等比数列の和

等比数列

等比数列の一般項は、初項を、公比をとして、

\begin{equation} a_n=r^na_0 \end{equation}

と表せる。

(与えられた初項がだったらで割ってを作っておこう。が初項だとの指数がになって面倒なので)

 

等比数列の和

この数列をからまで足した値はいくつになるか？や省略のない形で表したい。

 

まず単純に和を取ってみると、

\begin{equation}
\displaystyle \sum_{k=m}^nr^ka_0=r^ma_0+r^{m+1}a_0+r^{m+2}a_0+\cdots +r^{n-1}a_0+r^na_0 \tag{1}
\end{equation}

これだけでは良く分からない。

 

式(1)の両辺を倍する。

\begin{equation}
\displaystyle r\sum_{k=m}^nr^ka_0=r^{m+1}a_0+r^{m+2}a_0+r^{m+3}a_0+\cdots +r^{n}a_0+r^{n+1}a_0 \tag{2}
\end{equation}

 

式(1)から式(2)を辺々引くと、ほとんどの項が打ち消し合う。

\begin{eqnarray}
\displaystyle \require{cancel}
\sum_{k=m}^nr^ka_0&=&r^ma_0+&\cancel{r^{m+1}a_0}+\cancel{r^{m+2}a_0}+\cancel{\cdots} +\cancel{r^{n-1}a_0}+\cancel{r^na_0}\\
-\bigg) \quad r\sum_{k=m}^nr^ka_0&=& &\cancel{r^{m+1}a_0}+\cancel{r^{m+2}a_0}+\cancel{\cdots} +\cancel{r^{n-1}a_0}+\cancel{r^{n}a_0}&+r^{n+1}a_0\\
\hline
(1-r)\sum_{k=m}^nr^ka_0&=&r^ma_0& &-r^{n+1}a_0
\end{eqnarray}

 

右辺をでくくる。
\begin{equation}(1-r)\sum_{k=m}^nr^ka_0 = a_0(r^m-r^{n+1}) \end{equation}

 

として、両辺をで割る。*1

\begin{equation}
\underline{\sum_{k=m}^nr^ka_0=\frac{a_0(r^m-r^{n+1})}{1-r}}
\end{equation}

等比数列の和の式が求められた。

 

特にの時、すなわち初項からの和の時、

\begin{equation}
\underline{\sum_{k=0}^nr^ka_0=\frac{a_0(1-r^{n+1})}{1-r}}
\end{equation}

等比数列の初項からの和の式が求められた。

*1:であれば、公比1なので、その和は単純に足し合わせる項の数をにかけたものである。