球体集合とペースティング図／指標

ひとつ前の記事「球体集合と組み合わせ幾何」で、球体集合の圏についておおよそは説明しました。この記事では、次元が低い球体集合達の圏について述べます。球体集合の絵図表示であるペースティング図とテキスト表示である指標についても補足します。

低次元の球体集合を見ることにより、球体集合の圏が、集合圏 $`\mathbf{Set}`$ や有向グラフの圏 $`\mathbf{Graph}`$ の自然な拡張であることが分かるでしょう。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
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`$

内容：

n次元の球体圏

「球体集合と組み合わせ幾何」で述べた球体圏〈globe category〉 $`\mbf{G}`$ の定義を繰り返します。

• $`|\mbf{G}| = \mbf{N} = \{0, 1, 2, \cdots\}`$ （無限集合）
• $`i\in \mbf{N}`$ ごとに、次の射がある。
  • $`s_i : i + 1 \to i \In \mbf{G}`$
  • $`t_i : i + 1 \to i \In \mbf{G}`$
• 恒等射以外のすべての射は、$`s_i, t_i`$ の結合で書ける。ただし、以下の等式的関係（球体関係式と呼ぶ）がある。
  • $`s_{i + 1}; s_i = t_{i+1}; s_i \In \mbf{G}`$
  • $`s_{i + 1}; t_i = t_{i+1}; t_i \In \mbf{G}`$

次元関数 $`\mrm{dim}: |\mbf{G}| \to \mbf{N}`$ は恒等関数です。次元関数は、リーディ圏（「圏論で使う「図式」と「形状」 // リーディ圏」参照）としての次数関数です。

$`\quad \mrm{dim}(i) = i`$

つまり、対象 $`i`$ の次元〈dimension〉は $`i`$ 。

球体関係式〈globular {relation | equation | condition}〉は次の図が可換図式になることです。

$`\quad \xymatrix@C+2pc{
{i+ 2} \ar@{=}[r]\ar@{=}[r]
\ar[d]_{s_{i+1}}
\ar[dr]^>{s_{i+1}}
&{i + 2}
\ar[d]^{t_{i+1}}
\ar[dl]_>{t_{i+1}}
\\
{i+ 1} \ar@{=}[r]\ar@{=}[r]
\ar[d]_{s_{i}}
&{i + 1}
\ar[d]^{t_{i}}
\\
{i} \ar@{=}[r]\ar@{=}[r]
&{i}
}\\
\quad \text{commutative in }\mbf{G}
`$

通常、「射」と「アロー」は同義語ですが、ここでは、球体圏の射に限ってアロー〈arrow〉と呼ぶことにします。$`s_i`$ はソースアロー〈source arrow〉、$`t_i`$ はターゲットアロー〈target arrow〉です。

次に、自然数 $`n\in \mbf{N}`$ に対して、$`n`$次元の球体圏〈globe category of dimension $`n`$〉 $`\mbf{G}n`$ を定義します。

• $`|\mbf{G}n| = \{0, 1, \cdots, n\}`$ （有限集合）
• $`i\in \{0, 1, \cdots, n - 1\}`$ ごとに、次の射がある。
  • $`s_i : i + 1 \to i \In \mbf{G}n`$
  • $`t_i : i + 1 \to i \In \mbf{G}n`$
• 恒等射以外のすべての射は、$`s_i, t_i`$ の結合で書ける。ただし、以下の等式的関係（球体関係式と呼ぶ）がある。
  • $`s_{i + 1}; s_i = t_{i+1}; s_i \In \mbf{G}n`$
  • $`s_{i + 1}; t_i = t_{i+1}; t_i \In \mbf{G}n`$

対象が$`(n + 1)`$個しかない点を除いて $`\mbf{G}`$ と同じです。$`\mbf{G}0`$ は対象が1つと恒等射だけの圏です。$`\mbf{G}1`$ は対象が2つと恒等射以外に $`s_0, t_0`$ がある圏です。

$`\mbf{G}n`$ から $`\mbf{G}`$ への自然な埋め込み関手があります。

$`\quad \mbf{G}n \hookrightarrow \mbf{G} \In \mbf{Cat}`$

また、$`n \le m`$ なら $`\mbf{G}n`$ から $`\mbf{G}m`$ への自然な埋め込み関手もあります。

$`\quad \mbf{G}n \hookrightarrow \mbf{G}m \In \mbf{Cat}`$

反対圏は小文字の名前にします。

• $`\mbf{g}0 := {\mbf{G}0}^\op`$
• $`\mbf{g}1 := {\mbf{G}1}^\op`$
• $`\mbf{g}2 := {\mbf{G}2}^\op`$
• ‥‥
• $`\mbf{g} := {\mbf{G}}^\op`$

