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Cが2次元の圏であって、対象、射、2-射（2-セル）を持っているとします。このとき、2-射を忘れて対象と射だけを考えることに何の問題もありません。Cを通常の（1次元の）圏とみなせます。

では、対象を忘れて射と2-射だけを考えたいときはどうでしょう。射の集合と2-射の集合を単純に取り出しただけでは圏にはなりません。次元が低い構成素を削り落とすには何らかの工夫が必要です。

そんな工夫のひとつとして、高次圏の台となる構造（下部構造）を、高次の箙〈えびら〉を使って表現してみます。高次の箙は、高次圏（higher category, n-category）を記述する便利な言葉を提供します。

内容：

反射的箙

箙（quiver）とは、「多重辺と自己ループ辺を許す有向グラフ」という長ったらしい名前に対する別名です。（この言葉を使うことにした動機は「形容詞「複」「多」と箙〈えびら〉」参照。）

箙をQとして、頂点の集合を|Q|₀, アロー（有向辺）の集合を|Q|₁とします。s, t:|Q|₁→|Q|₀ を写像として、Q = (|Q|₀, |Q|₁, s, t) が箙です。満たすべき公理（条件）は特にありません。

上記の(|Q|₀, |Q|₁, s, t)に加えて、写像 i:|Q|₀→|Q|₁ があって次を満たすとき、(|Q|₀, |Q|₁, s, t, i)を反射的箙（reflexive quiver）と呼びます。

• i;s = id_|Q|0
• i;t = id_|Q|0

反射的箙は、圏から結合（composition）を除いた構造になります。a∈|Q|₀に対するi(a)は恒等射に相当します。「反射的」の由来は、同値関係などの反射律に多少似てるからですが、言葉を気にする必要はありません。

圏の場合と同様に、a, b∈|Q|₀に対するアローセットをQ(a, b)と書きます。f∈Q(a, b) ã‚’ f:a→b in Q とも書きます。

反射的箙の別な定式化

Aを集合として、構造(A, ‖, ◁, E)を考えます。ここで、

• ‖はA上の二項関係
• ◁ã‚‚A上の二項関係
• EはAの部分集合。

‖は共端関係*1、◁は隣接関係と呼びます。f‖g は「fとgは共端」、f◁gは「fはgに（この順で）隣接している」と読みます。

次の公理を仮定します。

1. ‖はA上の同値関係
2. f‖f', g‖g', f◁g ならば、f'◁g'
3. x∈E ならば、x◁x （自分と隣接している）
4. x, y∈E, x‖y ならば、 x = y
5. 任意のfに対して、x◁f となる x∈E がある。
6. 任意のfに対して、f◁y となる y∈E がある。

これは、反射的箙の別定義になります。

与えられた(A, ‖, ◁, E)に対して、(|Q|₀, |Q|₁, s, t, i)を次のように定義します。

1. |Q|₀ := E
2. |Q|₁ := A
3. s(f) := εx.(x◁f かつ x∈E)
4. t(f) := εx.(f◁y かつ y∈E)
5. i:|Q|₀→|Q|₁は、E⊆A の包含埋め込み。

s, tの定義に使っている εx.(…) は、「…であるようなx」と読みます。詳しくは「イプシロン計算ってなんですかぁ？ こんなもんですよぉ」を見てください。sとtが写像としてwell-definedなことは、公理からすぐ出ます。i;s = id, i;t = id も定義から出ます。

(|Q|₀, |Q|₁, s, t, i)から(A, ‖, ◁, E)を作るには、

1. A := |Q|₁
2. f‖g :⇔ s(f) = s(g) かつ t(f) = t(g)
3. f◁g :⇔ t(f) = s(g)
4. E := i(|Q|₀) （iによる像集合）。

(A, ‖, ◁, E)に関する公理も簡単に確認できます。

半反射的箙と概反射的箙

反射的箙と同じ構造 (A, ‖, ◁, E) で、公理を弱めたものを考えます。

1. ‖はA上の同値関係
2. f‖f', g‖g', f◁g ならば、f'◁g'
3. x∈E ならば、x◁x （自分と隣接している）
4. x, y∈E, x‖y ならば、 x = y

アローfの両端にEに属する自己隣接アローが決まることを要求していません。圏で言えば、恒等射の存在を要求しないことに相当します。弱めた公理を満たす構造を半反射的箙（semi-reflexive quiver）と呼ぶことにします。半反射的箙では、Eが空になることも許されます。

(A, ‖, ◁, E)が反射的箙なら、もちろんこれは半反射的箙でもあります。Aを任意の集合として、Aに対して、(A, ‖, ◁, E) を次のように定義すると半反射的箙になります。

• a, b∈A なら、a, bが何でも a‖b
• どんな a, b∈A でも、 a◁b とはならない。
• Eは空集合

さて、これから n≧0 に対してn-概反射的箙（n-almost reflexive quiver）というものを定義します。n-概反射的箙は、次の構成素を持ちます。

