概要 動き回る物体が、別の物体と2回衝突する間に平均して進める距離のことを平均自由行程と呼ぶ。前回、濃厚接触の発生回数を人間の2次元平均自由行程から導いた。 多くの場合、平均自由行程は3次元空間と粒子で考えられ、飛行する粒子の平均自由行程は、気体やプラズマの性質を表す重要な指標となる。今回は飛行する電子を考える。その空間には希ガス原子がある密度で存在する。電子の平均自由行程を式で表す。 導出 飛び回る電子の大きさは非常に小さいとみなし、半径の点と考える。それに対して的となる希ガス原子(以下、単に「原子」と書く)ははるかに大きく、ある半径の球と考える。また、原子は電子と比較して非常に遅く、速度はであると考える。これはプラズマ中や電子ビーム中で電子が高速に飛行し、気体分子に衝突する現象をモデル化する際によく用いられる近似である。図に衝突の模式図を示す。電子を赤、原子を青で示した。 立式 この時

等加速度運動 以前、空気抵抗を無視した自由落下運動、すなわち等加速度運動について書いた。 例えば宇宙空間でロケットを操縦しているとき、フットペダルを一定量踏めば、ブースターが一定の推力を発揮し、ロケットはすなわちの加速度で等加速度運動するだろう。 等躍度運動 しかし、実際にはフットペダルをいきなり一定量踏むのではなく、徐々に踏み込んでいくことになる。その間、推力は増加していくので加速度も一定にはならず、やはり一定の変化率で増加していく。 加速度が一定の割合で時間変化していく様子を微分方程式で表す。この比例定数、すなわち加速度の時間変化率を躍度(jerk)と言い、と書く。 \begin{equation} \dot{a}=j \end{equation} 両辺を時間で積分していくと、速度や位置を求めることができる 加速度を求める。 \begin{eqnarray} \int \dot{a}

特殊解(再掲) 前回計算した速度と位置の特殊解(で)を再度書く。 ここでは落下物の速度、は位置、は重力加速度、は時間、は空気抵抗係数、は落下物の質量、は任意定数である。いずれも上方向(重力と逆方向)をとしていることに注意。 空気抵抗なし 速度 \begin{eqnarray} v=-gt \end{eqnarray} 位置 \begin{eqnarray} x=-\frac{1}{2}gt^2 \end{eqnarray} 空気抵抗あり 速度 \begin{eqnarray} v&=&\frac{mg}{k} \left[ \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-1 \right]\\ \end{eqnarray} 位置 \begin{eqnarray} x=-\frac{m^2g}{k^2} \exp{\left(-\frac{kt}{m}\right)}-\f

これまでに導いた空気抵抗無しと有りの2つの自由落下運動を比較してみよう。導いた一般解を再度書き出す。 ここでは落下物の速度、は位置、は重力加速度、は時間、は空気抵抗係数、は落下物の質量、は任意定数である。いずれも上方向(重力と逆方向)をとしていることに注意。 空気抵抗なしの自由落下 一般解 前回求めた一般解を再掲する。 速度 \begin{eqnarray} v=-gt+v_0 \tag{1} \end{eqnarray} 位置 \begin{eqnarray} x=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0 \tag{2} \end{eqnarray} 特殊解 初期値を代入して特殊解を作る。 今回はにおいて、基準点から静かに落下させたとする。すなわち初期値はでになる。 空気抵抗なしの場合、式(1)より、式(2)よりである。 速度 \begin{eqnarray} v=-gt \e

物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。空気抵抗なしバージョンは以前やったので、今回はありバージョンを計算する。 まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。 \begin{eqnarray} ma=f \end{eqnarray} 物体には重力による引力と空気抵抗が働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。空気抵抗力は速度に比例して強くなり、その比例係数をと置く。これらを右辺のに代入する。 \begin{eqnarray} ma&=&-mg-kv\\ \end{eqnarray} 空気抵抗力はの反対向きに働くのでマイナスがついている。が方向の時に抵抗力は方向、が方向の時に抵抗力は方向ということである。 加速度は速度を時間で微分したものである。をで1回微分したものをと書こう。空気抵抗なしバージョンで

物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。今回は空気抵抗を無視することにする。 まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。 \begin{eqnarray} ma=f \end{eqnarray} 物体には重力による引力だけが働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。これを右辺のに代入する。 \begin{eqnarray} ma&=&-mg\\ a&=&-g \end{eqnarray} 加速度は位置を時間で二回微分したものと言える。をで1回微分したものを、2回微分したものをと書こう。 \begin{eqnarray} \ddot{x}&=&-g \end{eqnarray} これで求めたい微分方程式ができた。 両辺をで積分する。 \begin{eqnarray} \underline{\dot{