記法を揃えるために、$`\mbf{G}, \mbf{g}`$ を $`\mbf{G}\omega, \mbf{g}\omega`$ と書くこともあります。

ここでは、$`\mbf{G}`$ を球体圏と呼びましたが、反対圏である $`\mbf{g}`$ を球体圏とすることもあります。あるいは、$`\mbf{G}, \mbf{g}`$ の両方とも球体圏と呼ぶこともあります（詳細は「球体集合と組み合わせ幾何 // 共変か反変か（混乱の原因）」参照）。

球体集合の名目次元と実質次元

「球体集合と組み合わせ幾何」では、圏 $`\mbf{G}`$ から集合圏への共変関手を球体集合と呼びました。球体集合の定義を少し拡大して、$`\mbf{G}n`$ から集合圏への共変関手も球体集合〈globular set〉と呼ぶことにします。

変数 $`\mu`$ は、自然数または $`\omega`$ の値をとる変数とします。

$`\quad \mu \in (\mbf{N}\cup \{\omega\})`$

$`\mbf{G}\mu`$ と書いたら、自然数 $`n`$ に対する $`\mbf{G}n`$ か、または $`\mbf{G}\omega = \mbf{G}`$ を表します。

記法の簡略化のために、次の定義をします。

• $`\XRng{n} := \{0, 1,\cdots, n\}`$ （$`0`$ ã‚‚ $`n`$ も入ることに注意）
• $`\XRng{\omega} := \mbf{N}`$

$`X`$ を球体集合とします。つまり適当な $`\mu \in (\mbf{N}\cup \{\omega\})`$ に対して、

$`\quad X \in |\Set{\mbf{G}\mu} |\\
\T{i.e }X : \mbf{G}\mu \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}
`$

ここで、「$`\Set{\mbf{G}\mu}`$」はスピヴァックのハイフン記法（「球体集合と組み合わせ幾何 // 球体集合」参照）です。ハイフン記法は便利で、僕は好きです。

球体集合 $`X`$ の“次元”は次の2つの定義があります。

• $`X \in |\Set{\mbf{G}\mu}|`$ のとき、$`\mu`$ ã‚’ $`X`$ の名目次元〈nominal dimension〉と呼ぶ。
• 集合 $`\{ i \in \XRng{\mu} \mid X_i \ne \emptyset\}`$ が空集合ではなくて最大元があれば、最大元である自然数を $`X`$ の実質次元〈actual dimension〉と呼ぶ。
• 上記の集合が空集合のとき、$`-1`$ ã‚’ $`X`$ の実質次元〈actual dimension〉とする。
• 上記の集合に最大元がないときは、$`\omega`$ ã‚’ $`X`$ の実質次元〈actual dimension〉とする。

名目次元と実質次元の値の範囲を揃えるために、$`\mbf{G}(-1) := \emptyset`$ （空圏）と定義することもあります。名目次元が $`-1`$ である球体集合 $`X`$ は、次の関手です。

$`\quad X: \emptyset \to \mbf{Set} \In \mbf{Cat}`$

このような $`X`$ はひとつだけ存在します。したがって、次が成立します。

$`\quad \Set{\mbf{G}(-1)} \cong \mbf{1}`$

前節で述べた規準的な〈自然な〉埋め込み関手は、球体集合の圏のあいだの関手を誘導します。

$`\quad \Set{\mbf{G}\omega} \to \Set{\mbf{G}n} \In \mbf{CAT}`$
$`\quad \Set{\mbf{G}m} \to \Set{\mbf{G}n} \In \mbf{CAT}`$

このような、球体集合の圏のあいだの（「球体圏のあいだの」ではない）関手は、打ち切り関手〈truncation functor〉と呼びます。打ち切り関手は、球体集合（実体は関手）の域を制限する（関手の一部を捨てる）操作です。情報を捨てる〈忘れる〉ので、忘却関手と言ってもいいでしょう。

ここでの「次元」という言葉は、次の5つの意味・用法があるので注意して下さい。

1. 球体圏の次元： $`\mbf{G}n`$ の次元は $`n`$ 、$`\mbf{G} = \mbf{G}\omega`$ の次元は $`\omega`$
2. 球体圏の対象の次元： 対象 $`i \in |\mbf{G}\mu|`$ の次元は $`i`$ （次元関数が恒等関数）
3. 球体集合の名目次元： 球体集合 $`X : \mbf{G}\mu \to \mbf{Set}`$ の名目次元は $`\mu`$
4. 球体集合の実質次元： 上記の定義のとおり
5. 球体集合のセルの次元： セル $`c\in X_i`$ の次元は $`i`$

