どちらが有利？　じゃんけんで学ぶ「ゲーム理論」

勝負の場で最良の結果を残すにはどうすればよいのか。数学でもいくつか比較・検討する方法がある。例えば、ルーレットやサイコロなどの賭博は偶然性のみが支配している。この場合は確率で論じることができ、17世紀に研究が確立されている。では相手が人間だったらどうなるのか。人の意志が介在する場合の戦略・戦術を考えるのが「ゲーム理論」だ。研究が確立したのは20世紀のことで、ビジネスや国際政治など様々なところで使われている。ゲーム理論の初歩について、じゃんけんを使って考えてみよう。

まず、昔からゲーム理論の対象としてよく取り上げられる戦況・戦術分析について説明したい。代表的な例に、太平洋戦争時、日本軍が連合軍に壊滅させられた「ビスマルク海海戦」がある。

日本軍は島の東側から西側まで物資を運ばなくてはならない。島の南側を通過する場合は晴天で連合軍に発見されやすく、長時間の爆撃を受ける。一方、島の北側を通る場合は雨天で発見されにくく、発見されても短時間の爆撃になる。日本軍は北側を選んだ。しかし、連合軍も同じ判断から偵察機を北側ルートへ向かわせた。多数の敵機が超低空から攻撃を仕掛け、日本軍の輸送船はすべて、沈没したのであった。

日本軍の作戦は間違っていたのか。ゲーム理論では、日本軍が北側を選んだ場合・南側を選んだ場合、連合軍の偵察機が北側を選んだ場合・南側を選んだ場合、合わせて4つのケースに分け、想定される被害などを検討する。ノルマンディー上陸作戦のゲーム理論の分析もよく知られている。

ではじゃんけんを使って、ゲーム理論について説明しよう。一般のゲーム理論では、戦術としての選択肢はいくつでも構わないが、今回は選択肢が2つの例で解説する。

人間同士の勝負事の最終段階では、左か右、前進か後退、のように2つを1つに絞ることが往々にしてある。野球でも、直球かフォークボールのどちらに的を絞るか、という判断が勝負の分かれ目となることがよくある。AとBの2人は自分の意志でグーまたはパーを出し、それぞれの得点は表1のように定める。一見、Bの方が有利に見えるが、冷静に考えてみよう。なお、実際にこのゲームを楽しむ場合は、一定の時間を設けて何回か繰り返すと面白いだろう。以下の議論は、1回行う場合として考えている。

いま、Aがグーを出す確率をx（0≦x≦1）、Bがグーを出す確率をy（0≦y≦1）とする。1回のじゃんけんにおけるAの得点期待値をα、Bの得点期待値をβとすると、

　　　α=0×A・Bともグーを出す確率＋3×Aがグー・Bがパーの確率＋3×Aがパー・Bがグーの確率＋0×Aがパー・Bがパーの確率

　　　=3×x×（1-y）＋3×（1-x）×y

　　　β=6×A・Bともグーを出す確率＋0×Aがグー・Bがパーの確率＋0×Aがパー・Bがグーの確率＋1×Aがパー・Bがパーの確率

　　　=6×x×y＋1×（1-x）×（1-y）

である。ここでα=β、すなわちAとBが互角になる状況とはどのようなときであろうか。式を変形していくと、以下のようになる。

ここで復習であるが、面積12平方センチの長方形について、たてをxcm、横をycmとすると、

xy=12

という式が成り立つ。これはxとyが反比例していることを示し、xとyが正の範囲でそのグラフを描くと、図1のような双曲線になる。

そこで、表1から導いた式

のグラフは、xy座標平面上で

のグラフをx軸の正の方向に4/13、y軸の正の方向に4/13、それぞれ平行移動させた図2のような双曲線になる。ここで、確率は0以上1以下であるから、0≦x≦1、0≦y≦1となることに留意しよう。

