こういう話になると俺も勉強してない話になるので変なことを言ってるかもしれないけど、なんていうか、俺の感覚では数学は「対象」を「そいつらに対して許容される操作の集合」で規定するところがあるように思うんだよな。「操作」というのは例えば「足せる」とか「スカラー倍できる」とか「足してゼロになるやつが存在する」とかそういうの。そんでもってその「操作」が全く同じように成り立つ別の「対象」があるということがしばしばあって、「そいつらに対して許容される操作の集合」こそが「対象」という意味ではその2つの「対象」は全く同じということがある。それを準同型と言ったりする。そういう複数の「対象」を同じものとみなして都合に合わせて自由に行き来することを「同一視する」と言ったりする。

サンプリングというのは「連続関数」の対象から「離散的な値のセット」の対象への変換なわけだけど、こういうことをすると連続関数の世界で成り立っていた「操作」が成り立たなくなってしまうことがよくある。対称性が失われたり、ナイキスト定理によって高周波成分が失われたり色々する。それはつまり「対象」として別物になってしまうということだと思う。じゃあ連続関数の中でもどういうものなら「操作」が保存されるのかとか、「復元」が可能な場合はあるかとか、そういう話になってくる。

さらには、異なる「操作」自体をある意味で同一視して同じものとみなせるかどうかを議論するような分野もある。圏論と言う。異なる「操作」としての「圏」の間の準同型のような移り変わりを「射」と言って自由に移り変わりながらそれらに共通する性質の抽象化を試みたりする。でも圏論は全然勉強したことないからよく分からん。すまん。でも圏論で出てくる「可換図式」という図式の書き方とか使われ方を調べてみるともしかすると何か参考になるかもしれないと思う。

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2020-08-29

■anond:20200829015627

高校数学の解析は言うて完成度高いから変えなくていい

曖昧にされてるのは極限の定義、中間値、平均値、極限の準同型性の証明くらいのもんで、どれも十分直感的には明らかだし

Permalink | 記事への反応(0) | 01:58

2020-06-05

■Galois拡大って何？

分離的かつ正規な代数拡大のことです。

体

集合Kが2つの二項演算+: K×K→K、*: K×K→Kを持ち、以下の性質を満たすとき、Kは体であるという。

任意のa, b, c∈Kに対して、(a + b) + c = a + (b + c)
ある元0∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、a + 0 = 0 + a = a
任意のa∈Kに対して、ある元-a∈Kが存在して、a + (-a) = (-a) + a = 0
任意のa, b∈Kに対して、a + b = b + a
任意のa, b, c∈Kに対して、(ab)c = a(bc)
任意のa, b, c∈Kに対して、a(b + c) = ab + ac、(a + b)c = ac + bc
ある元1∈Kが存在して、任意のa∈Kに対して、1a = a1 = a
任意のa∈K＼{0}に対して、ある元a^(-1)∈Kが存在して、aa^(-1) = a^(-1)a = 1
任意のa, b∈Kに対して、ab = ba

体の例

有理数全体の集合Q、実数全体の集合R、複素数全体の集合Cは、通常の和と積について体になる。一方、整数全体の集合Zは体にはならない。

各素数pについて、整数をpで割ったあまりの集合Z/pZ := {0, 1, ..., p-1}は、自然な和と積によって体になる。

Kを体とし、Kの有理関数の全体K(X)={F(X)/G(X)| F, Gは多項式で、G≠0}は体になる。

代数拡大

K, Lを体とする。K⊂Lとなるとき、LをKの拡大体という。L/Kが拡大であるともいう。もちろん、これはLの部分群Kによる剰余群のことではない。

C/Rや、C/Qは体の拡大の例である。K(X)/K(X^2)なども体の拡大の例である。

L/Kを体の拡大とする。任意のa∈Lに対して、K係数の多項式 f(X)が存在して、f(a)=0となるとき、LをKの代数拡大体、またはL/Kは代数拡大であるという。

