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［参照用 記事］

骨格的な圏と圏の骨格

雑記／備忘

もうひとつ圏論の小ネタ。

  • 圏Cが骨格的（skeletal）とは、同型が恒等射しか存在しなことです。
  • 圏Cの部分圏Dが稠密（dense, isomorphic-dense）とは、Cの任意の対象がDの対象と同型なことです。広い部分圏は稠密です（自明）。
  • 圏Cの充満部分圏Dが稠密で骨格的なとき、Dã‚’Cの骨格と呼びます。

参考：

圏Cにおいて、何らかの性質Pを持つ骨格が存在するとき、Cは「骨格的にP」とか「本質的にP」とか言います。例えば、小さい骨格が取れるなら「骨格的に小さい」、「本質的に小さい」（skeletally small, essentially small）と言います。「骨格的に」のほうが首尾一貫してます（「骨格」で押し通す）が、語感からは「本質的に」のほうが分かりやすいと思います。でも、「本質的に一意的」（essentially unique）のときは、「同型を除いて（upto-iso）一意的」ってことです。

やせた圏が骨格的なら順序集合になります。紛らわしいので注意しなくてはならない事は、Cの部分圏Dが骨格的であっても、必ずしもCの骨格とはならないことです。単に骨格的なだけではなく、充満で稠密であることも骨格の条件です。

圏Cの骨格Dが見つかれば、upto-isoで言えるCの圏論的な性質は骨格Dでも成立し、Dではupto-isoじゃなくてイコールが使えます。係数体Kを適当に固定して、有限次元ベクトル空間の圏VectKを考えると、Kn（n = 0, 1, 2, ...）達から作られる充満部分圏はVectKの骨格になります。この骨格は、行列の圏MatKと同型です。したがって、VectKの代わりにMatKを調べればたいていはOKということになります。

VectKの理論であるK-線形代数がK-行列の話でだいたい済んでしまうのはこの事情です。でも、骨格はやはり骨格で肉が付いてないので、もとの圏を完全に置き換えるものではありません。例えば、MatKしか考えないと、基底（枠）とか基底の変換なんて出てきませんからね。

[追記]「MatKしか考えないと、基底（枠）とか基底の変換なんて出てきませんからね。」は誤解を招くかな。行列の議論でも基底を定義できなくはないですね。でも、行列だけの世界で基底の概念を云々しても分かりにくいし、ナンセンスな感じがしてしまうのではないかと。[/追記]



「やせた圏、広い部分圏、骨格的な圏、稠密な部分圏、充満部分圏」などは地味な概念ですが、圏論のボキャブラリーとして知っておけば便利です。