薄い球殻の体積を求めたい。 球殻は、中心を同じくする大きい球と小さい球とに挟まれた領域と言えるので、大きい球の半径を、小さい球の半径をとすると、体積は以下の式で表せる。 \begin{equation} V=\frac{4}{3}\pi (r+dr)^3-\frac{4}{3}\pi r^3 \end{equation} 式を展開する。 \begin{eqnarray} \require{cancel} V&=&\frac{4}{3}\pi (r+dr)^3-\frac{4}{3}\pi r^3\\ &=&\frac{4}{3}\pi(\cancel{r^3}+3r^2dr+3r dr^2+dr^3)-\cancel{\frac{4}{3}\pi r^3} \end{eqnarray} ここで球殻が薄いことはが小さいことと等価である。しかしこの時、やの項はさらに大幅に小さい値になるので無視

物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。今回は空気抵抗を無視することにする。 まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。 \begin{eqnarray} ma=f \end{eqnarray} 物体には重力による引力だけが働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。これを右辺のに代入する。 \begin{eqnarray} ma&=&-mg\\ a&=&-g \end{eqnarray} 加速度は位置を時間で二回微分したものと言える。をで1回微分したものを、2回微分したものをと書こう。 \begin{eqnarray} \ddot{x}&=&-g \end{eqnarray} これで求めたい微分方程式ができた。 両辺をで積分する。 \begin{eqnarray} \underline{\dot{