そのような多項式が存在しない元が存在するとき、LはKの超越拡大体、またはL/Kは超越拡大であるという。

代数拡大の例

C/Rは代数拡大である。

なぜならば、任意のz∈Cはz = x + yi (x, y∈R)と表わせ、z* = x - yiとおくと、zは二次方程式

X^2 -(z + z*)X + zz* = 0

の解だから。

Kを体とする。K上の任意の多項式 F(X)に対して、Fの根を全て含む体Lが存在する。言い換えれば、FはLで
F(X) = a(X - a1)...(X - an)
と一次の積に分解する。このようなLのうち最小のものが存在し、Fの（最小）分解体という。Fの分解体はKの代数拡大体である。

最後の一文を証明する。

LをFの分解体とする。Lの部分環Vを

K[X1, ..., Xn]→L (f(X1, ..., Xn)→f(a1, ..., an))

の像とすると、VはK上のベクトル空間である。各aiはn次多項式の根であるから、aiのn次以上の式はn-1次以下の式に等しくなる。従って、VはK上高々n^2次元の有限次元のベクトル空間である。

Vは整域であるから、0でない元による掛け算は、VからVへの単射線形写像である。したがって、線形写像の階数と核の次元に関する定理から、この写像は全射である。よって、Vの0でない任意の元には逆元が存在する。つまり、Vは体である。

Lは、Kと各aiを含む最小の体であり、V⊂Lなので、L=Vである。

さて、Lの元でK上のいかなる多項式の根にならないものが存在したとし、それをαとおくと、無限個の元1, α, α^2, ...は、K上一次独立となる。これはVが有限次元であることに矛盾する。□

上の証明から特に、KにFの1つの根αを添加した体K(α)は、Kの代数拡大体である。このような拡大を単拡大という。

拡大次数と自己同型群

L/Kを代数拡大とする。LはK上のベクトル空間となる。その次元をL/Kの拡大次数といい、[L : K]で表す。[L : K]が有限のとき、L/Kは有限拡大といい、無限大のとき無限次代数拡大という（上の証明でみたとおり、超越拡大は必ず無限次拡大である）。

M/K、L/Mがともに有限拡大ならば、L/Kも有限拡大であり、[L : K] = [L : M] [M : K]。

α∈Lとする。K上の多項式fでf(α)=0をみたすもののうち、次数が最小のものが定数倍を除いて存在し、それをαの最小多項式という。

[K(α) : K]は、αの最小多項式の次数に等しい。なぜならば、その次数をnとするとαのn次以上の式はすべてn-1次以下の式になるため、[K(α) : K]≦n。1, α, ..., α^(n-1)が一次従属だとすると、n-1次以下の多項式でαを根に持つものが存在することになるので、[K(α) : K]≧n。よって、[K(α) : K]=n。

Lの自己同型σでKの元を固定するもの、つまり任意のa∈Kに対してσ(a)=aとなるもの全体のなす群をAut(L/K)と書く。

任意の有限拡大L/Kに対して、#Aut(L/K) ≦ [L : K]。

Galois拡大

L/Kを有限拡大とする。#Aut(L/K) = [L : K]が成り立つとき、L/KをGalois拡大という。L/KがGalois拡大のとき、Aut(L/K)をGal(L/K)と書き、L/KのGalois群という。

Galois拡大の例

拡大次数が2の拡大は、Galois拡大である。

L/Kを有限拡大、[L : K] = 2とする。#Aut(L/K) ≦ [L : K] = 2なので、Aut(L/K)に恒等写像以外の元が存在することを示せばよい。

[L : K] = 2なので、α∈L＼Kが存在して、1, α, α^2は一次従属。したがって、α^2 - aα + b = 0となるa, b∈Kが存在する。解と係数の関係から、α, a - α∈Lは、2次方程式X^2 - aX + b = 0の異なる2解。