1. 0≦ j ≦n に対して集合 |Q|_j
2. |Q|_j上の半反射的箙構造 (|Q|_j, ‖_j, ◁_j, E_j)。
3. 0≦ j ≦(n - 1) に対して写像 s_j, t_j:|Q|_j+1→|Q|_j
4. 0≦ j ≦(n - 1) に対して写像 i_j:|Q|_j→|Q|_j+1

s_j, t_j, i_jは次の関係を満たします。

1. s_j;t_j-1 = t_j;t_j-1
2. t_j;s_j-1 = s_j;s_j-1
3. i_j;s_j = id
4. i_j;t_j = id

さらに次も満たすとします。

• j≧1 ならば、(|Q|_j, ‖_j, ◁_j, E_j) は反射的箙であり、s_j-1, t_j-1, i_j-1 によって作られる反射的箙構造と同じである。

最後の条件を詳しく言うと：

• f‖_jg ⇔ s_j-1(f) = s_j-1(f) かつ t_j-1(f) = t_j-1(f)
• f◁_jg ⇔ t_j-1(f) = s_j-1(g)
• E_j = i_j-1(|Q|_j-1)

(|Q|₀, ‖₀, ◁₀, E₀) だけが例外的で、反射的箙であることは保証されません。

今までの定義内で出てきた上限値nがなくて、任意のj≧0に対して上記の構造が定義されているときは、∞-概反射的箙と呼びます。

[追記]n-概反射的箙Qの0次元部分である|Q|₀上に半反射的箙構造(|Q|₀, ‖₀, ◁₀, E₀) を要求してますが、実際に必要なのは共端関係だけです。したがって、半反射的箙構造を同値関係だけに弱めても、応用上は差し障りがないかも知れません。
[/追記]

高次圏と高次箙

Cをn-圏とします。n-圏の定義は色々ありますが、とりあえず次のことを仮定します。

1. 0≦ k ≦n に対して、Cのk-射（k-セル、k-アロー）の集合が決まっている。Cのk-射の集合を|C|_kとする。特に、|C| = |C|₀。
2. a∈|C|_k（0＜ k ≦n）なら、dom(a), cod(a)∈|C|_k-1 である。
3. a∈|C|_k（0≦ k ＜n）なら、id_a∈|C|_k+1 である。

これは、n-圏Cがn-概反射的箙を決めることを示しています。あるいは、n-圏の台構造がn-概反射的箙であるとも言えます。

n-圏Cが決めるn-概反射的箙をもう少しハッキリと記述しておきましょう； |C|_k上で定義されたdom, codは dom_(k-1), dom_(k-1):|C|_k→|C|_k-1 と書くことにします。下付き添字の番号が(k - 1)である点に注意してください。|C|_k上で定義されたidは、id_(k):|C|_k→|C|_k+1 とします。

s, t, iの代わりにdom, cod, idを使うので、今後は文字iを番号に使うことを許します。

念のために、dom, cod, idが満たす等式を再度書いておくと：

1. dom_(i);cod_(i-1) = cod_(i);cod_(i-1)
2. cod_(i);dom_(i-1) = dom_(i);dom_(i-1)
3. id_(i);dom_(i) = Id_|C|i
4. id_(i);cod_(i) = Id_|C|i

ここで、id_(i)は箙の構造を定義する写像で、Id_|C|iは“i-射の集合|C|_i”の上の恒等写像です。

n-圏Cの対象の集合|C|₀は単なる集合なので、(|C|₀, ‖₀, ◁₀, E₀) は自明な方法で定義しておきます。つまり、

1. A, B∈|C|₀ ならば、A‖B。
2. A, B∈|C|₀ ならば、A◁B ではない。

0＜ i ≦n に対する(|C|_i, ‖_i, ◁_i, E_i) は、dom, cod, idから自動的に決まります。

n-圏Cから決まるn-概反射的箙も同じ記号Cで表します。n-概反射的箙Cは、k-射の集合（k = 0, 1, ..., n）と、3×n個の写像から構成されます。

n-概反射的箙Cに対して、その1-シフトは、|C|₀を捨てて、番号を付け直した(n - 1)-概反射的箙です。Cの1-シフトをC_[1]と書いて、シフトしたdom, cod, idは、dom_[1], cod_[1], id_[1]とします。

• 0≦ i ≦ (n -1) に対して、(C_[1])_i = C_i+1
• 0≦ i ≦ (n -1) に対して、(dom_[1])_(i) = dom_(i+1)、(cod_[1])_(i) = cod_(i+1)、(id_[1])_i = id_(i+1)。

この定義で、C_[1]はn-概反射的箙になります。|C_[1]|₀ = |C|₁上の(‖, ◁, E)構造は反射的箙になりますが、反射的箙は半反射的箙なので問題ありません。

Cがn-概反射的箙のとき、0≦ k ≦n に対してk-シフトを次のように定義できます。

• C_[0] := C
• C_[k] := (C_[k-1])_[1]

