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土曜日 03:00
僕は今、机の上の温度計を確認した。室温22.3℃。許容範囲だ。22℃±0.5℃が理想だが、この誤差は許せる。宇宙は量子揺らぎで満ちているのだから、僕の部屋の空気が0.3℃くらい揺らいでも大勢に影響はない。
少々早いが、シリアルを42回噛んだ。回数は宇宙的意味ではなく統計的最適化の結果だ。咀嚼回数と粘度と嚥下効率の関数を簡単にモデル化すると、だいたいこの辺りに極値がある。
友人Aは「ただ食え」と言うが、最適化問題を放棄するのは文明の敗北だ。
問題がある。彼はマグカップをランダムに置く。僕の座標系ではテーブルは格子構造で理解されているので、カップが格子点から2.5cmずれると精神的ノイズが発生する。
僕は修正した。ルームメイトは「別にいいだろ」と言った。もちろん良くない。局所対称性の破れは気持ちが悪い。
さて、本題。
最近僕が気に入っているのは、弦理論をコボルディズム圏の表現として理解する視点だ。
つまり、世界面の幾何を単なる積分領域として扱うのではなく、構造付きコボルディズムの∞-圏として扱い、その上の関手として量子場理論を定義するというやり方。
要するに、時空の断片（コボルディズム）を入力すると、ヒルベルト空間や相関関数を出力する機械として理論を公理化する。
問題は、弦の世界面理論が単なる2次元CFTでは足りないことだ。低種数のホロモルフィック部分、つまり頂点作用素代数だけでは全データの半分しかない。
完全な理論には全種数の縫合条件（sewing constraints）を満たす構造が必要になる。
ここで僕は少し狂気じみた仮説を考えている。
世界面CFTを単なる代数として扱うのではなく、factorization algebra の ∞-スタックとして扱う。すると、弦の相互作用は operad 的な貼り合わせではなく、E₂-代数から E∞-代数へのホモトピー的拡張として見える。
つまり
世界面 → ∞-圏
観測量 → factorization algebra
弦相互作用 → operadic gluing
でも僕の進捗はその先だ。
もし弦のバックグラウンド場（B場やRR場）を微分コホモロジーのコサイクルとして扱うなら、弦の作用は普通のゲージ場ではなく2-束（bundle gerbe）の表面ホロノミーになる。
線 → 粒子
面 → 弦
三次元 → 何か
という階層になる。
ここで僕は思いついた。
もし世界面理論が tmf（topological modular forms）に自然に持ち上がるなら、弦のスペクトルは実質的に楕円コホモロジーのスペクトル系列として見えるはずだ。
このとき弦の振動モードは単なる調和振動子ではなく、モジュラー形式の q 展開として理解できる可能性がある。
これはかなり美しい。なぜなら弦理論の分配関数はもともとモジュラー不変性を持つからだ。
もし tmf が本当に正しい言語なら、弦のスペクトルは、ホモトピー論 + モジュラー形式、という奇妙な組み合わせで分類される。
つまり、宇宙は振動しているのではなくホモトピー圏でモジュラー関数を再生しているということになる。
夕方、隣人が部屋に来た。理由は不明だ。僕のホワイトボードを見て「それ何？」と言った。
隣人は「なるほど、パスタ？」と言った。
夜は友人Aと友人Bとオンラインで話した。
友人Aは衛星の話をしていた。友人Bはまた宇宙人の話をしていた。
僕はその間、バックグラウンドで計算していた。もし弦理論が本当に QFT = Cobordism functorとして完全に定式化されるなら、弦の摂動展開は
という関手の圏論的トレースとして書ける。その場合、弦の相互作用頂点は単なる三点頂点ではなく∞-圏の合成になる。
僕はこの考えがかなり気に入っている。ただ問題がある。まだ計算できない。
現在の予定。
1. カモミールティーを作る
2. factorization algebra と tmf の関係をもう一度整理
3. 世界面の sewing constraint を ∞-operad で書き直す
4. 眠くなったら寝る
もちろん寝る確率は低い。
そして僕のホワイトボードにはまだ空きがある。
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