(-1)次元を考えるときは：

1. (-1)次元の球体圏 $`\mbf{G}(-1)`$ は空圏。空圏は存在する。
2. (-1)次元の球体圏の対象は存在しない。
3. (-1)次元の球体圏の射は存在しない。
4. (-1)次元の球体集合はひとつだけ存在する。名目次元も実質次元も -1 。
5. (-1)次元の球体集合のセルは存在しない。セルが存在しないので、(-1)次元のセルという概念は無意味。

打ち切り関手の自由忘却随伴系

$`\Set{\mbf{G}}`$ は、名目次元が無限〈$`\omega`$ 〉な球体集合達の圏です。個々の球体集合の実質次元は有限かも知れません。一方、自然数 $`n`$ に対する $`\Set{\mbf{G}n}`$ は、名目次元が有限値 $`n`$ である球体集合達の圏です。実質次元は $`n`$ より小さい数かも知れません。

前節で定義した打ち切り関手を次のように書きます。

$`\quad \mrm{tr}_n : \Set{\mbf{G}} \to \Set{\mbf{G}n} \In \mbf{CAT}`$

打ち切り関手には、左随伴関手が存在して、随伴ペアを形成します。

$`\quad \mrm{sk}_n \dashv \mrm{tr}_n`$

ここで、"sk" は skeleton〈骨格〉の短縮です。左髄関手は骨格関手〈skeletal functor〉と呼びます。「骨格」という言葉は他の意味でも使うので、用語コンフリクトを起こしていて“イヤな感じ”はするのですが、ここは（シブシブ）習慣に従っておきます。

$`X`$ をn次元の球体集合だとして、その骨格拡張*1 $`\mrm{sk}_n(X)`$ は、次の図式が可換になる関手です。（関手〈前層〉 $`X`$ の、関手 $`\mrm{sk}_n`$ による値がまた関手。）

$`\quad \xymatrix @C+1pc{
\mbf{G}n \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_X
& \mbf{G} \ar[dl]^<{\mrm{sk}_n(X)}
\\
\mbf{Set}
&{}
}\\
\quad \T{commutative in }\mrm{CAT}
`$

$`X`$ の骨格拡張は、$`\mbf{G}`$ の対象 $`n + 1, n+ 2, \cdots`$ には空集合を対応させます。

$`\quad {\mrm{sk}_n(X)}_{n+1} := \emptyset\\
\quad {\mrm{sk}_n(X)}_{n+2} := \emptyset\\
\quad \cdots
`$

空集合からの射はひとつしかないので、対応する写像は自動的に決まります。

$`X`$ の骨格拡張に関して次のホムセット同型が（系統的に）成立します。

$`\quad \Set{\mbf{G}}(\mrm{sk}_n(X), Y) \cong \Set{\mbf{G}n}(X, \mrm{tr}_n(Y))`$

証明は難しくありません。

前節で、$`\mrm{tr}_n(\hyp)`$ は忘却関手だと言いましたが、$`\mrm{sk}_n(\hyp)`$ は忘却関手に対応する自由関手〈自由生成関手〉です。よって、この随伴系は自由忘却随伴系〈free-forgetful adjunction〉になります。

打ち切り関手の右随伴関手（余骨格関手〈coskeleton functor〉と呼ばれる）も具体的に構成できそうですが、ちょっと面倒なので今は触れません。

(-1)次元、0次元、1次元の球体集合

前節までの説明で、$`\mbf{G}(-1), \mbf{G}0, \mbf{G}1`$ は次のような圏だと分かります。

• $`\mbf{G}(-1)`$ は空圏。対象も射も持ってない。
• $`\mbf{G}0`$ は自明な圏。対象を1つ、射は恒等射だけを持つ圏。
• $`\mbf{G}1`$ は、対象を2つ、恒等射を2つ、恒等射以外に $`s_0, t_1`$ だけを持つ圏。

$`\mbf{G}1`$ のすべての対象とすべての射（恒等射も含む）を描くと次のようです。2つの対象、4つの射からなる圏です。

$`\quad\xymatrix{
0 \ar@(dl, ul)[0,0]^{\id_0}
& 1 \ar@(dr, ur)[0, 0]_{\id_1}
\ar@/^/[l]^{t_0} \ar@/_/[l]_{s_0}
}`$

これらの形状スキーマに対応する形状付き集合の圏は次のようです。

• $`\Set{\mbf{G}(-1)}`$ は、ただ1つの対象と恒等射を持つ圏（自明な圏）。
• $`\Set{\mbf{G}0}`$ は、集合圏 $`\mbf{Set}`$ と圏同型な圏。
• $`\Set{\mbf{G}1}`$ は、有向グラフの圏 $`\mbf{Graph}`$ と圏同型（むしろ同じ）圏。

