歯磨キュニューピーが僕を襲ってきた。
また意味不明なことを言うてるところで、東京大学2014年度理系文系第2問確率の問題を解説したいと思います。
[問題]
aを自然数(すなわち1以上の整数)の定数とする。
白球と赤球があわせて1個以上入っている袋Uに対して、次の操作(*)を考える。
(*)袋Uから球を1個取り出し,
(i) 取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球a個、赤球1個となるようにする。
(ii)取り出した球が赤球のときは、その球を袋Uへ戻すことなく、袋Uの中身はそのままにする。
はじめに袋Uの中に、白球がa+2個、赤球が1個入ってるとする。この袋Uに対して操作(*)を繰り返し行う。
たとえば、1回目の操作で白球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個、赤球1個となり、さらに2回目の操作で赤球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個のみとなる。
n回目に取り出した球が赤球である確率をp_nとする。ただし、袋Uの中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。
(1)p_1、p_2を求めよ。
(2)n≧3に対してp_nを求めよ。
(3)lim(n→∞)1/m・Σ(n=1～m)p_nを求めよ。
(文系は(2)まで)
[解答と解説]
そうやな、まずはあれやな。
Uに白球がa+2個、赤球が1個やろ。
それで取り出した球が白球のときは、白球a個、赤球1個となるようにして
取り出した球が赤球のときは、袋に戻さないと。
えっとまずはUに白球がa+2個やったっけ？
って文章が長くて複雑で、悩み続けてると
コンコン
って店員がドリンク持ってドア開けると
フッフー！！！
ってこんなわけわからんことになっていて
「どえらいことになってるでこれ」
ってドアをそっと閉められることになります。
そこで、絵を描いて実験してして理解してほしいねん。
まずとりあえず白a+2個と、赤1個あるやろ。
それで白をとると、白a個、赤1個
赤をとると、白a+2個
って樹系図みたいに過程を書いていくねん。
そしたら何かが見えてくるねん。
(1)
もうさっきの実験でやった図で説明してくれたらええわ。
1回目に赤球をとるのはa+3個のうちの1個やから、p_1=1/(a+3)
2回目に赤球をとるのは1回目白の(a+2)/(a+3)、2回目赤の1/(a+1)で、p_2=(a+2)/(a+3)・1/(a+1)=(a+2)/{(a+1)(a+3)}
(2)
おそらくは漸化式やろな。
全部の事象を排反に分割して書くのがコツやな。
さっきの実験からn≧3やったら白球a個、赤球1個の事象と、白球がa個の事象しかないことがわかるやろ。
そしたらn回目後に白球a個、赤球1個になる事象の確率はn-1回目後の状態から赤をとりだしたときやからp_nやん。
と言うことはn回目後に白球がa個、赤球が1個になる事象の確率は1-p_nとあらわせるねん
それでn回目の前後の事象を2つそれぞれ描いて矢印で結ぶねん。
n回目後に白球だけになるのは、n-1回目後に白球がa個、赤球が1個のときに赤を取り出した場合だけで
p_n=1/(a+1)・(1-p_(n-1))
後はこの漸化式をといたらええねん。
p_n-1/(a+2)=-1/(a+1)・(p_(n-1)-1/(a+2))
n≧3やから
p_n-1/(a+2)=(p_2-1/(a+2))・(-1/(a+1))^(n-2)
って初項をp_2-1/(a+2)で始めるねんけど、n≧2でも同じ漸化式やから
p_n-1/(a+2)=(p_1-1/(a+2))・(-1/(a+1))^(n-1)
とやればテクニシャンですね。
(3)
単に計算するだけやけど、等比数列の和を計算し間違えないように
初項と項数と公比の三つを代入して(初項)・(1-(公比)^(項数))/(1-(公比))に入れるねん。
1/m・Σ(n=1～m)(1/(a+2)-1/{(a+2)(a+3)}(-1/(a+1))^(n-1))
1/{(a+2)(a+3)}(-1/(a+1))^(n-1)の部分が初項目はn=1代入して1/{(a+2)(a+3)},
公比は-1/(a+1)、項数はnやな。
後はn→∞で1/(a+2)ですね。
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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