イジング模型とポッツ模型のどえらく簡単な例

id:hiroki_fさん（a.k.a. ジョニー）が統計力学と熱力学について、本質的かつ難しいことを語ろうとしてますが、ついて行けそうにないので、非本質的かつやさしい議論をします。

物理的な背景やらメカニズムを理解するのは最初からあきらめ、簡単な例について、なんらかの量を計算できればそれでいい、という方針。ジョニー＠居酒屋・天狗に教わったことの（おそらくは曲解しての）復習ですね。

内容：

模型（モデル）の構成

磁石（または類似の現象）の話に限ることにして、模型を作るには次の構成要素を決定します。

1. 物体が存在する空間
2. 物体の形状
3. 物体上に分布する量
4. 物体の状態という概念
5. エネルギーの求め方
6. エネルギーを確率変数とみなしての確率分布

まず、物体が存在する空間は1次元だとします。物体は直線内にあるナニカですね。1次元空間＝直線は普通の実数直線でモデル化します*1。

物体の形状は、離散的なモデルを採用して、直線内に閉じ込められた単純無向グラフ*2だとします。整数の点をグラフの頂点とみなし、お隣どうしの点（例えば、2と3）が辺でつながっているかどうかを指定すれば、グラフが定義できます。

とにかく単純化したいので、グラフの頂点は {1, 2, ..., N} だとして、次のような関数Jでつながり具合を表現します。

• J(i) = (iとi+1がつながっていれば1, そうでなければ0)

N = 6 の場合、J(1) = 1, J(2) = 1, J(3) = 0, J(4) = 0, J(5) = 1 だとすると、“物体”は次の図のようになります。

物体（1次元に閉じ込められた単純無向グラフ）の各頂点にスピンが割り当てられます。「スピンとはなんぞや」は棚上げして、ともかくも2値の量だとします。スピンの表現は、0と1でも、黒と白でも何でもいいのですが、+1と-1を採用します。単に、+, -と符号だけを書くこともあります。

物体上のスピンの分布は、{0, 1, ..., N}→{+1, -1}という関数で表現されます。この関数を状態（配位ともいう）と同一視します。例えば、s(1) = +1, s(2) = +1, s(3) = -1, s(4) = -1, s(5) = +1, s(6) = -1 は1つの状態です。頂点がN個ある物体において、状態の総数は2^N個になります。6頂点の物体なら2⁶ = 64個の状態を持ちます。確率の言葉では、各状態が標本点ということです。

状態とエネルギー

N = 6の例でも、状態は64個あるので列挙するのが面倒です。N = 3のケースで、J(1) = 1, J(2) = 0 である物体を考えます。状態sを、(s(1), s(2), s(3))という長さ3のタプルで表現します。例えば、(+, -, +) は1つの状態です。すべての状態を列挙しても8個なのでたいしたことはありません。

状態のエネルギーは、各状態に対して定義される実数値で、その状態の起こりやすさの目安を与えます。

• エネルギーが高い状態は起こりにくい。
• エネルギーが低い状態は起こりやすい。

状態sのエネルギーをE(s)として、適当な関数fにエネルギーを代入した量 f(E(s)) がsの起こりやすさに比例する量となります。僕は、Eやfの具体的な形をどうやって決めるか（決まったのか）サッパリわかりませんでしたし、今でもわかりません。が、ジョニー＠居酒屋・天狗曰く、「Eやfの具体的な表式はどうでもよくて、最終的に磁石になりやすい、なりにくいが説明できればいい」と。

そういう次第で、Eやfの具体的な形にはこだわらないことにして、E(s), f(E(s))の算出法を述べます。物体のモデルであるグラフの辺を、ボンドとも呼びます。ボンドと呼んだほうが感じが出る（なんの感じ？）のでそうします*3。エネルギーはボンドごとに計算するとして、

• ボンドの両端が同じスピンなら、そのボンドの局所エネルギーは-1
• ボンドの両端が違うスピンなら、そのボンドの局所エネルギーは1

とします。状態sのエネルギーを求めるには、ボンドの局所エネルギーを足し合わせます。一般的な表式は：

• Σ(i=1からi=N-1まで : (-1)×J(i)×s(i)×s(i+1) )

となります。上で出した例では、ボンドが1本（頂点1と頂点2をつなぐボンド）しかないので、総和の必要はありません。以下に、8つの状態のエネルギーを列挙します。

状態s	エネルギーE(s)
+, +, +	-1
+, +, -	-1
+, -, +	1
+, -, -	1
-, +, +	1
-, +, -	1
-, -, +	-1
-, -, -	-1

