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僕は予定通り起床した。予定通りという言い方は正確ではない。僕は目覚ましが鳴る3秒前に目を覚ますからだ。
脳は最適化可能なシステムだ。毎日同じ時間に起きれば、視交叉上核はかなり高精度のクロックになる。
ルームメイトはこれを「気持ち悪い」と表現するが、気持ち悪いのは不規則な生活の方だ。
まずキッチンでシリアルを42回噛んだ。42は象徴的な数ではない。単に粘度と嚥下効率を測定した結果の局所最適値だ。人間の消化は意外と工学的に扱える。
友人Aは「そんなこと考えて飯食うな」と言うが、考えないで飯を食う方が非合理だ。
さて、本題。今週ずっと考えていた超弦理論の問題について整理する。
通常、弦理論の非摂動的定義はまだ完全ではない。行列模型、AdS/CFT、M理論など、いくつかの窓は開いているが、宇宙全体を一つの定義で包む完全な形式化はまだない。多くの人はここで止まる。僕は止まらない。
今週考えていたのは、弦理論の構造を∞圏的ホログラフィーとして書き直すアプローチだ。
普通のホログラフィック原理では、境界の共形場理論（CFT）が重力を含むバルク理論を完全に記述する。これは圏論的に言えば「境界理論の圏」と「重力理論の圏」の間の双対として見える。
だがこの枠組みはまだ浅い。理由は簡単だ。弦理論の対象は単なる場ではない。
ブレーン、弦、欠陥、双対性、トポロジカルセクターが階層構造を作る。つまり自然な言語は高次圏になる。
僕の仮説はこうだ。弦理論の完全な定義はE∞モノイド的∞圏として記述され、その対象はDブレーン、弦の境界条件、トポロジカル欠陥で構成される。
ここで重要なのは、これが単なる数学的装飾ではないということだ。弦の結合定数の再和（resummation）を考えると、振幅は実際には∞groupoidのホモトピー型として自然に現れる。
つまり、摂動展開で現れるファインマン図は単なるグラフではなく高次ホモトピーのセル分解になっている。
ブラックホールのエントロピーを考えると、微視状態の数え上げは通常Dブレーン束のコホモロジーとして現れる。
だが∞圏構造を入れると、状態空間は単なるヒルベルト空間ではなく導来スタックになる。
ここでエントロピーはエンティティの数ではなくホモトピー型の体積として解釈される。
この視点に立つと、ブラックホール情報問題はかなり違う顔になる。
情報が保存されるかどうかという問い自体が、そもそも古典的ヒルベルト空間の直観に依存している。
∞圏では状態は「点」ではなくパスと2-パスと3-パスの束だ。
そのあと隣人がノックしてきた。
彼女は「朝5時にホワイトボードに数式を書く音がうるさい」と言った。
僕は説明した。
僕は返信した。
日曜日は
これからやることを整理する。
特にDブレーンのK理論分類をスペクトル圏として書き直せないか検討する。
今のランドスケープは「真空が多すぎる」という話だが、∞圏の言語ではそれらは単なる点ではない。モジュライ空間の高次連結成分だ。
そのあと、ルームメイトが起きてきたら、彼の座っている位置が僕の指定座標からズレていないか確認する。
むーらーかーみーい、 うるせーぞ！
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