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［参照用 記事］

「余」と「双」の使い方がバラバラ

雑記／備忘

圏論では、形容詞的接頭辞として「余（co）」や「双（bi）」をよく使います。しかし、その使い方が統一されているわけではありません。用語法は歴史的な積み重ねの産物なので、必ずしも整合的とは言えないのです。

モノイド、余モノイド、双モノイド

「余」と「双」がスッキリした形で使われている例に、「モノイド」「余モノイド」「双モイド」があります。(M, m, e) がモノイドとは、乗法 m:M×M→M、単位 e:1→M が結合律と単位律を満たすことです。余モノイド (M, δ, ε) はその双対概念で、余乗法 δ:M→M×M、余単位 ε:M→1 が余結合律と余単位律を満たす構造物です。射の矢印をひっくり返した定義となります。

そして双モノイド (M, m, e, δ, ε) とは、(M, m, e) がモノイド、(M, δ, ε) が余モノイドであり、さらにモノイドと余モノイドが“協調している”ことを要求します。“協調”とは、余モノイドの構造射 δ, ε がモノイド射（モノイド準同型写像）となっていることです（逆に、「モノイドの構造射が余モノイド射」と言っても同じです）。

これは、「余」と「双」が整合的に使われているお手本のような例です。

双圏と双関手

対象の集合*1がXである圏は、「Xを足とするスパンの圏」におけるモノイドになっています -- 類似の話は、「モノイドと圏はやっぱり似ているね」にも書いてあります。適宜、参照してみてください。

Xを足とするスパンは、left:M→X、right:M→X の組 (M, left, right) です。(M', left', right') がもうひとつのスパンだとして、写像 f:M→M' が f;left' = left、f;right' = right のときスパンのあいだの射とみなします。スパンの積 M×M' は、right:M→X と left:M'→X のファイバー積（引き戻し）とします。左右の足が idX:X→X であるスパンが積の単位対象となります。

上記のモノイド圏のなかで、モノイド (M, m, e) を考えると、それは、Obj(C) = |C| = X、 Mor(C) = M という圏となります。乗法mが圏の結合、単位eが圏の恒等を与えます。

圏がモノイドとして与えられたので、“余圏”は余モノイド、“双圏”は双モノイドの定義を適用すればいいことになります。しかし、余圏はあまり聞いたことがありません。双圏は全然別な意味で使われています。

双圏（bicategory）は、2次元の圏です。n次元の圏（n-圏）の定義には、大別すると強い版と弱い版があります。強い（strong, strict）定義は比較的簡単ですが、一般性に欠けます。弱い（weak, lax）定義はより一般的ですが、定義自体が困難な課題となっています。ただし、n = 2 での定義は十分に合意されています。強2-圏を単に2-圏と呼び、弱2-圏を双圏と呼んでいるのです。

双圏のあいだの構造を保つ関手を双関手と呼ぶと気持ちがいいのですが、残念ながら、双関手は双圏と何の関係もありません。双関手（bifunctor）は、F:C×D→E のような形をした関手のことです。特に、C×C→C がよく使われます。二項関手と呼ぶのがふさわしいと思います。

積、余積、双積とデカルト性

圏の直積を単に積と呼ぶことがあります。余積は積の双対、つまり直和です。双積とは、積であると同時に余積でもあるようなモノイド積です。

積と終対象（積の単位対象）を持つ圏がデカルト圏、余積と始対象（余積の単位対象）を持つ圏が余デカルト圏です。この定義は双対的になっています。

僕は長いあいだ、零対象と双積を持つ圏を双デカルト圏と呼ぶものだと思っていました -- それがキレイな定義じゃないですか。しかし、どうも違うようです。

「テンソル半加法圏とプログラム意味論」より：

零対象と双積を持つ圏なら名前がありますね。半加法圏（semiadditive categories）です。

僕は、双デカルト圏（bicartesian category）と呼ぶのかと思っていたのですが、双デカルト圏の定義に双積は出てこないようです。

双デカルト圏とは、積と余積を両方とも持つ圏であって、それが双積であることは要求してないようです。零対象と双積を持つ圏の通常の呼び名は半加法圏です。双積を持つ圏（category with biproduct）とか双積圏（biproduct category）と呼ぶ人もいます。

加群、余加群、双加群

モノイドMと集合Sがあって、写像 α:M×S→S が適当な条件を満たすとき、モノイドMの集合Sへの作用（action）と呼びます。単にM-作用（M-action）と呼ぶこともあります。M×S→S と S×M→S を区別したいときは、左作用（left action）と右作用（right action）です。

「ベクトル空間、線形写像、テンソル積」のモノイド圏におけるモノイドは代数（多元環）と呼びます。同じ圏における余モノイドは余代数で、双モノイドは双代数です。この定義はスッキリしています。

「ベクトル空間、線形写像、テンソル積」のモノイド圏におけるモノイド作用は、代数Aによるベクトル空間Vへの作用となります。これは、Vが台であるA-加群になります。左右の区別があるときは、左A-加群と右A-加群です。加群の双対として、余代数上（双対だから、“余代数下”？）の余加群も定義できます。

さて、問題は双加群です。双代数が作用／余作用するベクトル空間で、加群かつ余加群となっているものが双加群なら気持ちがいいのですが、そうではありません。双加群（bimodule）は右加群かつ左加群で、左右の作用が協調しているものです。

双代数が左右から作用／余作用するベクトル空間を何と呼べばいいのか？ 困ってしまいますね。

諦めましょう

用語法の不整合や不統一は、学習者の負担となり混乱させるし、誤解や間違いの原因にもなります。しかし、定着した呼び名を変えるのは極めて困難なので、結局は諦めて受け入れるしかないのですよね。「アッチではこういう意味だが、コッチでは違う」と注意するしかないですね。

*1:圏のサイズについては深入りしないことにします。小さな圏だけを考えることにしましょう。