概要 動き回る物体が、別の物体と2回衝突する間に平均して進める距離のことを平均自由行程と呼ぶ。前回、濃厚接触の発生回数を人間の2次元平均自由行程から導いた。 多くの場合、平均自由行程は3次元空間と粒子で考えられ、飛行する粒子の平均自由行程は、気体やプラズマの性質を表す重要な指標となる。今回は飛行する電子を考える。その空間には希ガス原子がある密度で存在する。電子の平均自由行程を式で表す。 導出 飛び回る電子の大きさは非常に小さいとみなし、半径の点と考える。それに対して的となる希ガス原子(以下、単に「原子」と書く)ははるかに大きく、ある半径の球と考える。また、原子は電子と比較して非常に遅く、速度はであると考える。これはプラズマ中や電子ビーム中で電子が高速に飛行し、気体分子に衝突する現象をモデル化する際によく用いられる近似である。図に衝突の模式図を示す。電子を赤、原子を青で示した。 立式 この時

指数関数を、変数で微分したい。微分の定義に従って代入する。 \begin{equation} y'=\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \end{equation} ここから指数関数の性質を用いて式を変形していく。まず右辺をで括る。 \begin{eqnarray} y'&=&\lim_{h \to 0}\frac{a^{x}(a^h-1)}{h}\\ &=&a^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(a^h-1)}{h}\\ \end{eqnarray} はに関係ないので、の外側に出せた。 つまりはに何か係数がかかった形になる。もしこの係数が1に等しければ、とシンプルに書けるのでうれしい。 ではがいくつの時に が成り立つだろうか？ があると式変形しづらいので一旦無しで考える。 \begin{equation} \frac{a^h-1}{h}=1

薄い球殻の体積を求めたい。 球殻は、中心を同じくする大きい球と小さい球とに挟まれた領域と言えるので、大きい球の半径を、小さい球の半径をとすると、体積は以下の式で表せる。 \begin{equation} V=\frac{4}{3}\pi (r+dr)^3-\frac{4}{3}\pi r^3 \end{equation} 式を展開する。 \begin{eqnarray} \require{cancel} V&=&\frac{4}{3}\pi (r+dr)^3-\frac{4}{3}\pi r^3\\ &=&\frac{4}{3}\pi(\cancel{r^3}+3r^2dr+3r dr^2+dr^3)-\cancel{\frac{4}{3}\pi r^3} \end{eqnarray} ここで球殻が薄いことはが小さいことと等価である。しかしこの時、やの項はさらに大幅に小さい値になるので無視

物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。今回は空気抵抗を無視することにする。 まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。 \begin{eqnarray} ma=f \end{eqnarray} 物体には重力による引力だけが働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。これを右辺のに代入する。 \begin{eqnarray} ma&=&-mg\\ a&=&-g \end{eqnarray} 加速度は位置を時間で二回微分したものと言える。をで1回微分したものを、2回微分したものをと書こう。 \begin{eqnarray} \ddot{x}&=&-g \end{eqnarray} これで求めたい微分方程式ができた。 両辺をで積分する。 \begin{eqnarray} \underline{\dot{

細い輪の面積を求めたい。 輪は、中心を同じくする大きい円と小さい円とに挟まれた領域と言えるので、大きい円の半径を、小さい円の半径をとすると、面積は以下の式で表せる。 \begin{equation} S=\pi (r+dr)^2-\pi r^2 \end{equation} 式を展開する。 \begin{eqnarray} \require{cancel} S&=&\pi (\cancel{r^2}+2rdr+dr^2)-\cancel{\pi r^2} \end{eqnarray} ここで輪が細いことはが小さいことと等価である。しかしこの時、の項はさらに大幅に小さい値になるので無視できる。 \begin{eqnarray} \require{cancel} S&=&\pi(2rdr+\cancel{dr^2})\\ &=&2\pi r dr \end{eqnarray} 結局この値は円周

連ガチャ大爆死の確率 当たる確率1%の100連ガチャの爆死率 について以前書いた。では、当たる確率0.1%の1000連ガチャや、当たる確率0.01%の10000連ガチャの爆死率はどうなるだろうか？エクセルで計算してみる。 当たる確率1%の100連ガチャ \begin{equation} 0.99^{100}=0.366\cdots \end{equation} 当たる確率0.1%の1000連ガチャ \begin{equation} 0.999^{1000}=0.368\cdots \end{equation} 当たる確率0.01%の10000連ガチャ \begin{equation} 0.9999^{10000}=0.368\cdots \end{equation} ほとんど変化せず、収束していそうな結果になる。 代数的表現 当たる確率の連ガチャで大爆死する確率は以下のように書ける。 \b

例題 以下の漸化式を特性方程式を用いて解き、を閉じた式で表す。 \begin{eqnarray} a_{n+2}&=&2a_{n+1}-2a_n\\ a_0&=&3\\ a_1&=&5 \end{eqnarray} 特性方程式は以下の形になる。 \begin{eqnarray} x^2-2x+2=0 \end{eqnarray} 2次関数の解の公式を用いて特性方程式を解く。 \begin{eqnarray} x&=&\frac{2\pm\sqrt{4-8}}{2}\\ &=&\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}\\ &=&1 \pm i \end{eqnarray} 特性方程式の2つの解を用いて、漸化式を2つの等比数列に変換する。 \begin{eqnarray} a_{n+1}-(1+i)a_n=(1-i)^n[a_1-(1+i)a_0]\\ a_{n+1}-(1-i)a_n=

