今日はやたらにうんこ出ると思ったら昨日山芋食べたからなんですね。
と話がまとまったところで東京大学2014年度理系第4問微分の問題の解説をします。
[問題]
p,qは実数の定数で、0＜p＜1,q＞0をみたすとする。関数
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx))
を考える。
以下の問いに答えよ。必要であれば、不等式1+x≦e^xがすべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい。
(1)0＜x＜1のとき、0＜f(x)＜1であることを示せ。
(2)x_0は0＜x_0＜1をみたす実数とする。数列{x_n}の各項x_n(n=1,2,3,…)を
x_n=f(x_(n-1))
によって順次定める。p＞qであるとき
lim(n→∞)x_n=0
となることを示せ。
(3)p＜qであるとき
c=f(c),0＜c＜1
をみたす実数cが存在することを示せ。
[解答と解説]
(1)そらもうまず微分やろ。
f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx))
xで微分して
f'(x)=1-p-(1-e^(-qx))+(1-x)qe^(-qx)
=-p+(q+1-qx)e^(-qx)
これはあれですね。
ようわからんから、もう一回微分やな。
f''(x)=-qe^(-qx)+(q+1-qx)(-q)e^(-qx)
=-q(x+q+2)e^(-qx)≦0
これでf'(x)は単調減少やな。
いい感じやな。
次にf'(x)の符号を考えよか。
まず端点の符号を調べると
f'(0)=q+1-p＞0
f'(1)=-p+e^(-q)はわからんから
(i)-p+e^(-q)≧0のとき
f(x)は単調増加で
f(0)=0,f(1)=1-p＜1
いけてるな。
(ii)-p+e^(-q)＜0のとき
f'(x)は単調減少やから、f'(α)=0となるαが1つ存在して
e^(-qα)=p/(q+1-qα)で
f(s)はf(α)で最大値やから
f(α)=(1-p)α+(1-α)(1-e^(-qα))
これで1＞1-pで1＞1-e^(-qα)やからf(α)＜α+(1-α)=1
ってやってると出来なくもないねんけど、これαが0＜α＜1と言うことしか使ってないから意味ないちゃうんって言うことで部屋をのぞくと
こんなわけわからんことになります。
なんかセンターは誰がええか争ってたらこうなったらしい。
この微分した意味を無に返されたような感じは、何を考えてほしいのかと言う
変数をかえてみるねん。
変数を定数に、定数を変数と考えたりしてみるねん。
東大でもよくある処理やな。
これはxを0＜x＜1の定数として、(1-p)xはpの関数と考えるとそれぞれ1次関数やねん。
pの係数は-xよりpの減少関数やねん。
(1-x)(1-e^(-qx))もqの増加関数やろ。
だから
f(x)＜(1-0)x + (1-x)(1-e^(-1・x))＜x + (1-x)=1
f(x)＞(1-1)x + (1-x)(1-e^(-0・x))=0
これで0＜f(x)＜1なるねん。
こうやって変数をかえてみると、簡単になったりするねんな。
(2)
これは|a_n-α|≦r|a_(n-1)-α|
(0＜r＜1)と言うような不等式の等比数列の漸化式みたいなのを作るのが向かうべき道になることが多いねん。
それで
|a_n-α|≦|a_1-α|r^(n-1)
って漸化式式を解くように処理してn→∞で右辺→0でa_n→αを示すわけやな。
(1)より0＜x_0＜1から0＜x_1＜1,0＜x_2＜1…となっていって帰納的に0＜x_n＜1になりますね。
今回はα=0で、x_n＜rx_(n-1)を目指す感じやな。
x_n=(1-p)x_(n-1)+(1-x_(n-1))(1-e^(-qx_(n-1))
なんかこれでrx_(n-1)のような形を目指すには指数関数ではなくて、x_(n-1)の1次式で評価したいとこやな。
そこでe^x≧1+xこんなんあったやんな。
xのところに-qx_(n-1)を代入して
e^(-qx_(n-1))≧1+(-qx_(n-1))
これを使って
x_n≦(1-p)x_(n-1)+(1-x_(n-1))(1-(1-qx_(n-1)))
=(1-p+q-qx_(n-1))x_(n-1)
これでqx_(n-1)＞0やから
x_n≦(1-p+q)x_(n-1)
ってなるねん。
これでx_n≦(1-p+q)^nx_0
で0＜(1-p)+q＜1-p+q=1やから
n→∞で
(1-p+q)^nx_0→0
となってx_n→0となるわけですね。
(3)
f(c)-c=0と考えて、g(x)=f(x)-xを考えよか
そしたら
g(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e^(-qx))-x
=-px+(1-x)(1-e^(-qx))
で
g(0)=0
g(1)=-p＜0
やな。
g(0)=0は0になってちょっと惜しいとこやな。
と言うことは0＜ｘ＜1において正の値をとることがあれば中間値の定理でg(x)=0となるxが存在するはずやな。
とりあえず微分してみると
g'(x)=-p-(1-e^(-qx))+(1-x)qe^(-qx)
これはあれやな。
増減調べて最大値とか探すのは難しそうやな。
でもg(0)=0やったやん。
極値になるxの値までわからなくても、こっから少しでも増加してくれたらええわけやん。
そこで
g'(0)=-p+q＞0と言うようにg(x)はx=0のところで増加してるねん。
それでg'(x)は連続関数やからg'(x)＞0となる区間が存在していてg(α)＞0となるx=αが存在するねん。
f'(x)が連続関数でf'(α)＞0でx=αのところで増加で、f(α)=aやったら
xがαに十分近いとf(x)＞aとなる区間がある
っていうわけやな。
解答には連続関数と書くところがポイントになるからこれぐらいでいいと思うねんけど、もっとここをもし詳しく書くとしたら
g'(x)は連続関数やから
lim(x→+0)g'(x)=-p+q＞0
でxを0に近づけると-p+q＞0に限りなく近づくから、常にg'(x)＞0となるような区間0≦x≦αが存在しているねん。
それで0≦x≦αでg(x)は単調増加やから
g(α)＞g(0)=0
となるわけやな。
これで中間値の定理からg(c)=0(0＜c＜1)となるcが存在することになって題意成立しました。
この(3)は極限を大学で習うε-δ論法的に理解してないとわかりにくいから難しいな。
任意の正の数εに対して、ある正の数δが存在して
|x-0|＜δ⇒|g'(x)-(-p+q)|＜ε
が成り立つから
例えば-δ＜x＜δ
g'(x)-(-p+q)＞-(-p+q)/2
g'(x)＞(-p+q)/2 (＞0)
となる正の数δが存在してるみたいな。
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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