α∉Kより、K⊕KαはK上2次元のベクトル空間で、K⊕Kα⊂LなのでL=K⊕Kα。

σ: L→Lをσ(1)=1, σ(α)=a-αとなるK線形写像とすれば、σは全単射であり、Kの元を固定する体の準同型でもあるので、σ∈Aut(L/K)。□

C/RはGalois拡大。
Gal(C/R)={id, σ: z→z*}

平方因子のない有理数αに対して、Q(√α)/QはGalois拡大。
Gal(Q(√α)/Q) = {id, σ: 1→1, √α→-√α}。

正規拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lに対して、αのK上の最小多項式が、Lで1次式の積に分解するとき、L/Kを正規拡大という。

L=K(α)とすると、L/Kが正規拡大であるのは、αの最小多項式がLで一次の積に分解するときである。

K(α)/Kが正規拡大で、さらにαの最小多項式が重根を持たなければ、αを他の根に写す写像がAut(K(α)/K)の元になるから、Aut(K(α)/K) = αの最小多項式の次数 = [K(α) : K]となり、K(α)/KはGalois拡大になる。

nを自然数として、ζ_n = exp(2πi/n)とする。ζ_nの最小多項式は、Π[0 ＜ m ＜ n, gcd(m, n)=1](X - (ζ_n)^m)であり、Q(ζ_n)/QはGalois拡大である。

分離拡大

L/Kを有限拡大とする。任意のα∈Lの最小多項式が重根を持たないとき、L/Kは分離拡大という。

体Kに対して、1を1に写すことで一意的に定まる環準同型f: Z→Kがある。fの像は整域だから、fの核はZの素イデアルである。fの核が(0)のとき、Kの標数は0であるといい、fの核が(p)であるとき、fの標数はpであるという。

Q, R, Cの標数は0である。Z/pZの標数はpである。

標数0の体および有限体の代数拡大はすべて分離拡大である

F_2 = Z/2Zとする。F_2係数の有理関数体F_2(X)/F_2(X^2)は分離拡大ではない。

実際、XのF_2(X^2)上の最小多項式は、T^2 - X^2 = (T - X)(T + X) = (T - X)^2となり、重根を持つ。

Galois拡大であることの言い換え

有限拡大L/KがGalois拡大であるためには、L/Kが分離拡大かつ正規拡大となることが必要十分である。

Galois拡大の性質

L/KをGalois拡大、Gal(L/K)をGalois群とする。

K⊂M⊂Lとなる体Mを、L/Kの中間体という。

部分群H⊂Gal(L/K)に対して、L^H := {a∈L| 任意のσ∈Hに対してσ(a)=a}は、L/Kの中間体になる。

逆に、中間体K⊂M⊂Lに対して、Aut(L/M)はGal(L/K)の部分群になる。

次のGalois理論の基本定理は、L/Kの中間体がGalois群で決定されることを述べている。

L/KをGalois拡大とする。L/Kの中間体と、Gal(L/K)の部分群の間には、以下で与えられる1対1対応がある。
部分群H⊂Gal(L/K)に対して、K⊂L^H⊂L
中間体Mに対して、Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
さらに、以下の性質を満たす。
H'⊂H⊂Gal(L/K)ならば、K⊂L^H⊂L^H'⊂L
K⊂M⊂M'⊂Lならば、Aut(L/M')⊂Aut(L/M)⊂Gal(L/K)
中間体K⊂M⊂Lに対して、#Aut(L/M)=[L : M]。つまり、L/MはGalois拡大
部分群H⊂Gal(L/K)に対して、#H = [L : L^H]、#Gal(L/K)/H = [L^H : K]
中間体K⊂M⊂Lに対して、M/Kが正規拡大（L/Kは分離的なのでM/Kも分離的であり、従ってGalois拡大）であることと、Gal(L/M)がGal(L/K)の正規部分群であることが同値であり、Gal(L/K)/Gal(L/M)〜Gal(M/K)。同型はσ∈Gal(L/K)のMへの制限で与えられる。