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はてなキーワード: 連続関数とは
Xがコンパクト空間なら連続関数fについて最大値の定理が成り立つことの証明で
t∈XのUt={x|f(x)<f(t)}は開集合って言ってるんだけど、いやXの開集合系がXのべき集合全体でfの終域側の開集合系が空集合と終域自身だけだったら、
どうやったってfx<f(t)という条件では(f(x)<=f(t)ならともかく)開集合にならないから「連続関数の逆関数は開集合を開集合に写す」という定理が使えないから
Utが開集合だなんてのも当然言えなくね？ってなっててつまづいてる。
君は解説できる？
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流石にちょっと進展に怖くなった。今まで数学的な演習問題を解かせてきてバカ丸出し（タダで試せる汎用AIの範囲）だったが、gemini 2.0 Flash Think(experimental)とかいうの試して心胆寒くなった。gemini1.5であんだけ低能晒していたのに...。gemini1.5の時はソーカル事件で槍玉にあげられたポモの人たちの劣化バージョンのような解答よこしてた（論理性0で、キーワードいじって答えになるっぽい式並べただけ）のに、2.0 Flash Think(experimental)になるとちゃんと自分の提案を検証する（gemini1.5ではしない、copilot、ChatGPTも。grokは検証するのだが無限ループに入って無料限界越え）のみならずこちらからは「思考による努力」と思わせる言葉を吐きながら数分の長きにわたって（人間とは違うので数秒で新しい案出して検討する）「努力」した。残念ながらこちらの助け舟を最後まで理解できないで正答には至らずギブアップ（嘘答え潰していくとちゃんとギブアップするのね）して終わったが、応答の文面からは「理解しようとする」「努力」っぽいものは明らかに見えた。（こちらの出したヒントを一般論から推測して正しいだろうと見做し、そこから頑張ろうと表明してた。前バージョンだと連続関数は時には不連続になる（定義域同じで、同じ関数ですよ？）みたいな意味不明な強がりで「正解」出してた）
これまでの、ネットその他に答転がってなければもうダメです、ではなさそう。grokとこれ以外は明白な感じで勉強できたことを論理性関係なく結んで答え提示してただけなんだが近い将来はどうなるか？
PS1 出したのは絵解きでいいなら幼稚園児でもできる問題（3次元中の2次元曲面なら）を4次元中の3次元に単純拡張した。ただし今のAIはお絵かきは得意なようなんで数式の答えを要求した。
PS2 gemini2.0（以下ry）においても勉強できることはなんでもまずは暗記的勉強してることが垣間見えることもあった。（もちろん人間だってある本で意味わからなかったら別の本にあたってとりあえず読むので必須の行為ではある）gemini2.0君ったら突如こっちが指定したD(t,s)、U(t)みたいな記法じゃなくてγ(t)とか書きやがる。確かに教科書でπ_1(X,x_0)の代表元をγ(t)って書く流儀見るよね、と微笑ましかった。ほんのちょっと前までは本質を理解していない、キーワードを意味ありげにつなぐガリ勉君しかいなかったが、近い将来どこまで伸びるか？（本音はチンケなプライドのためにも伸びて欲しくない）
こういう話になると俺も勉強してない話になるので変なことを言ってるかもしれないけど、なんていうか、俺の感覚では数学は「対象」を「そいつらに対して許容される操作の集合」で規定するところがあるように思うんだよな。「操作」というのは例えば「足せる」とか「スカラー倍できる」とか「足してゼロになるやつが存在する」とかそういうの。そんでもってその「操作」が全く同じように成り立つ別の「対象」があるということがしばしばあって、「そいつらに対して許容される操作の集合」こそが「対象」という意味ではその2つの「対象」は全く同じということがある。それを準同型と言ったりする。そういう複数の「対象」を同じものとみなして都合に合わせて自由に行き来することを「同一視する」と言ったりする。
サンプリングというのは「連続関数」の対象から「離散的な値のセット」の対象への変換なわけだけど、こういうことをすると連続関数の世界で成り立っていた「操作」が成り立たなくなってしまうことがよくある。対称性が失われたり、ナイキスト定理によって高周波成分が失われたり色々する。それはつまり「対象」として別物になってしまうということだと思う。じゃあ連続関数の中でもどういうものなら「操作」が保存されるのかとか、「復元」が可能な場合はあるかとか、そういう話になってくる。
さらには、異なる「操作」自体をある意味で同一視して同じものとみなせるかどうかを議論するような分野もある。圏論と言う。異なる「操作」としての「圏」の間の準同型のような移り変わりを「射」と言って自由に移り変わりながらそれらに共通する性質の抽象化を試みたりする。でも圏論は全然勉強したことないからよく分からん。すまん。でも圏論で出てくる「可換図式」という図式の書き方とか使われ方を調べてみるともしかすると何か参考になるかもしれないと思う。
色々レスつけた増田だけど、改めて読み直してみると言いたいことがなんとなく分かる気がしてきた。
でも残念ながら「総称する呼び方」というものは存在しないと思うぞ。数学はトップダウンに見えるかもしれないけど実際は色々な分野の集合体で、それぞれは関連しつつも個別に発展していて、それらを統一する統一的な見方みたいなものは存在しない。どちらかというと（現代数学は）集合論を基礎として（いやそこにも色々あるが）、そこに分野ごとに様々な構造を追加していって枝分かれしていく感じだ。「統一する呼び方は何か」ではなく、自分が着目している対象（例えば「連続時間の信号」とかそういうのだ）が数学的にどういう対象として抽象化されているのかを考えて、その対象を扱っている分野はどれか、というのを探すべきだと思う。
連続時間の信号ならそれは単純には「連続関数」として抽象化されるものだから、それを扱う数学は解析学や関数解析などになるだろう。ノイズの影響を考慮して確率的な扱いをしたいとなると確率過程論などになっていく。
強いて言うなら「構造」かなあ。少なくとも俺はそういう言い方をよくする。「線形構造」はあらゆる分野の様々なところに現れるし、対称性のあるところには「群構造」があるし、線形作用素があるなら「スペクトル構造」を見ることで色々なことがわかる。