以下の漸化式で表される数列をフィボナッチ数列と呼ぶ。特性方程式を用いて、フィボナッチ数列の一般項を求める。 \begin{eqnarray} F_{n+2}&=&F_{n+1}+F_{n}\\ F_0&=&0\\ F_1&=&1\\ \end{eqnarray} この漸化式の特性方程式を作るととなる。因数分解は容易でないので、解の公式にを代入する。 \begin{eqnarray} x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=&\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}{2}\\ &=&\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\ \end{eqnarray} 解が求められた。 特性方程式が異なる2つの解を持ったので、2つの等比数列を作れる。 \begin{eqnarray} a_{n+1}-\left(

特性方程式とは何か？ こちらを参照。 解がの場合 式(2)と式(3)の漸化式を等比数列に変形する。初項と次の項をそれぞれとした。 \begin{eqnarray} a_{n+1} -p a_{n} &=& q^n(a_{1} -p a_{0}) \tag{4}\\ a_{n+1} -q a_{n} &=& p^n(a_{1} -q a_{0}) \tag{5} \end{eqnarray} 式(5)から式(4)を辺々引くとが消える。 \begin{eqnarray} (p-q)a_n&=&p^n (a_1- q a_0)-q^n( a_1-p  a_0) \end{eqnarray} 両辺をで割る。(としているので0割の心配はない) \begin{equation} \underline{a_n=\frac{p^n (a_1- q a_0)-q^n( a_1-p  a_0)}{p-q}}

等比数列 等比数列の一般項は、初項を、公比をとして、 \begin{equation} a_n=r^na_0 \end{equation} と表せる。 (与えられた初項がだったらで割ってを作っておこう。が初項だとの指数がになって面倒なので) 等比数列の和 この数列をからまで足した値はいくつになるか？や省略のない形で表したい。 まず単純に和を取ってみると、 \begin{equation} \displaystyle \sum_{k=m}^nr^ka_0=r^ma_0+r^{m+1}a_0+r^{m+2}a_0+\cdots +r^{n-1}a_0+r^na_0 \tag{1} \end{equation} これだけでは良く分からない。 式(1)の両辺を倍する。 \begin{equation} \displaystyle r\sum_{k=m}^nr^ka_0=r^{m+1}a_0+r^{

簡単な漸化式 数列の一般項が、やなどの別の項の関数として表されている式を漸化式と呼ぶ。もしある漸化式が、 \begin{equation} a_{n+1}=a_{n}+d \end{equation} の形で表せる場合、この数列は明らかに公差の等差数列である。 また、ある漸化式が \begin{equation} a_{n+1}=ra_n \end{equation} の形で表せる場合、この数列は明らかに公比の等比数列である。 隣接2項漸化式 では、漸化式が で表される場合はどうなるか？すぐには解けないこのような問題を、上記の簡単な漸化式に帰着させ、一般項を求めるのが漸化式の解法である。 この漸化式を の形に出来れば、新たな数列は公比の等比数列になるので、式(1)をこの形に変形して、の値を調べる。 特性方程式 そのために、まず目標となる式(2)を展開する。 \begin{equation}

概要 以下の関係を満たす\( x \)を定数\( a,b,c \)で表す。すなわち、2次方程式の解の公式を導く。 \begin{eqnarray} ax^2+bx+c=0 \end{eqnarray} 導出 \( a \neq 0 \)として、両辺を\( a \)で割る。 \[ \begin{eqnarray} x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \end{eqnarray} \] *1 について平方完成を行う。 \begin{eqnarray} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}=0 \end{eqnarray} 定数項を右辺に移項する。 \begin{eqnarray} \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}

等差数列 等差数列の一般項は、を初項、を公差として、 \begin{equation} a_n=a_0+nd \end{equation} の形で表せる。 (与えられた初項がだったらを引いてを作っておこう。が初項だとの係数がになって面倒なので) 等差数列の和 この数列をからまで足した値はいくつになるか？や省略のない形で表したい。 まず単純に和を取ってみると、 \begin{equation} \displaystyle \sum_{k=m}^n(a_0+kd)=a_0+md+\left\{a_0+(m+1)d \right\} + \left\{a_0+(m+2)d \right\} + \cdots +\left\{a_0+(n-1)d \right\}+a_0+nd \tag{1} \end{equation} これだけでは良く分からない。 和を逆の順番で書いてみる。 \begin{e

フィボナッチ数列 以下の数列をフィボナッチ数列と呼ぶ。 \begin{eqnarray} F_0&=&0\\ F_1&=&1\\ F_n&=&F_{n-1}+F_{n-2} \end{eqnarray} すなわちは直前2項の和となる。実際に計算してみる。 \begin{eqnarray} F_2&=&F_0+F_1=0+1=1\\ F_3&=&F_1+F_2=1+1=2\\ F_4&=&1+2=3\\ F_5&=&2+3=5\\ F_6&=&3+5=8 \end{eqnarray} その和 この数列の項目までの和、はどんな形になるだろうか？実際にを足し合わせてみると、 \begin{eqnarray} F_0&=&F_0\\ F_1&=&F_1\\ F_2&=&F_0+F_1\\ F_3&=&F_1+F_2\\ \cdots\\ F_{n-1}&=&F_{n-3}+F_{n-2}\\ F_