双対と随伴、そして左と右

JavaScript配列とJSON配列の差を埋めるような些細な問題でも、納得のいく解決のためにはモナドが必要になり、モナドといえば随伴で、随伴といえば …… いつもいつも僕を悩ませる左と右の問題がぁ。

内容：

双対に関する左右の使い分け

AとBを圏Cの対象だとして、A -| B という記法で「AとBが双対」であることを表すとしましょう。「'-|'という記号は随伴では？」 -- そうです、随伴に使われる記号です。僕も以前は、双対と随伴を区別しようとしていたのですが、ある抽象レベルでは双対も随伴も区別がなくなってしまうので、今は「双対」と「随伴」を同義語だと捉えています。

A -| B のとき、AをBの左双対、BをAの右双対と呼びます。どうしてAが左なのか？ まったく何の根拠もありません、「左側に書いてあるから左と呼ぶことにした」という程度の理由。どうしてBが右なのか？ それはAを左と呼んだからです。

A -| B の状況において、B = A^*、A = ^*B と書きます。つまり、A -| A^*, ^*B -| B です。B = A^∨、A = ^∨B という記号を使うときもあります。要するに肩になんか記号を乗せる書き方ですね。

以上のような左右の使い分けは、僕の最近の流儀です。「檜山の流儀なんてアテにならない」 -- まったくです。でもね、左右の使い方のルールは驚くほどにカオス状態で、誰の流儀もアテになりません。そのことは次の記事に書きました。

• 右と左 n-たび セリンガーの左右 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編
• 双対、随伴、転置、左右 - (保存用) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編

形容詞「左」「右」をどんな組み合わせで使ってもそれには前例があります。複数の流儀を整合的に統合する方法はありません。

「右と左 n-たび セリンガーの左右」から引用：

どうやってもうまくいかないのだが、現状での僕の態度としては、

1. 右双対は右肩の星（憶えやすい）
2. 右双対は余単位の定義域の右側に置く
3. 右随伴は -| の右に置く
4. 左右を整合的にするために、テンソル積としては反図式順結合を採用する

自分で「左右」の使い方を決めて、他人の用語法との差に注意するしかないようです。

双対対象を一意に割り当てること

ブルース・バートレット（Bruce Bartlett）は、次のように主張しています。

• 双対（随伴）は、大域的な割り当てと考えるべきではない。

どういうことかと言うと、対象Aに対してAの右双対A^*を割り当てる写像が存在するわけじゃないということです。いや、まー、存在してもいいのですが、「存在する前提で議論するのは一般性に欠ける」と。

バートレットは、AとBに対して、「BをAの右双対（右随伴）にする」ところの双対性の全体を Dual(A -| B) （とか Adj(A -| B)）と書きます。これは、命題「BはAの右双対」を成立させる証拠の集合といえます。つまり、

• Dual(A -| B) ＝ 空 ⇔ BはAの右双対となり得ない
• Dual(A -| B) ≠ 空 ⇔ BはAの右双対となり得る

Aを固定した場合、Dual(A -| X) ≠ 空 となるXがあることは、「Aが右双対を持つ」ことになります。Aの右双対となるBを一つ取り出して Dual(A -| B) を考えても、Dual(A -| B) が単元集合である保証はないので、「A -| B」である根拠を一意に確定できるとは限らない、ということです。

したがって、A |→ A^* のような写像を持つ圏は、単に「すべての対象に右双対が存在する」圏よりずっとずっと強い構造を持つことになります。もちろん、強い構造は扱いやすいというメリットがあります。

双対性はどうやって定義されるのか

ところでそもそも、Dual(A -| B) って集合はナニモノでしょう。Dual(A -| B) の要素は、次のプロファイルを持つ2つの射から構成されます。

1. f:A×B→I
2. g:I→B×A

×（掛け算）は圏のモノイド積で、Iはモノイド単位です。(f, g) は次の等式を満たします。

1. (A × g);(f × A) = A
2. (f × B);(B × g) = B

対象と恒等射は同じ記号で表しています。=（イコール）はホントは同型なので、正確に言えば、(f, g)と同型を与える射も一緒に考えます。

よく使われる記号法では、B = A^*、f = ε = ε_A、g = η = η_A として、上の2つの等式は次のように書きます。

1. (A × η);(ε × A) = A
2. (ε × A^*);(A^* × η) = A^*

絵で描けば次のとおり（この絵は2005年に描いたヤツ、射の向きは左から右です。）。

「双対性」という言葉はものすごく多義的なので、今説明した事とはまったく別な意味で使われることがあります。でも、コンパクト閉圏とか随伴関手に関連して出てくる双対性（随伴性）はこのような定義を持ちます。

双対性を持つ圏

モノイド圏Cの対象A, Bに対して、A -| B の正確な意味は、Dual(A -| B) が空ではないことですが、通常は特定の双対性が選ばれていると考えます。つまり、A -| B を主張するとき、次のような射も特定されていると考えていいでしょう。

1. f:A×B→I
2. g:I→B×A

双対性を定義するf, gをなんと呼ぶか？ これがまたいくつも呼び名があります。

fのこと	gのこと
余単位 ε	単位 η
評価射 ev	余評価射 coev
ペアリング	余ペアリング

圏が双対性を持つと、双対性を利用して色々なことが出来るので、「双対性を持つ圏」は調べる価値があります。非常に多くの人が興味を持ったので、用語法はメチャクチャになってしまいました。次のような性質を考えます。

1. 性質A: 任意の対象に右双対対象が存在する。
2. 性質B: 任意の対象に左双対対象が存在する。
3. 性質C: 任意の対象に右双対対象も左双対対象も存在する。
4. 性質D: 任意の対象に右双対対象も左双対対象も存在して、その2つが同型である。

これらの性質を満たす圏の呼び名がイッパイあります。

1. 性質Aを満たす圏：自立（自律）圏、堅い圏、コンパクト圏に形容詞「右」を付ける。
2. 性質Bを満たす圏：自立（自律）圏、堅い圏、コンパクト圏に形容詞「左」を付ける。
3. 性質Cを満たす圏：自立圏（autonomous category）、堅い圏（rigid category）、コンパクト圏（compact category）
4. 性質Dを満たす圏：自足圏（sovereign category）、軸的圏（pivotal category）

ただし、形容詞「左右」は人により逆になるかもしれません -- あー、ナンテコッタイ。

あと、それから

実例を全然出せなかったのですが、線形代数の双対はいい例になります。相互に通信するコンポネントの役割をひっくり返すことも（コンパクト閉圏における）双対性の例です。随伴関手を扱うには、モノイド圏では不十分で2-圏における双対性が必要です。

まー、なんつっても左と右の混乱で頭が痛くなりますね。