三平方の定理の証明

三平方の定理(ピタゴラスの定理)を証明する。

すなわち、上図のような直角三角形を考えたとき、

\begin{equation}
a^2+b^2=c^2
\end{equation}

が成り立つことを示す。

 

証明

 合同な直角三角形を下図のように4つ配置した場合を考える。

ここで大きな四角形は、明らかに四辺の長さがの正方形である。

 

また白い小さな四角形は、四辺の長さが、四隅の角が垂直でない2角の和 であるので、やはり正方形である。

 

「大きな正方形の面積」は、「小さな正方形の面積と直角三角形4つの面積の和」に等しいので、以下の等式が成り立つ。

\begin{eqnarray}
(a+b)^2=c^2+4\frac{a\cdot b}{2}
\end{eqnarray}

 

両辺を整理していく。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
a^2+2ab+b^2&=&c^2+2ab\\
a^2+\cancel{2ab}+b^2&=&c^2+\cancel{2ab}\\
a^2+b^2&=&c^2
\end{eqnarray}

両辺のがちょうど打ち消し合い、三平方の定理が導かれた。