Interdisciplinary

第6章の続き。

§3　相関仮説の検証の例

先に出た「仮説A」、つまり、「現実自己と理想自己のギャップが大きい人ほど、向上心が強い」を例にとって説明。

▼質問紙の作成

青年を対象にし、現実自己と理想自己を測定する質問紙と、向上心の強さを測定するための質問紙を作成。

現実自己と理想自己――「他人のミスに対して寛大である」などの「よい」特性を表す項目20個を、4段階で評定。得点の範囲：20～80点。

• 当てはまらない：1点
• あまり当てはまらない：2点
• やや当てはまる：3点
• よく当てはまる：4点

「よい」特性を表す項目だけだと、「当てはまる」と答える人の得点が極端に高くなる可能性があるので、「悪い」特性（「気が短い」など）も適度に交ぜる。悪い特性は、点数を反転させる（「当てはまる」→1点）。そのような項目を、逆転項目と言う。

向上心――「何か失敗をしたときは、よく反省して次には失敗しないように心がける」などの項目10個。5件法（5段階）で評定。

▼被験者とデータ

被験者：ある大きな大学の新入生からランダムに選んだ100人母集団は、ある大きな大学の新入生全体

上の質問紙3つを被験者に実施する。量的調査のデータは、「被験者×変数」の形式の一覧表にまとめられる。※「×」はクロスって事です。この場合、縦にAさん、Bさん（あるいは割り振った番号）…を取って、横に現実自己・理想自己・ギャップ・向上心の点数を書いて表にする。

▼データの分析と結果の解釈

変数間の相関関係の強さを、相関係数という統計的指標によって表現出来る。

相関係数

• -1から+1までの範囲の値を取る。
• -は負の相関、+は正の相関を示す。
• 絶対値の大きさが、相関関係の強さを表現する。

今見ているのは、ギャップが大きい人ほど向上心が強い、という仮説だから、ギャップの値と向上心の値との相関係数に着目する。ここでは（本書の架空のデータ）、0.52（本書では0が省略されていて、.52となっていますが、ブログでは見にくいのでつけます）という正の値。0を省略して書くか、とかは、論文の投稿の規程とかにもよるらしい。省略しない方がいい、という意見も見ます。

ギャップの値と向上心の得点間の関係を、散布図で図示出来る。参照⇒散布図

点が、右上がりの直線の近くに集中していれば、相関係数が大きくなり、全ての点が直線上に一列に並べば、最大値の1になる。散布図が右下がりであれば、相関係数は負の値になる。ここで解るように、この文脈で言う「相関係数」は、「直線的な関係」を見るもの。それを、「ピアソンの積率相関係数」と言います。ピアソンは人の名前。だから、曲線的な綺麗な関係があっても、この相関係数はあまり高くならなかったりします。

相関係数がいくら以上であれば、仮説が支持されたと考えて良いか？

→仮説自体が、「正の相関関係がある」という大雑把なものなので、問いに明確に答えるのは困難。

→心理学の研究でしばしば用いられる基準――得られた相関係数が統計的に有意か否か。←この基準による判定の手続き：統計的検定（第9章参照）

ちょっと触れます。この場合の統計的検定は、

「母集団において相関関係があるか」となります。

で、仮説は、

「母集団において相関係数は0である」

とします。そして、母集団から標本を採ってきて（ここでは、大きさ100）相関係数を計算して、

「母集団で相関係数0だとしたら、標本でこんな値が出るのはどのくらいの確率よ？」

というのを計算します（確率論によって）。で、その確率が前もって決めていた値（たとえば5％）より小さければ、

「こんなに小さいんだから、母集団でも相関係数は0じゃ無いに違いないぜ！」

として、最初に立てた仮説、つまり「母集団の相関係数は0である」という仮説を棄てます。

ちなみに、上に書いた、「前もって決めていた確率」より小さい場合、それを「統計的に有意」である、と言います。

§4　相関係数および関連する統計的指標

▼共分散

相関係数→共分散という、2変数間の関係を表すより基本的な指標を用いて定義される。

共分散の求め方。

変数ｘの相加平均を求める。いわゆる平均値です。

変数ｙの相加平均を求める。

変数間に正の相関関係があるとは――ギャップが（全体のギャップの）平均より大きければ向上心も（全体の向上心の）平均より大きく、ギャップが平均より小さければ向上心も平均より小さい、という関係。

→各被験者について、値と平均値との差を取る：「ギャップの値 - ギャップの平均」と「向上心の値 - 向上心の平均」これを、「（平均からの）偏差」と言います。たとえば、平均60点のテストで85点取れば、偏差は+25。50点だったら、偏差は-10

→正の相関関係があるならば、「ギャップの値 - ギャップの平均」と「向上心の値 - 向上心の平均」を掛け合わせた値は正になる、つまり、「正×正」または「負×負」一方が平均より高いのにもう一方が低ければ、プラス×マイナスで負数になる訳ですね。で、それを足し合わせれば、相関関係がどうなっているか解る。

→全ての被験者について掛け合わせた値を出し、それを足し合わせる。下の公式の分子です。これを、「偏差積和」と言います。偏差　積　和　つまり、ｘとｙの偏差を掛け、それを全部足す（総和）。だから、「偏差積和」そして、それを平均する（被験者の総数で割る）。データ数で割らないと、データ数が増えるほど値が大きくなる。

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Sｘｙ：（変数ｘとｙの）共分散　※ここでは、ｘはギャップ、ｙは向上心

正の値であるから、正の相関関係がある事が判る。

共分散を解釈しやすいように加工した値が相関係数。→その加工のために、標準偏差という別の指標が必要。

▼分散と標準偏差

同一変数の共分散を求めたもの：分散

左辺が分散。

分散は、ばらつきの指標になる。つまり、平均から離れているものが大きければ、分散の値も大きくなる。

共分散では、分子は「偏差積和」でした。分散では、「偏差平方和」と言います。何故かって？　偏差　平方　和　だから。「積」が「平方」になっているだけですね。同じ変数で平均からのずれを掛けるので、それは平方、つまり2乗になります。上の公式に出てますね。偏差積和と同じように書くと（ｘの平均をｍとする）、

(32 - m)(32 - m) + (9 - m )(9 - m )……(30 - m)(30 - m)

となるのですね。だから、「同一変数の”共分散”」が分散になる訳なのであります。

分散の正の平方根：標準偏差

Sｘ：標準偏差

上に書いてあるように、最初に2乗したから、それを開いてやります。そうで無いと、単位が変わります。何故2乗するか、というと、平均からの偏差（ずれ）をそのまま足し合わせてデータ数で割ると、0になってしまうから。

向上心の標準偏差＝4.00

▼相関係数

共分散を、それぞれの変数の標準偏差で割る。

ｒ：相関係数――分子：ｘとｙの共分散　分母：ｘの標準偏差とｙの標準偏差の積

今の例では、

r = 16.73 / ( 8.04 * 4.00 ) = 0.52

従って、ギャップと向上心との相関係数は0.52になる。

なぜ相関係数を用いるか。

• 共分散は、値が単位に依存する。
• 例：身長と胸囲の関係を知りたい→単位をセンチメートルにするかインチにするかで、値が変わる。
• 共分散を標準偏差で割った相関係数は、単位の取り方に依存しない。
• 共分散の取り得る値の範囲は、各変数の標準偏差の大きさに依存する。
• 相関係数の取り得る範囲は、-1 ≦ ｒ ≦ 1　と決まっているので、都合が良い。

▼統計ソフトウェア

色々あるよ。