グラフを説明すると、4点（0、0）（1、0）（1、1）（0、1）で囲まれた正方形の部分において、AとBが互角になるのは双曲線上、ということである。

ここで、点（1、0）（0、1）が何を意味するか考えよう。表2の2段目と3段目のケースだ。明らかにAが有利である。一方、点（0、0）（1、1）は表2の1段目と4段目に当たり、Bが有利である。それゆえ、双曲線に挟まれた部分ではAが有利となり、双曲線の外側ではBが有利となる。

とくにx=4/13において、すなわちAが確率4/13でグーを出すときは、つねにAが有利なのである。必ず勝つというわけではないが、このゲームはAが有利なものであることを意味している。例えば、事前にハートだけのトランプ13枚から無作為に1枚を取り出し、それがエース、キング、クイーン、ジャックならばグーを、その他ならばパーを出せばよい。第一印象では「B有利」にも思えたが、ゲーム理論によると結果は正反対なのである。

ところで、ここまでの内容は著書「新体系・高校数学の教科書（上）」で述べたことである。実は、グラフ上の点（4/13、4/13）はゲーム理論で「鞍点（あんてん）」という重要な点である。

次の図のように、グラフにすると馬具の鞍（くら）のように見えることから、この名が付いた。ゲーム理論では、双方の思惑が均衡するような点を指す。

では、その意味を別のグラフを使って説明しよう。

グラフを描く前に、表1のゲームを本質的な意味が変わらないように、変形する。AをXに、BをYにそれぞれ取り替えて（確率のxとyは同じ）、得点は表2のようにYからXへ与えるゲームとする。

表2で、－6点をYからXに与えることは、Yの持ち点は6点上がり、Xの持ち点は6点下がることになる。得点差は12になる。また、3点をYからXに与えることは、Yの持ち点は3点下がり、Xの持ち点は3点上がることになる。得点差は6になる。

その結果、グーとグー、グーとパー、パーとグー、パーとパーそれぞれの手が出た後の得点差はすべて、表2は表1の2倍になるだけであり、本質的には同じゲームである。

さらに、表2を一般化させて

と表してみると、以下の4式が成り立つ。

さて、XはYから与えられる点を多くしたいのであり、YはXへ与える点を少なくしたいのである。そこでXは、Yがグーとパーのどちらを選択しても、その両方を満たす状況でzが最大になるようにxを定めたいとしよう（ゲームでの行動基準）。これは（3）と（4）から、

を満たす範囲でzが最大になるxを定めればよいのである。そこで図3より、x=4/13のとき、zは最大3/13になる。

一方Yは、Xがグーとパーのどちらを選択しても、その両方を満たす状況でwが最小になるようにyを定めたいとしよう（ゲームでの行動基準）。これは（1）と（2）から、

を満たす範囲でwが最小になるyを定めればよいのである。そこで図4より、y=4/13のとき、wは最小3/13になる。

上で注目したいのは、期待値zの最大値と期待値wの最小値が等しいことである。その等しい値が正の数3/13になるので、Xの方が有利と言えるのである。（もし負の数になっていたら、YからXへ負の数を与えることになり、Yが有利となる）。

上で述べたことを一般化させたものに、「ゲーム理論のミニマックス定理」というものがあり、上でzの最大値とwの最小値が等しいことと同じ性質が、この定理で成り立つ。ミニマックスとは、最も悪い（マックス）事態が発生したときの損害が最も小さく（ミニ）なるように判断を下す方法のことである。

ちなみに、その等しい値を決定する図2における（4/13、4/13）のような点が、ゲーム理論の鞍点なのである。両者がそれぞれ最善として選んだ戦略が均衡する点である。

最後に、大学の一般教養の数学について述べたい。現在、微分積分と線形代数（行列やベクトルなど）が主要科目になっているところが多い。実は、これは戦後のことであって、戦前は微分積分だけであった。

なぜ、戦後に線形代数が加わったのだろうか。それは、第二次大戦の敗因に、線形代数も関係していたからである。今回説明したゲーム理論は線形代数を基礎としており、冒頭の例のように戦況・作戦分析などに使われる。線形代数の応用として、軍事物資の輸送問題などに使われる線形計画法もある。いずれもビジネスの場でも応用できるので、大学の一般教養で基礎をしっかり学んでおこう。