集合圏は、モノイド／群／環などの基本的な代数系を定義する基盤・背景となる圏です。有向グラフの圏を基盤・背景としてモノイド（の相当物）を定義すると、それは1-圏になります。このことを鑑みると、名目$`n`$次元の球体集合の圏 $`\Set{\mbf{G}n}`$ や名目無限次元の球体集合の圏 $`\Set{\mbf{G}}`$ が、高次圏や高次の代数系の基盤・背景となることが想像できるでしょう。

球体集合の圏 $`\Set{\mbf{G}n}`$ は、（球体アプローチにおける）いわば「$`n`$次の集合圏」、$`\Set{\mbf{G}}`$ は「無限次の集合圏」なのです。0次の集合圏（通常の集合圏）の対象である集合は、それ自体は何の構造も持ちません。しかし、高次の集合圏（球体集合の圏）の対象である球体集合は、組み合わせ幾何的構造を持ちます。球体集合は組み合わせ的な“空間”と呼んでいいでしょう。集合圏から高次の集合圏（球体集合の圏）への拡張は、構造物〈structure〉を載せる土台〈carrier | underlying thing〉を、集合から空間へと拡張することになります。

ペースティング図と指標

ペースティング図の一例を、「球体集合と組み合わせ幾何」から再掲します。

$`\quad \xymatrix@C+1pc{
A
\ar@/^1.2pc/[r]^{f}_{\alpha\,\Downarrow}
\ar[r]|{f'}
\ar@/_1.2pc/[r]^{\beta\, \Uparrow}_{f''}
&B
&C
\ar[l]^{g}
&D
\ar@(ul, ur)[0,0]^h
}`$

このペースティング図が表す球体集合を $`X`$ とすると、
$`\quad X : \mbf{G}2 \to \mbf{Set}\In \mbf{CAT}`$
と考えることができます。共変関手 $`X`$ の値割り当てを書くと：

$`\quad X(0) = X_0 := \{A, B, C, D\}\;\in |\mbf{Set}|`$
$`\quad X(1) = X_1 := \{f, f', f'', g, h\}\;\in |\mbf{Set}|`$
$`\quad X(2) = X_2 := \{\alpha, \beta \}\;\in |\mbf{Set}|`$

射に対する値割り当て（ソース写像とターゲット写像）は図から読み取ってください。

2次元の球体集合（$`\Set{\mbf{G}2}`$ の対象）までなら、ペースティング図で視覚的に表示することができます。3次元の球体集合も、3Dグラフィックスを使えばなんとか描けます（手描きでは難しい）。ポアンカレ双対をとって、ストリング図／サーフェイス図で描くという手段もあります。

視覚的な表示〈ビジュアライゼーション〉ではなくて、テキストに書き下すこともできます。やはり「球体集合と組み合わせ幾何」からの再掲ですが：

$`\T{signature } X \: \{\\
\quad \T{0-cell }A, B, C, D\\
\quad \T{1-cell }f, f', f'' : A\to B\\
\quad \T{1-cell }g : C\to B\\
\quad \T{1-cell }h : D\to D\\
\quad \T{2-cell } \alpha :: f \twoto f'\\
\quad \T{2-cell } \beta :: f'' \twoto f'\\
\}
`$

矢印記号は三重の矢印 $`\Rrightarrow`$ までは LaTeX にあります。次元が4以上になっても、指数記法で矢印の太さ（とコロンの個数）を示す記法なら対応できます。指数記法とは：

$`\T{signature } X \: \{\\
\quad \T{0-cell }A, B, C, D :^0 * \to^0 *\\
\quad \T{1-cell }f, f', f'' :^1 A \to^1 B\\
\quad \T{1-cell }g :^1 C\to^1 B\\
\quad \T{1-cell }h :^1 D \to^1 D\\
\quad \T{2-cell } \alpha :^2 f \to^2 f'\\
\quad \T{2-cell } \beta :^2 f'' \to^2 f'\\
\}
`$

0次元に関しては、ダミーの記号 $`*`$ を使って書き方を揃えています。4次元のセルなら、例えば次のように書きます。

$`\quad \T{4-cell } \mathscr{F} :^4 \Gamma \to^4 \Delta`$

文字種・フォントを変えているのも気分と分かりやすさの問題なので、セルをすべてラテン文字小文字イタリックで書いてもかまいません。

$`\quad \T{4-cell } f :^4 a \to^4 b`$

人間は視覚的な把握が得意なので、テキスト形式で書く指標は、複雑になると解釈困難になります。しかし、高次元の組み合わせ幾何的対象物〈combinatorial geometric object〉を直接に視覚化〈ビジュアライゼーション〉する手段がないので致し方ないですね。

*1:「骨格拡張」の代わりに「空延長〈empty prolongation〉」とかのほうが混乱が少なくて良さそうな気がするけど。