三平方の定理(ピタゴラスの定理)を証明する。 すなわち、上図のような直角三角形を考えたとき、 \begin{equation} a^2+b^2=c^2 \end{equation} が成り立つことを示す。 証明 合同な直角三角形を下図のように4つ配置した場合を考える。 ここで大きな四角形は、明らかに四辺の長さがの正方形である。 また白い小さな四角形は、四辺の長さが、四隅の角が垂直でない2角の和 であるので、やはり正方形である。 「大きな正方形の面積」は、「小さな正方形の面積と直角三角形4つの面積の和」に等しいので、以下の等式が成り立つ。 \begin{eqnarray} (a+b)^2=c^2+4\frac{a\cdot b}{2} \end{eqnarray} 両辺を整理していく。 \begin{eqnarray} \require{cancel} a^2+2ab+b^2&=&c^2+2