続・変換手意味論とブラケット記法

この記事は、「変換手意味論とブラケット記法」の続きです。追記にするには長すぎるので別記事としました。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
%\newcommand{\op}{ \mathrm{op} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\dimU}[2]{ {{#1}\!\updownarrow^{#2}} }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\id}{ \mathrm{id} }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
`$

内容：

変換手意味論・ブラケットの基本次元

「空間」という言葉は、「変換手意味論とブラケット記法 // 「空間」という言葉」で説明した用法で使います。

意味論とは、指標 $`\Sigma`$ に対してモデル空間 $`\mrm{Model}(\Sigma, \cat{T})`$ を対応付ける規則や仕掛けのことです。変換手意味論では、モデル空間をn-圏のホム空間として与えます。このときの自然数 n を、変換手意味論の基本次元〈basic dimension〉と呼ぶことにします。基本次元 n で、変換手意味論の大きな枠組みと性質が決まります。

基本次元 n が大きくなると、モデル空間（n-圏のホム空間）の構造が複雑になり、とても手に負えません。現実的・実際的に扱える n は、0, 1, 2 です。すごく頑張れば n = 3 はなんとかなるかも知れません。

基本次元ごとに、モデル空間の定義は次のようになります。

• $`\mrm{Model}(S, T) := [J(S), T]_0`$
• $`\mrm{Model}(\Sigma, \cat{T}) := [J(\Sigma), \cat{T}]_1`$
• $`\mrm{Model}(\Sigma, \cat{K}) := [J(\Sigma), \cat{K}]_2`$

実際には、ブラケットに色々と飾りが付きます（後述）。デフォルトルールで飾りを省略できます。文字・フォントを変えているのは、習慣と気分によるもので、一律に次のように書いてもかまいません。

$`\quad \mrm{Model}(X, Y) := [J(X), Y]_n \:\text{ where } n = 0, 1, 2`$

$`J`$ は、指標をn-圏に変換する対応で、Diag構成（「Diag構成： 圏論的構成法の包括的フレームワークとして」参照）では編入関手〈incorporation functor〉と呼んでいました。一般には関手とも限らないので、編入子〈incorporator〉と呼ぶことにしましょう（"incorporator" の辞書的意味とは違う用法ですが）。

基本次元 0 のモデル空間

基本次元が 0 のとき、変換手意味論の舞台〈アンビエント〉は $`0{\bf Cat}_{\#r}`$ 、つまり集合圏 $`{\bf Set}_{\#r}`$ です。したがって、基本次元 0 のモデル空間の定義は次のようになります（$`\#r`$ はデフォルトにとるとして省略）。

$`\quad \mrm{Model}(S, T) := [J(S), T]_0 = {\bf Set}(J(S), T) = \mrm{Map}(J(S), T)`$

ここで、$`S`$ は「指標」と呼ばれるナニカで、$`T`$ は集合です。

例えば、自然数を「指標」と呼ぶことにして、編入子を次のように定義します。

$`\quad {\bf N}\ni m \mapsto \{1, \cdots, m\} \in |{\bf Set}|`$

この設定におけるモデル空間は：

$`\quad \mrm{Model}(m, T) := [J(m), T]_0 = \mrm{Map}(\{1, \cdots, m\}, T) \cong T^m \;\in |{\bf Set}|
`$

ターゲットが集合 $`T`$ であるモデル（モデル空間の要素）は、$`T`$ の要素を成分とする$`m`$-タプルになります。

基本次元 1 のモデル空間

基本次元が 1 のとき、変換手意味論の舞台〈アンビエント〉は、圏達の2-圏 $`1{\bf Cat}_{\#r}`$ です。基本次元 1 のモデル空間の定義は次のようになります。

