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はてなキーワード: リーマン予想とは
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変成岩
一般的能力、つまり世間が「地頭」などと雑に呼ぶものが、日常世界の統計構造に対するニューロンのフィッティングだとしよう。
フィッティングとは、環境からサンプリングされたデータに対し、神経回路の重みが誤差最小化的に調整されることだ。
赤ん坊が物を落とせば下に落ちると学習するのも、扉は押せば開くと学習するのも、損失関数が日常物理の範囲で収束しているからだ。
ここで問題が生じる。
ない。少なくとも直接は。
では、非直感的数理認識、例えば、無限次元空間の直観や、非可換代数の振る舞い、あるいは超弦理論におけるモジュライ空間の幾何的構造の把握はどこから来るのか。
仮説を立てる。これは作業仮説だ。検証可能性は今のところ僕の頭の中にしかない。
リンゴが落ちる、物体は連続している、時間は一方向に流れる。これらは環境データの主成分だ。脳は主成分分析装置だ。高次元入力を低次元多様体に射影している。
もしそうなら、数理認識はその射影演算子を別のデータ分布に適用する試みだ。
現実世界ではなく、記号体系に対してだ。脳は物理世界で訓練された圧縮機構を、人工的に生成された抽象構造へ転用する。いわばドメインシフトだ。
問題はここだ。なぜそれがうまくいく？
これはプラトニズムではない。弱い構造実在論だ。物理法則が微分方程式で書けるという事実は、宇宙のダイナミクスが連続対称性や保存則を持つことを示す。
対称性は群論的対象だ。量子状態はヒルベルト空間の元だ。つまり、日常物理にフィットしたニューロンは、すでに群や線形構造の影を学習している。
僕たちはリンゴを見ているつもりで、実は表現論の端っこを見ているのかもしれない。
非直感性とは進化的損失関数に含まれていなかった方向への外挿だ。
進化は捕食者を避け、食料を確保する能力を最適化した。リーマン予想を解く能力は含まれていない。
しかし、損失関数を局所的に最適化したネットワークは、十分な容量があれば、未知の領域にも一般化する。
ディープラーニングでいうオーバーパラメータ化だ。脳は進化的に過剰性能だった可能性がある。
超弦理論を考える。余剰次元はコンパクト化され、カラビヤウ多様体のトポロジーが物理定数を規定する。
もし宇宙の基底構造が高度に幾何学的であるなら、数学を理解することは、宇宙の自己記述能力の一部かもしれない。
意識は宇宙が自分の作用積分を読んでいる状態だ、という大胆な仮説すら立つ。
常識にフィットしたニューロンが、記号という仮想宇宙に再帰的に適用されるとき、そこに非直感が生じる。
非直感とは、直感の適用範囲を超えた地点に立ったときの主観的違和感にすぎない。構造自体は連続している。
僕たちは常識を裏切っているのではない。常識の圧縮アルゴリズムを、宇宙のより深い層に向けて再利用しているだけだ。
どうも～、ポアンカレ予想を初手で解いた気になってる男です～。
お前、それホンマに解けたんか？俺、未だに夢の中でホモロジー拡張してるんやけど？
毎晩 E₂ ページで目ぇ覚めんねん。「あ、これ収束せぇへんやつや」って。
せやけどな、お前の図式追跡、複雑すぎんねん。
せやから、まず ∞-グループオイドで告白して、ホモトピー的に同値か確認してんねん。
恋愛にホモトピー同値求めるな！位相の心配する前に、お前の内面連結か確認せぇ！
いや、そんなん言うたら離婚は何やねん？
最近、ペアノ算術に疲れてな、ZFCで生きていこう思てんねん。
せや。「全ての集合には理想の彼女が存在する」って選べるねん。
それ、超限帰納法で言うたら、だいたいの人に破綻されるやつや！
あ、でもな、昨日ナンパされたんや。
ちゃうちゃう、ウルトラフィルター女子や。絶対選好が一個に定まってるねん。
それ好み偏りすぎやろ！リーマン予想解ける男しかアカン言うとったで！
なんや？
二人：
