整数問題とかのごとき数学の質問を受けました。
最後の方間違えてたので改めて書き直しますね。
[問題]
1より大きい相異なる整数a、b、cについて、(2a-1)/b、(2c-1)/a、(4b+1)/cがすべて整数であるとする。
a、b、cを求めよ。
(ただし、a＞b＞c)
[解答]
整数問題って言えば一橋大学とかでもよく出て難問が多いですが、
整数問題は中学で受験でも出たりしますが、かなり難問ですよね。
確かに使ってることは中学生とかでも解けるといえば解けるんかもしれませんが…
整数問題の解き方と言うか解法として素因数分解の考え方があります。
例えばだいぶん前に説明した京大2008年の文理共通問題のような奴がありますが、
この整数問題は実はab+1≦abc≦ab+bc+ca+1(c＜b＜a、a,b,cは自然数)の時のa,b,cは？の方の解答に近いです。
すぐに見分けるのって難しいですが、その辺はみんな同じで整数問題で血流してきた歴史があります。
不等式a＞b＞cを上手く使って
整数(2a-1)/b、(2c-1)/a、(4b+1)/cを分子と分母を同じ文字に置き換えたものに置き換えると文字が割れて範囲が絞られます。
(2c-1)/aなんかは
cもaも1より大きい整数(2以上の整数)だから(2c-1)/a＞0であって
2c-1より2a-1の方が大きいから
0＜(2c-1)/a＜(2a-1)/a=2-1/a＜2
で(2c-1)/aは整数だからこの不等式の間に入る整数は1だけなので
(2c-1)/a=1
と決まってしまいます。
こういう考え方を用いてやっていきます。
だからa=2c-1
また(2a-1)/b
2a-1より2b-1の方が小さいから
(2a-1)/b＞(2b-1)/b＞2-1/b＞1
でa=2c-1から(2a-1)/b=(4c-3)/bで4c-3より4b-3の方が大きいから
(2a-1)/b＜(4c-3)/b＜(4b-3)/b=4-3/b＜4
だから
1＜(2a-1)/b＜4
でこれを満たす整数は2と3だけで
(2a-1)/b=2ならば
2(a-b)=1で左辺が偶数、右辺が1で矛盾なので
(2a-1)/b=3
a=2c-1から
3b=4c-3
これを最後の(4b+1)/cに代入して
(4b+1)/c=(16c-9)/3c
=16/3-3/c
=5+1/3-3/c
これが整数になるには1/3-3/cが整数になるのが必要十分です。
c=2では
1/3-3/c=-7/6
ｃ≧3では
-2/3≦1/3-3/c＜1/3
だから1/3-3/c=0です。
よってc=9ってわかって
後は代入してb=11、a=17と出ます。
高校数学の問題と解説
整数問題の解法の解説と問題演習
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