の～みそ、こねこね「数学ガール／ゲーデルの不完全性定理」

　脳がコンパイルされる読書。面白くて辛いスゴ本。普段と違うアタマの部位がカッカしていることが自覚され、ちょっと気味わるい。

　「数学ガール」とは、高校二年の「僕」が数学好きの美少女たちに翻弄される熱血恋愛バトル――というのはウソで、著者の言を借りるなら、「理系にとって最強の萌え」を目指した読みもの。ちょこっとラブ入りの物語ベースで、ガッコで学んだ数学とは一味も二味もちがう。

　今回のテーマは、「ゲーデルの不完全性定理」――とはいうものの、いきなり斬り込むのではなく、準備として攻略ポイントを解説する。「ウソつきのパラドクス」や「0.999…は1に等しいか」、「数学的帰納法」あたりは楽しく読めたが、「ペアノの公理」「イプシロン・デルタ論法」あたりになると、ついていくのがやっとで、メインテーマである第10章「ゲーデルの不完全性定理」は理解できなかった。

　もちろん、「何をやっているのか」は、登場人物の会話や独白で分かる。けれど、それが次々と繰り出される定義・公理・定理へと「どのように」つながるのかが分からない。いや、最初は懸命につき合わせて考えてみたけれど、怒涛の量にギブアップする。一覧表かロードマップのようなものがあれば…と作り始めたが、そもそも理解できないのに作れるはずもなく自壊する。実は、ひととおり説明された後に、ロードマップが示されている（p.358）のだ。証明の見取り図といってもいい。初読の方は、第10章に入ったら予めチェックしておくと吉。

　わたしの数学がらみのエントリを見ると、分かってないことを分かろうともがいていることが「分かる」。学生時代、「数学は暗記科目」といってはばからなかったのに、オトナになって、カジるのが楽しみになっている。

　　あこがれとワンサイド・ラブ「数学ガール」
　　数式なしでわかった気になれる「ゲーデルの哲学」
　　数学ぎらいは幸せになれないか? 「生き抜くための数学入門」
　　アフォーダンスを拡張する「数学でつまずくのはなぜか」

　下手の横好きのくせに、どうして（いまさら）数学をやりなおそうとするのか？その解が本書にあった。それは、意味を離れた思考をしたい、という欲望だ。数字を見れば「数値」や「数量」として扱ってしまうアタマから、いったん離れてみたいという欲求だ。

　数学ガール・ミルカさんは、算術の体系から形式的体系をつくりあげ、その中だけで定理を導き出す。馴染み深い「意味の世界」に対応付けられた「形式の世界」を渡るのは、ちょっと怖くて、とても愉しい。公理と推論規則だけで成立した世界――形式的体系から、形式的証明が生み出されるのは、美しいとすらいえる。わたしは、おかしなことを言っている。機械的に、コンピュータのように計算（というか置き換え）を繰り返していった先で、「美しい」とか「愉しい」といった感情に触れるような気分に陥るなんて。

　もうひとつ。「ゲーデルの不完全性定理」を生半可にかじってて、勝手に思い込んでいた「不安感」に終止符を打つことができた。それは、数学ガール・テトラちゃんのこの質問に集約されている。

『数学というもの』は、絶対的に確かだと思っていたんです。でも、第一不完全性定理の結果からは…証明も反証もできないものがあるわけですし、第二不完全性定理の結果からは…他の助けを借りなければ矛盾がないことを示せないわけです。だから、やはり『数学の限界』が証明されたように感じてしまうんです。

　言語は変化するのがアタリマエ。歴史は再解釈される。自然科学はパラダイムシフトするものだ。だが、『数学』だけは変わらない、確かなものだと「信じて」いた。「信じる」「信じない」にかかわらず、そうあるものだと考えていた――が、にわか勉強の不完全性定理で、その絶対性が揺らいでいたように思う。

　これが、ミルカさんの応答でガツンとやられた。彼女は、『数学というもの』を明確にせよという。「正確に定義できて、形式的に表現できる何か」なのか、あるいは、「なんとなく心の中に浮かんでいる数学っぽいもの」か、ハッキリさせようとする。前者なら不完全性定理の支配下になるが、後者はそうならない。ただし、「数学っぽいもの」は、決して、「数学的に証明された」ものにはならないという。

　これは、わたしにとって、痛恥ずかしかった。「数学っぽいもの」をありがたがってカジっていた自分が見透かされたように感じたからだ。数学の世界で展開される何かに意味を見出し、リアルに当てはめては悦に入っていたことが暴露されたかのような気持ちになった。数式に美なり快なりを見出すのは勝手だが、そいつを偉そうに開陳してきた自分が情けない。トドメのようにミルカさんのこの一言が刺さる。

要するに、『数学的な議論と、数学論的な議論は分けるべき』なんだ

　なんとキツい御言葉。言葉尻や駄洒落を捉えて一般化した気分になること、性質の似た部分を拡大して同類化して一席ぶつこと、それらがいっぺんに否定されている。「（分けずに）分かった気になる」ことの不毛さを思い知らされた。自重するべ。