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「バエズとステイのロゼッタストーン論文と現代のヒエログリフ」で紹介したロゼッタストーン論文では、絵図・絵算（pictorial calculation）が使われています。それほど変わった描き方ではないのですが、留め金（clasp）という小物が面白いので紹介しておきます。

内容：

要約・モノイド閉圏

非常におおざっぱに、モノイド閉圏のおさらいをしておきます。

通常のモノイドとよく似た積（monoidal product）を持つ圏がモノイド圏（monoidal category）です。デカルト積（cartesian product）、つまり直積を持つ圏はモノイド圏の例です（「デカルト圏入門」を参照）。集合圏Setはデカルト圏の例であり、もちろんモノイド圏の例でもあります。

モノイド積（デカルト積とは限らない）を「×」で表すとします。対象Bによるモノイド積 (-)×A に随伴があるとき、それをAによる指数（exponent, exponential object）と呼び、普通は(-)^A と書きます（(-)は対象を表す無名変数です）。B^Aを、矢印を使って (A→B) と書くこともありますが、矢印は他の意味で多用されるので、この記法は混乱しがちです。普通の矢印「→」に代えて、先がマルになった「--o」のような形を使うこともあります。つまり、B^A = (A --o B)

モノイド圏Cのどんな対象Aに対してもその指数(-)^Aが存在するなら、指数演算（exponentiation）が定義可能です。指数演算を持つモノイド圏をモノイド閉圏（monoidal colosed category）、または単に閉圏（closed category）と呼びます。

一般的な概念	特殊化された概念	典型的な具体例
モノイド積	デカルト積（直積）	集合の直積
モノイド圏	デカルト圏	直積を考えた集合圏
指数	デカルト指数	関数集合
モノイド閉圏	デカルト閉圏	関数集合も考えた集合圏

指数と閉圏に関しては次のエントリーでも書いています。

• 圏論的指数の周辺：ラムダ計算、デカルト閉圏、ノイマン型コンピュータ
• 圏論的指数の定義
• モノイド圏、豊饒圏、閉圏と内部ホム

オダンゴ図

バエズ＆ステイの図式法は、基本的には箱と線（boxes and wires）を使うものです（「デカルト閉圏におけるお絵描き計算の基礎」も参照）。ただし、箱が四角ではなくて丸印になっています。f:A→B, g:B→C, h:D→E として、f;g と f×h は次のような感じです。

かつて僕が上のような絵を描いていたら、次男が寄ってきて「あー、オダンゴだ」と。「オダンゴかいて何してんの？」と聞かれたので「計算」と答えると、「オダンゴが全部で何個あるか計算するんでしょ、足し算すればいいだよ」と教えてくれました。それ以来、バエズ＆ステイ流の描き方を僕はオダンゴ図と呼んでいます :-)

指数と留め金

以下、指数には記号「--o」を使います（理由があります；すぐ下を読めば分かります）。

オダンゴ図には、留め金（clasp）という小物が登場します。C(A×B, C) ＝ C(B, (A --o C)) （ここの＝は同型）が随伴を与えるとして、f:A×B→C に対するカリー化 f^{^}:B→(A --o C) を次のように描きます*1。

Aのワイヤー（向きが逆になります）とCのワイヤーを束ねている小物が留め金です。この図式法のミソは、(A --o C) という記法と絵図が一致することです。

さらに面白いのは、C(A×B, C) ＝ C(A, (C o-- B)) という記法を導入して、左右が逆になった留め金が導入できることです。左右対称な記号「--o」と「o--」が、絵図のそれと一致します。

多くのケースでは「--o」だけで十分なのですが、モノイド積×がまったく可換ではないこともあります。「まったく可換ではない」とは、対称構造（対称性；symmetry）も組み紐構造（ブレイディング；braiding）も導入できないときです。この「まったく可換ではない」ケースでは、(A --o C) と (C o-- A) は別物として扱う必要があります。

左指数、右指数、池袋

左からの掛け算 A×(-) の随伴が A --o (-) 、右からの掛け算 (-)×A の随伴が (-) o-- A ということになります。A --o (-) が (-)^A の意味だとするなら、(-) o-- A は ^A(-) とでも書くことになるでしょう。

左からの掛け算と右からの掛け算が別物である圏では、左指数と右指数が必要になります。(A --o (-)) = (-)^A が左指数、((-) o-- A) = ^A(-) が右指数です。左指数が右肩指数で、右指数が左肩指数ってことになります。なんて紛らわしいんだ！ でも前例はあります。池袋駅、東口に西武線、西口に東武線です。

*1:この図の画像ファイル名はオダンゴカレー（odango-curry.gif）です。