指数関数を、変数で微分したい。微分の定義に従って代入する。 \begin{equation} y'=\lim_{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \end{equation} ここから指数関数の性質を用いて式を変形していく。まず右辺をで括る。 \begin{eqnarray} y'&=&\lim_{h \to 0}\frac{a^{x}(a^h-1)}{h}\\ &=&a^{x}\lim_{h \to 0}\frac{(a^h-1)}{h}\\ \end{eqnarray} はに関係ないので、の外側に出せた。 つまりはに何か係数がかかった形になる。もしこの係数が1に等しければ、とシンプルに書けるのでうれしい。 ではがいくつの時に が成り立つだろうか？ があると式変形しづらいので一旦無しで考える。 \begin{equation} \frac{a^h-1}{h}=1