グミの新作を買い続けて人の信用を失ったところで東京大学2013年度理系第3問の解説をしたいと思います。
[問題]
A,Bの2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ1/2のコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i)Aがコインを持っているときは、コインを投げ表が出ればAに1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば両者に点を与えじ、AはコインをBに渡す。
(ii)Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればBに1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そしてA,Bのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、この時点でAは1点、Bは2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1)A,Bあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率p(n)を求めよ。
(2)Σ(k=1～∞)p(n)を求めよ。
[解答と解説]
(1)
この問題はな
こうやってシンプルに描くと0.7秒かかるやろ
こうやってリアルに描くと11分32秒かかるやろ。
これで大きな差が生まれるねん。
そういうことや。
だからそれだけじゃわからんやろ！
どういうことかと言うと、確率は絵で説明すると早く見やすくて
この問題でも
表裏表裏裏裏…
と描くよりも
○×○××
って描いた方が早いし、見やすくてこういう処理で差が結構出てきてしまったりするねん。
それでこの問題では2点で勝利やから、基本的に×ばっかで
○が2回か、3回やろな。
最後のn回目は○じゃないとあかんしな。
そしたら○が2回のときはAで○を1回、AとBで×をn-2回だして交換しあって最後にAが○やな。
と言うことはn-2回でAに戻ってこないといけないからnが偶数の時と言うことになるな。
nが偶数のとき
×××××××…×××○
で図の矢印の偶数番目の直前のところに○を入れたらAで○を出したことになるな
これは(n-2)÷2+1=n/2通りですね。
と言うことで
p(n)=n/2・(1/2)^n
今度は○が2回のときはAで○を1回、Bで○を1回、AとBで×をn-3回だして交換しあって最後にAが○ですね。
と言うことではn-3回でAに戻ってこないといけないから、nは奇数と言うことになるな。
nが奇数のとき
×××××××…××××○
図の短い矢印の偶数番目の直前のところに○を入れることでAで○を出したことになって
(n-3)/2+1=(n-1)/2
図の長い矢印の奇数番目の直前のところに○を入れることでBで○を出したことになり
(n-3)/2
よって
p(n)=(n-1)/2・(n-3)/2・(1/2)^n
と言うことになりました。
(2)これな、やることはわかると思うねん。
奇数で終わるか偶数で終わるかで式の表し方がかわるから、それぞれで立式して無限に飛ばす感じやな
n=2mまでくわえるとき
Σ(k=1～m)p(2k)+Σ(n=1～m)p(2k-1)
=Σ(k=1～m)k(1/2)^(2k)+Σ(k=1～m)(k-1)(k-2)(1/2)^(2k-1)
とか計算がやたら大変やねん。
そこでS_n=Σ(k=1～n)r^k、T_n=Σ(k=1～n)kr^k、U_n=Σ(k=1～n)k^2r^kを計算して、それぞれのn→∞の極限をS,T,Uとしてこれ組み合わせて計算すると言う処理の仕方があるねん。
式を整理してから極限とるんじゃなくて、極限とってから整理やな。
r=1/4として
S_n=r(1-r^n)/(1-r)→r/(1-r)=1/3
T_nはrT_nとの差を考えて
(1-r)T_n=S_n-r^(n+1)
T_n=1/(1-r)・S_n - nr^(n+1)/(1-r)→1/(1-r)・S=4/9
U_nもrU_nとの差を考えて
(1-r)U_n=2T_n-S_n-n^2・r^(n+1)
U_n=1/(1-r)・T_n-1/(1-r)・S_n-n^2・r^(n+1)/(1-r)
→2r/(1-r)・T-1/(1-r)・S=32/27-4/9=20/27
これで
Σ(n=1～2m)p(n)
=Σ(k=1～m)p(2k)+Σ(n=1～m)p(2k-1)
=Σ(k=1～m)k(1/2)^(2k)+Σ(k=1～m)(k-1)(k-2)(1/2)^(2k-1)
=Σ(k=1～m)k(1/4)^k+Σ(k=1～m)2(k-1)(k-2)(1/4)^k0
=Σ(k=1～m)(2k^2-5k+4)(1/4)^k
=2U_m-5T_m+4S_m
→2・20/27-5・4/9+4・1/3=16/27
(m→∞)
Σ(n=1～2m+1)p(n)
=Σ(n=1～2m)p(n)+p(2m+1)
→16/27+0=16/27
(m→∞)
よって
Σ(n=1～∞)p(n)=16/27
東京大学の入試の数学の過去問の解説
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