二重圏における交替律

先ほど書いた「関手と自然変換：コゥゼンの記号法」より：

絵算派の僕としては、以上のことは、2-圏や二重圏の交替律（interchange law）をグロービュラー図／タイル図に描けば明らかな事実なので「そりゃそうだろう」とも思うのです

気になるので書いておきます。でもごく短い説明だけ。

二重圏（double category）というのは、対象（0-セル）と水平射（水平1-セル）と垂直射（垂直1-セル）、それと2-セルからなる高次圏（higher category）の一種です。二重圏の典型的な例はコボルディズムの圏ですが、計算に関係する例では、状態遷移系を水平射として、次のような二重圏が考えられます。

1. 対象：開始状態または終了状態の集合
2. 水平射：状態遷移系
3. 垂直射：開始状態または終了状態の集合のあいだの写像
4. 2-セル：状態遷移系のあいだの模倣関係

二重圏には次の演算が備わっています。

1. 水平射の結合 （水平1セルの横結合）
2. 垂直射の結合 （垂直1セルの縦結合）
3. 2-セルの横結合
4. 2-セルの縦結合

演算記号を考えるのがすごく面倒です。適宜オーバーロードすることになりますが、オーバーロードをやり過ぎると分かりにくくなります。とりあえず、次の記号を使うことにします。

1. 水平射の結合 -- 「;」（後で使わないけど）
2. 垂直射の結合 -- 「;」（オーバーロード、後で使わないけど）
3. 2-セルの横結合 -- 「;;」
4. 2-セルの縦結合 -- 「|」

順序は図式順です。

さて、二重圏における交替律（interchange law）を絵で描くと次のような感じです。

先に定義した記号を使ってテキスト表記で書くと：

• (α;;β)|(γ;;δ) = (α|γ);;(β|δ)

二重圏の垂直射を恒等射だけに限定してしまうと2-圏になります（定義の強弱の話は棚上げ）。図で言うと、縦の辺が一点に潰れてしまうことです。潰れた図でも交替律は成立して、それが2-圏の交替律となります。下の図の上段が垂直射が潰れる絵です。

図の下段は、2-セルが1-セルに潰れる絵です。φは2-セルですが、φとして特に水平射Fの恒等2-セルをとると、面が線につぶれます。「対象」と「対象の恒等射」を同一視するのと同じように、「射（1-セル）」と「射の恒等2-セル」を同一視すると、射と2-セルの横結合が定義できます。このような退化した状況で交替律を書き下すと、それが分配律になります。2-圏をもっと退化させるとモノイド圏になります。

以上のことから、高次圏における分配律は交替律の特殊なモノとも言えるし、（同じ事だが）交替律は分配律の一般化とも言えます。図形的には、縦と横の交換可能性、2次元の等方性（一様性）の表現です。これは、小学校で習った次のような事実の高次圏論的な主張ですね。

• 方眼紙の升目の個数を勘定して長方形の面積を求めるとき、数える順番によらずに同じ値となる。