C_[k]は(n - k)-概反射的箙になります。C_[k]が、Cのk次元未満のセルを捨てた構造です。

共端対とホム箙

通常の圏Dにおいて、A, B∈|D| に対するホムセットD(A, B)は大変に便利な概念です。高次圏に対してもホムセットを定義しましょう。

Cはn-圏だとして、対応するn-概反射的箙も同じCで表します。0≦ k ＜n として、a, b∈|C|_k とします。同じ次元（k）の射は共端かどうかを判定できます。a‖_kbのとき、(a, b)をk-共端対と呼びます。

• k = 0 のときは、a‖₀b は|C|₀上の関係として決まる。
• k ＞ 0 のときは、a‖_kb は dom_(k-1)(a) = dom_(k-1)(b) かつ cod_(k-1)(a) = cod_(k-1)(b) のこと。

a, bがk-共端対のとき、C(a, b)を定義できます。C(a, b)は、(n - k - 1)-概反射的箙になるので、aからbへのホム箙と呼びます。C(a, b)は高次箙なので、(n - k)個の集合 |C(a, b)|₀, ..., |C(a, b)|_n-k-1 と各次元のdom, cod, idで構成されます。これらの構成素を定義していきます。

準備として、X⊆|C|_j（0≦ j ＜n）に対して X^#⊆|C|_j+1 を定義します。

• X^# = {a∈|C|_j+1 | dom_(j)(a)∈X かつ cod_(j)(a)∈X }

(X^#)^# = X^## = X^#2, ((X^#)^#)^# = X^### = X^#3 のようにも書きます。

さて、C(a, b)の定義です。C(a, b)に付随するdom, cod, idをdom', cod', id' とします（これ以上の添字は煩雑なので）。

• |C(a, b)|₀ = {x∈|C|_j+1 | dom_(j)(x) = a かつ cod_(j)(x) = b}
• |C(a, b)|_i := (|C(a, b)|₀)^#i
• dom'_(i) := (dom_(k+i)の|C(a, b)|_i+1への制限), cod'_(i) := (cod_(k+i)の|C(a, b)|_i+1への制限), id'_(i) := (id_(k+i)の|C(a, b)|_iへの制限)。

以上により、C(a, b)は、(n - k - 1)-概反射的箙になります。

実例：小さい圏の圏

n = 2, C = Cat の場合を考えてみます。

• |Cat|₀ = (すべての（小さい）圏の集合)
• |Cat|₁ = (すべての関手の集合)
• |Cat|₂ = (すべての自然変換の集合)
• dom₍₀₎, cod₍₀₎, id₍₀₎ は、関手のdom, cod, id
• dom₍₁₎, cod₍₁₎, id₍₁₎ は、自然変換のdom, cod, id

ホム箙は二種類考えることができます。A‖₀B に対するCat(A, B)と、F‖₁G に対するCat(F, G)です。

A, B を小さい圏として、(2 - 0 - 1)-概反射的箙Cat(A, B)を定義しましょう； A‖₀B は無条件に成立するので、1-概反射的箙Cat(A, B)を定義できます。

• |Cat(A, B)|₀ = {F∈|Cat|₁ | dom₍₀₎(F) = A かつ cod₍₀₎(F) = B}
• |Cat(A, B)|₁ = (|Cat(A, B)|₀)^# = {α∈|Cat|₂ | dom₍₁₎(α), cod₍₁₎(α)∈|Cat(A, B)|₀ }

F, G を関手として、(2 - 1 - 1)-概反射的箙Cat(F, F)を定義しましょう； F‖₁G ならば、0-概反射的箙Cat(F, G)を定義できます。

• |Cat(F, G)|₀ = {α∈|Cat|₂ | dom₍₁₎(α) = F かつ cod₍₁₎(α) = G}

2種のホム箙の対象集合（0-射の集合）を簡略化した記法で書けば：

• |Cat(A, B)|₀ = Functor(A, B)
• |Cat(F, G)|₀ = NatTran(F, G)

まとめと展望

球体（globe）ベースで定義されたn-圏（高次圏）から結合演算を取り除いてしまうと、n-概反射的箙になります。逆に言うと、n-概反射的箙は、n-圏を定義するための土台となる構造です。

n-概反射的箙では、k-シフトにより低次元のセルを捨てることと、任意の共端対に対するホム箙を取り出すことが出来ます。シフトの結果もホム箙も再び概反射的箙になります。したがって、シフトとホム箙抽出の操作は、組み合わせたり繰り返したりできます。

n-概反射的箙のあいだの準同型射を定義すれば、n-概反射的箙の圏n-AReQを構成できます。k-シフトは、(-)_[k]:n-AReQ→(n-k-1)-AReQ という関手となります。また、n-概反射的箙を∞-概反射的箙に拡張する関手 n-AReQ→∞-AReQ も定義できます。

n-概反射的箙の概念に基いて、n-圏（高次圏）に関する記述法をもう少し整理できるんじゃないか、と考えています。

*1:英語ではparallel（平行）ですが、共端のほうが意味が伝わると思います。