型理論ってば

型理論で使われる用語が特殊でしかもバラツキがあるので、「型推論に関わる論理の概念と用語 その1」あたりから少しはまとめようとしました。その後も、型理論に関する解説論文などを極めて散発的／断片的に見ているのですが、さらに、型フレーム（type frame）、型環境スキーム（typing environment scheme）、型シェープ（type shape）、型スケルトン（type skeleton）なんて言葉が出てきて、あーもうイヤ。

型フレームはモデル論に属する概念らしく、型を集合として解釈するときの“普通の”割り当てのことみたい。“普通の”とは、タプル型を集合の直積、指数型を写像の集合という具合に、多くの人が想定しているように対応付ける、という意味です。値をとる圏を集合圏から他の圏に変えれば、積や指数の意味も変わるので、順序や位相を持つ領域のモデル論も構成可能です。もっとも、集合圏以外で作ったモデルを型フレームと呼ぶかどうか分かりませんが。

型変数を含む（かもしれない）型表現（type expression, type term）を型スキーム（type scheme）と呼ぶらしいです。スキーム（scheme）とスキーマ（schema）は交換可能だったりするので、型スキーマでも同義でしょう。それで、型環境スキームは、変数に型スキームを割り当てる対応のこと。型変数を含むからって特別扱いする必要があるのかな？ 型環境と型環境スキームは、区別するほどのこともないような気がしますが。

型環境は、変数に型表現を割り当てる対応の意味で僕は使っているのですが、微妙に違う用法があります。型表現は構文的な概念なので、型表現に対応する存在物のほうを「型」と呼びます。それで、「変数 → 型表現」は型コンテキストと呼び、「変数 → 型」のほうを型環境と呼んで使い分ける、と。へー。めんどくせー。

でも、誰もが型表現と意味論的型を区別しているわけではありません。型を表現する構文的な形式を「型」と呼ぶと明言していることもあります。じゃ、構文とは別な型概念とは何だ？ というと、そういうものは考えないのです。あるいは、エルブラン流の構成で、構文領域を意味領域に見立ててしまいます。人によっては。

型変数を含む型表現（型スキームって言うんでしたっけ？）に対して、ラムダ抽象をすると、ラムダ計算の意味で「型の関数」ができます。型変数（を表すメタ変数）はどうもギリシャ小文字が多いようなので、αを型変数として λα.T のような形です。一方、∀記号で束縛して ∀α.T とすると多相型になります。型関数も多相型も、形式上は「型表現と束縛変数の組」です。そこで、α.T のような形を考えて、それを型シェープと呼ぶことがあるようです。

んで、型スケルトンは、… あれ？どこで目にしたか忘れた。もういいや。