状態の実現確率

エネルギーが低い状態のほうが起こりやすいので、(+, -, +)より(+, +, +)のほうが起こりやすいことは分かります。が、もっと計量的に“起こりやす”さを評価したいものです。物理的背景とメカニズムはさておき（そういう方針）、天下りに 0＜c＜1 である定数cを導入して、c^E(s) が状態sの出現確率を与えるとします（エネルギーを確率変数とみなして、指数分布というらしい）。ただし、すべての状態の出現確率を足して1になるように定数Zで割り算しておく必要はあります。

• sの出現確率 = 1/Z×c^E(s)

定数cには温度が含まれるのですが、温度は一定として、ほんとの定数と思っていいでしょう。ここでは、c = 1/2 = 0.5 に決めてしまいます。関数f(x) を (1/2)^xとして、f(E(s)) = (1/2)^E(s) を出現確率の計算に使います。例に対して(1/2)^E(s)を算出しておきます。

状態s	エネルギーE(s)	(1/2)E(s)
+, +, +	-1	2
+, +, -	-1	2
+, -, +	1	1/2
+, -, -	1	1/2
-, +, +	1	1/2
-, +, -	1	1/2
-, -, +	-1	2
-, -, -	-1	2

確率の分母となる定数Zは：

• Z = Σ(すべての状態sに渡って : (1/2)^E(s))

上の例では、Z = 2 + 2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 2 + 2 なので、Z = 10 です。このZで割り算して状態の出現確率が出ます。

状態s	エネルギーE(s)	(1/2)E(s)	状態sの出現確率
+, +, +	-1	2	1/5
+, +, -	-1	2	1/5
+, -, +	1	1/2	1/20
+, -, -	1	1/2	1/20
-, +, +	1	1/2	1/20
-, +, -	1	1/2	1/20
-, -, +	-1	2	1/5
-, -, -	-1	2	1/5

スピンが揃っている状態が磁石なので、この場合は、4/5 の割合で磁石、1/5の割合で磁石じゃないわけです。

イジング模型とポッツ模型

先の模型では、磁石となる割合（磁石である状態の出現確率）が大きかったのですが、それはなぜかというと、磁石になりやすい物体（物質の空間的な拡がりと性質）をモデル化しているからです。「磁石になりやすいように作ったから、磁石になりやすい」だけ。

今示した磁石になりやすい物体のモデルはイジング模型（Ising model）の最も簡単な例です。一方、磁石になりにくい物体のモデルにポッツ模型（Potts model）があります。局所エネルギーがイジング模型と違うだけで、ポッツ模型の局所エネルギーは次のように定義されます。

• ボンドの両端が同じスピンなら、そのボンドの局所エネルギーは1
• ボンドの両端が違うスピンなら、そのボンドの局所エネルギーは0

イジング模型と同じように、ポッツ模型における状態の出現確率を求めると：

状態s	エネルギーE(s)	(1/2)E(s)	状態sの出現確率
+, +, +	1	1/2	1/12
+, +, -	1	1/2	1/12
+, -, +	0	1	1/6
+, -, -	0	1	1/6
-, +, +	0	1	1/6
-, +, -	0	1	1/6
-, -, +	1	1/2	1/12
-, -, -	1	1/2	1/12

1/3 の割合で磁石、2/3の割合で磁石じゃない、という結果です。

分配関数と結び目

状態の出現確率を求めるとき、分母（正規化因子）としてZが出てきました。Zは次のように定義されます。

• Z = Σ(すべての状態sに渡って : c^E(s))

これを状態和とか分配関数と呼びます。「定数なのに、なんで関数やねん？」と疑問に思うのですが、実際には温度Tがパラメータで入ります。温度一定と仮定しても、物体の形状によりZの値が変わります。物体の形状はグラフGで表現されるので、ZはGの関数 Z(G) となります。

イジング模型やポッツ模型のような、状態の出現確率の算出法を1つ選択して固定すると、その分配関数Zは、直線内のグラフGの関数だとわかりました。空間を2次元にすると、同様にして2次元グラフGの関数 Z = Z(G) が定義できます。

3次元空間内の結び目（knot）や絡み目（link）は、平面に射影して、影である2次元グラフ（4-正則グラフに取れる）と、交差点における紐の上下を指定するマーキングによって記述できます。上下交差マーキング付き平面グラフGに対して、分配関数（に相当する量）をうまく定義すると、まったく不思議なことに結び目や絡み目の不変量（分類の指標）を与えます。

いったいなんで、磁石と紐が関係するんだ？ 冷蔵庫にメモを貼り付ける磁石と梱包用ビニール紐を眺めてみたが、「たまに使うからないと困る」以外の共通点は見つからなかった。

*1:すぐに離散化してしまうので、連続直線は不要なのですが。

*2:多重辺もループも許しません。

*3:頂点はサイトと呼ぶようですが、用語「サイト」は採用しません。