差が生まれるねん。

そういうことや。

だからそれだけじゃわからんやろ！

どういうことかと言うと、確率は絵で説明すると早く見やすくて

この問題でも
表裏表裏裏裏…
と描くよりも
○×○××
って描いた方が早いし、見やすくてこういう処理で差が結構出てきてしまったりするねん。

それでこの問題では2点で勝利やから、基本的に×ばっかで
○が2回か、3回やろな。
最後のn回目は○じゃないとあかんしな。

そしたら○が2回のときはAで○を1回、AとBで×をn-2回だして交換しあって最後にAが○やな。
と言うことはn-2回でAに戻ってこないといけないからnが偶数の時と言うことになるな。

nが偶数のとき
×××××××…×××○
で図の矢印の偶数番目の直前のところに○を入れたらAで○を出したことになるな

これは(n-2)÷2+1=n/2通りですね。

と言うことで
p(n)=n/2・(1/2)^n

今度は○が2回のときはAで○を1回、Bで○を1回、AとBで×をn-3回だして交換しあって最後にAが○ですね。
と言うことではn-3回でAに戻ってこないといけないから、nは奇数と言うことになるな。

nが奇数のとき
×××××××…××××○
図の短い矢印の偶数番目の直前のところに○を入れることでAで○を出したことになって
(n-3)/2+1=(n-1)/2
図の長い矢印の奇数番目の直前のところに○を入れることでBで○を出したことになり
(n-3)/2
よって
p(n)=(n-1)/2・(n-3)/2・(1/2)^n
と言うことになりました。

(2)これな、やることはわかると思うねん。
奇数で終わるか偶数で終わるかで式の表し方がかわるから、それぞれで立式して無限に飛ばす感じやな

n=2mまでくわえるとき
Σ(k=1～m)p(2k)+Σ(n=1～m)p(2k-1)
=Σ(k=1～m)k(1/2)^(2k)+Σ(k=1～m)(k-1)(k-2)(1/2)^(2k-1)

とか計算がやたら大変やねん。

そこでS_n=Σ(k=1～n)r^k、T_n=Σ(k=1～n)kr^k、U_n=Σ(k=1～n)k^2r^kを計算して、それぞれのn→∞の極限をS,T,Uとしてこれ組み合わせて計算すると言う処理の仕方があるねん。

式を整理してから極限とるんじゃなくて、極限とってから整理やな。

r=1/4として

S_n=r(1-r^n)/(1-r)→r/(1-r)=1/3

T_nはrT_nとの差を考えて
(1-r)T_n=S_n-r^(n+1)
T_n=1/(1-r)・S_n - nr^(n+1)/(1-r)→1/(1-r)・S=4/9

U_nもrU_nとの差を考えて
(1-r)U_n=2T_n-S_n-n^2・r^(n+1)
U_n=1/(1-r)・T_n-1/(1-r)・S_n-n^2・r^(n+1)/(1-r)
→2r/(1-r)・T-1/(1-r)・S=32/27-4/9=20/27

これで

Σ(n=1～2m)p(n)
=Σ(k=1～m)p(2k)+Σ(n=1～m)p(2k-1)
=Σ(k=1～m)k(1/2)^(2k)+Σ(k=1～m)(k-1)(k-2)(1/2)^(2k-1)
=Σ(k=1～m)k(1/4)^k+Σ(k=1～m)2(k-1)(k-2)(1/4)^k0
=Σ(k=1～m)(2k^2-5k+4)(1/4)^k
=2U_m-5T_m+4S_m
→2・20/27-5・4/9+4・1/3=16/27
(m→∞)

Σ(n=1～2m+1)p(n)
=Σ(n=1～2m)p(n)+p(2m+1)
→16/27+0=16/27
(m→∞)
よって
Σ(n=1～∞)p(n)=16/27

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【2017/07/31 17:36】 | 東京大学の過去問 | TRACKBACK(0)

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東京大学2013年度理系第2問、微分の問題の解説

どうやら小球に当てられ人々の脳裏に刻まれたな。

と言うことで東京大学2013年度理系第2問、微分の問題を解説します。

[問題]

aを実数とし、x＞0で定義された関数f(x),g(x)を次のように定める。
f(x)=(cosx)/x,g(x)=sinx+ax
このときy=f(x)のグラフとy=g(x)のグラフがx＞0において共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。

[解答と解説]

そしたら、どんなグラフになるか考えてみよか。
まず
f(x)=1/x×cosx
はcosxの振幅が小さくなっていくやろ。

そしたらf(x)=sinx+axはどうなのかと言うと
y=axと言う直線を中心として振動するはずやねん。

とわかったところで、何かできそうと見せかけて厳しいですね。

そしたら今度は直線と曲線に分けて考えてみよか
f(x)=g(x)を整理して
ax=(cosx)/x-sinx
これでh(x)=(cosx)/x-sinxとおいてグラフがどんなんか調べるということで微分して
h'(x)=(-xsinx-(x^2+1)cosx-ax^2)/x^2

これはあれやな。
分子だけ微分しろってやつやな

i(x)=-xsinx-(x^2+1)cosx-ax^2とおくと

i'(x)=-3xcosx+x^2sinx-2ax

これはあれやな。
もう一回微分しろってことやな。

i''(x)=-3cosx+3xsinx+2xsinx-x^2cosx-2ax

ふにゅ…

そうやな、これは定数分離やろな。

a=(cosx-xsinx)/x^2
h(x)=(cosx-xsinx)/x^2
とおくと
h'(x)=-cosx(x^2+2)/x^3

これやがな！

これでh(x)の増減表は
α_n=π/2+(n-1)πとおいて(n=0,1,2,3,…)