どうもありがとうございましたー！
あなたの言うことは「半分正しいけれど、誤解を生む表現」です。詳しく説明しますね。
つまり、「数学はエビデンス（経験的証拠）に頼らない」というのは、形式的な論証の意味では正しいです。
科学のように「実験結果がこうだから理論は正しい」とはならない。
計算機の実験や数値例は「直感の補助」にはなっても「証明」ではない。-
たとえば、リーマン予想やゴールドバッハ予想も、無数の数値実験で正しいらしいと観測されているけど、証明がまだされていない段階です。
また、「帰納的直感」（たとえばコンピュータで大規模な計算をして予想を立てる）も研究の発展には欠かせません。ただしこれは証明ではなく、あくまで「ヒント」です。
| 観点 | その数学者の言葉 |
| 数学の理論体系 | ✅ 正しい。演繹に基づく。エビデンスは証明にはならない。 |
| 数学の発見や研究過程 | ❌ 不完全。エビデンス（計算例、パターン、数値実験）を使って予想を立てるのは日常的。 |
俺はね、概念の世界に生きたいから、数学だけやっていたいんだよな、ニュースなど見たくもねぇのよ
まあ飯くったりクソしたり寝たり運動したり、人間らしいことは一通りするつもりだが、その上での「概念の世界で生きる」なのよ
ところで、アカデミックなバックグラウンドも論文発表経験もねぇ俺が数学なんてやって何が楽しいんだろうな？
現実世界のクソみてぇな人間関係とかから解放されんのよ。数字と記号だけの世界ってのは、なんつーか、純粋で美しいんだよな
でもよ、こんな俺様が数学やってんの見たら、世間様はなんて言うかな？
「キモオタが」とか「中年の暇潰し」とか言いやがるんだろうな。クソが。俺様の知的好奇心を理解できねぇバカどもめ
まぁ、そんなこと気にしてちゃいられねぇんだよ。俺には解きたい問題がある
フェルマーの最終定理？あんなもんとっくに解けてんだよ。俺が今挑戦してんのは、リーマン予想だ
これがな、くそむずいんだよ。でも、これが解けりゃ、俺様の名前も数学史に刻まれるってもんよ
アカデミックな経歴？そんなもん関係ねぇ。天才に学歴なんて必要ねぇんだよ
ってか、そもそも俺様が数学やってて何が悪いんだよ。他人に迷惑かけてねぇだろ
パチ.ンコに入り浸るよりよっぽどマシじゃねぇのかよ
ま、世間様がなんと言おうと、俺様は俺様の道を行くだけよ。概念の世界で生きる。それが俺様のやりてぇことなんだよ
あー、そうそう。さっきクソしたって言ったけどさ、実はまだだったわ
「シンギュラリティ」や「技術的特異点」の記事を見てて思うんだけど
コンピュータ関係で急速な科学技術の進化が起きた場合、必ずコンピュータが
人間のような知性というか心を得ている事が前提になってるのが気になる。
パラメーターがメチャクチャ多くなったニューラルネットワークでも案外いろんな事が出来るのが分かってる。
そういう「心」的なものをいまいちモデル化してるとは言えないようなAIでもコンピュータの設計・製造が
だいぶ改良されていくような未来もあり得るんじゃないだろうかと自分は思う。
もしそれが出来たら性能の上がったコンピュータで更に凄いコンピュータを設計・製造するようになっていき
性能は信じられないほどに上がっていく可能性もあるだろう。
つまり可能性としてコンピュータの性能が今よりずっと急激なスピードで上がっていく一方で
コンピュータが知性を依然として獲得しないままの未来もあり得るんじゃないかと思う。
例えば「リーマン予想の証明を出力して」とコンピュータが質問されたら速攻で正しい証明を出力出来るのに
でもコンピュータ自体は何も判断を行わないような未来の可能性だ。
もしくは急速に性能が上がって何年かのタイムラグをおいた後によく言われるシンギュラリティのような未来が来る可能性もある。
何れにしてもこのようなコンピュータの性能が信じられないスピードで上がっていきながら知性は伴わない
でも検索してもどうもそのような心のないシンギュラリティに相当する言葉が無いので気になっている。
こんな未来も一応は考えた方がいい気がする。