$`\quad \mrm{Model}(\Sigma, \cat{T}) := {_j [J(\Sigma), \cat{T}]_{1, \#r} }`$

ここで、$`\Sigma`$ は「指標」と呼ばれるナニカで、$`\cat{T}`$ は圏〈1-圏〉です。その他のパラメーター〈飾り〉は：

• $`\#r`$ は宇宙〈グロタンディーク宇宙〉のレベルです。大きなサイズが必要なときは、$`r`$ の値を大きくとります。
• $`j`$ は切り落とし次元〈truncation dimension〉です。デフォルトは $`j = 1`$ 。$`j = 0`$ のときモデル空間は単なる集合になります。

例えば、モノイドを「指標」と呼ぶことにして、編入子は、モノイドを単一対象の圏とみなす関手だとします。

$`\quad J : {\bf Mon} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$

この設定におけるモデル空間は：

$`\quad \mrm{Model}(M, \cat{T}) := [J(M), \cat{T}]_{1, \#+1} = {\bf CAT}(J(M), \cat{T}) \;\in |{\bf CAT}|`$

これは、モノイドの表現の圏となります。ターゲットを集合圏にすると、モノイドを自己写像モノイドで表現することになります。

$`\quad \mrm{Model}(M, {\bf Set}) := [J(M), {\bf Set}]_{1, \#+1} = {\bf CAT}(J(M), {\bf Set})\;\in |{\bf CAT}|`$

基本次元 2 のモデル空間

基本次元が 2 のとき、変換手意味論の舞台〈アンビエント〉は、2-圏達の3-圏 $`2{\bf Cat}_{\#r}`$ です。基本次元 2 のモデル空間の定義は次のようになります。

$`\quad \mrm{Model}(\Sigma, \cat{K}) := {_j [J(\Sigma), \cat{K}]_{2, \#r}^{\alpha, \beta} }`$

ここで、$`\Sigma`$ は「指標」と呼ばれるナニカで、$`\cat{K}`$ は2-圏です。その他のパラメーター〈飾り〉は：

• $`\#r`$ は宇宙〈グロタンディーク宇宙〉のレベルです。
• $`j`$ は切り落とし次元〈truncation dimension〉です。デフォルトは $`j = 2`$ 。$`j = 1`$ のときモデル空間は圏〈1-圏〉となり、$`j = 0`$ のときモデル空間は単なる集合になります。
• $`\alpha`$ は(2, 0)-変換手のゆるさ〈looseness〉の種類*1で、$`\mrm{str}`$（厳密）、$`\mrm{pseu}`$（スード）、$`\mrm{lax}`$（ラックス）、$`\mrm{oplax}`$（反ラックス）のどれかです。
• $`\beta`$ は(2, 1)-変換手の方向〈direction〉で、$`\mrm{fwd}`$（前方）、$`\mrm{back}`$（後方）のどちらかです。デフォルトは $`\mrm{fwd}`$ 。

(2, 1)-変換手の方向（前方、後方）については、以下の記事を参照してください。

• 変換手2-圏の代数構造とストリング図表現

例えば、等式的2-グラフ（「等式的2-グラフ（2-圏の記述のために）」参照）を「指標」と呼ぶことにして、編入子は、等式的2-グラフから2-圏を構成（自由生成と商構成）する関手だとします。

$`\quad J : {\bf Eq2Graph} \to \dimU{\bf 2CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$

この設定におけるモデル空間の一例は：

$`\quad \mrm{Model}(\Sigma, \cat{K}) := {_1 [J(\Sigma), \cat{K}]_{2, \#+1}^{\mrm{str}}} = \dimU{{\bf 2CAT}^{\mrm{str}}(J(\Sigma), \cat{K})}{1} \;\in |{\bf CAT}|
`$

これは、等式的2-グラフの表現〈実現〉の圏となります。ターゲットを（小さい）圏達の2-圏にすると、等式的2-グラフを圏／関手／自然変換で表現〈実現〉することになります。

$`\quad \mrm{Model}(\Sigma, {\bf Cat}) := {_1 [J(\Sigma), {\bf Cat}]_{2, \#+1}^\mrm{str}}
= \dimU{ {\bf 2CAT}^{\mrm{str}}(J(\Sigma), {\bf Cat})}{1} \;\in |{\bf CAT}|
`$

*1:ゆるさはきつさ〈tightness〉と言っても同じです。