α_nで極値なことがわかりますね。

しかもx→+0ではh(x)→∞、x→∞ではh(x)→0で
極値は
h(α_n)=(-1)^n/(π(n-1/2))
やから
|h(α_n)|＞|h(α_(n-1))|
で極値の絶対値は小さくなって奇数番目は負、偶数番目は正やな。

そしたら3つの共有点を持つには
h(α_4)＜a＜h(α_2)か
またはa=h(α_3)
になるときで整理して

2π/7＜a＜2π/3,a=-2π/5
とわかりました。

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【2017/06/09 03:45】 | 東京大学の過去問 | TRACKBACK(0)

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東京大学2013年度理第1問、複素数平面(行列)の問題の解説

今から東京大学2013年度理第1問、複素数平面(行列)の問題の解説をしたいと思います。
よろしくお願いします。

[問題]

実数a,bに対し平面上の点P_n(x_n,y_n)を
(x_0,y_0)=(1,0),(x_(n+1),y_(n+1))=(ax_n-by_n,bx_n+ay_n)(n=0,1,2,…)
によって定める。このとき、次の条件(i),(ii)がともに成り立つような(a,b)をすべて求めよ。
(i)P_0=P_6
(ii)P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5は相異なる

[解答と解説]
この問題はもともと、行列の問題で
(x_(n+1),y_(n+1))=(ax_n-by_n,bx_n+ay_n)
となる(x_n,y_n)→(x_(n+1),y_(n+1))の変換は行列を習わなくなったからわかりにくいねんけど回転拡大縮小をあらわしているねん。

だから複素数平面であらわせるねん。

実際にx_(n+1)+iy_(n+1)=(a+ib)(x_n+iy_n)
やな。

そしたらa+ib=r(cosα+isinα)とおくとα回転してr倍と言うことになるやろ。

これでP_0=P_6になるってことはr=1でnを整数として6α＝360°nつまりα=60°n

P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5は異なることより
k≠jのときkαとjαは360°で割った余りが異なる
⇔
kα≢jα(mod 360°)
⇔
nk≢nj(mod 6)
⇔
nと6は互いに素よりn=1,5とやると

確かにそういうことやねんけど

別の人生を歩み出すことになります。

何が言いたいのかと言うと、そこに重みがあるわけ違うねん。

最初からそう言えや！

何故互いに素なのかは後から書くことにして、この問題ではそこまで一般的にやらなくても

P_0=P_6から6α=360°n(0≦α＜360°)
でα=0°,60°,120°,180°,240°,300
であることが必要やから

もう全部調べて、シラミ潰しでええねん。

それが整数問題では自然やねん。

更に言うと、テクニシャンは-180°≦α＜180°として
α=0°,±60°,±120°,-180°
ってやると場合分けを減らしたりもします。

と言うことで解答は

(ii)より(a,b)≠(0,0)で
x_(n+1)+iy_(n+1)=(a+ib)(x_n+iy_n)
と表せる。
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/√(a^2+b^2)とすれば(-π≦α＜π)

a+ib=√(a^2+b^2)(cosα+isinα)となり
x_n+iy_n=(a+ib)^n(x_0+iy_0)
=(√(a^2+b^2))(cos(nα)+isin(nα))

(i)より(√(a^2+b^2))^6(cos(6α)+isin(6α))=1(cos0+isin0)
よって(√(a^2+b^2))^6=1⇔a^2+b^2=1
また-π≦α＜πから-6π≦6α＜6πより
6α=-6π,±4π,±2π,0
⇔
α=-π,±2/3π,±1/3π,0

これでシラミツブシしていくねん。

α=-πのとき
2α=-2πでP_0=P_2となり不適

α=±2/3πのとき
3α=±2πでP_0=P_3となり不適

α=±1/3πのとき
2α=±2/3π,3α=±π,4α=±4/3π,5α=±5/3πより(ii)を満たす

α=0のとき
P_0=P_1より不適

これから
(a,b)=(1/2,±(√3)/2)
とわかりました。

そしたら…さっきの互いに素の話に戻ろか。
これは複素数平面でも使ったりするしな。

pとqが互いに素な時
1p,2p,3p,…,(q-1)p
をqで割った余りはすべて異なり
1,2,3,…,q-1
が1つずつ表れる

これやがな。

なんでこうなるかは有名な証明があって

1≦i＜j≦q-1として
ipとjpをqで割った余りが等しいと仮定すると
jp-ip=(qの倍数)
⇔
(j-i)p=(qの倍数)

pとqは互いに素より、j-i=(qの倍数)になるやろ。

でも-(q-1)＜j-i＜q-1と言うようにj-iの範囲は狭くてこのうちqの倍数になるのは

j-i=0だけやねん。

それで矛盾するわけですね。

pとqが互いに素でないときは、そもそも余りが最大公約数の倍数になるから全部あらわれないしな。

だから、0,1n,2n,3n,4n,5nを6で割った余りが0,1,2,3,4,5になるには6と互いに素なn=1,5ってわかるにはわかってこれが背景にあるっていうところやな。

東京大学の入試の数学の過去問の解説

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

【2017/05/27 01:31】 | 東京大学の過去問 | TRACKBACK(0)

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