十七角形とは？わかりやすく解説

十七角形（じゅうしちかくけい、じゅうななかっけい、heptadecagon）は、多角形の一つで、17本の辺と17個の頂点を持つ図形である。内角の和は2700°、対角線の本数は119本である。

正十七角形

正17角形においては、中心角と外角は約 $21.18 °$ で、内角は約 $158.82°$ となる。また、一辺の長さが $a$ である正17角形の面積は ${17a^{2} \over 4}\cot {\pi \over {17}}\approx 22.7354919a^{2}$

正十七角形の作図

以下に、作図の手順の意味を説明する (括弧内はアニメーションにおける段階の番号)。

$O$ を中心とする円周上に点 $A, B$ があり、 $OA$ と $OB$ は直交するものとする (1-5)。

線分 $OB$ 上に点 $C$ を $4OC = OB$ となるようにとる (6-10)。
線分 $OA$ 上に点 $D$ を $4∠OCD = ∠OCA$ となるようにとる (11-18)。
$AO$ の延長上に点 $E$ を $∠DCE = 45°$ となるようにとる (19-24)。
$AE$ を直径とする円と $OB$ との交点を $F$ とする (25-28)。
$DF$ を半径とする円と線分 $OA$ との交点を $G$ とする (29)。
$G$ を通り、 $OA$ に直交する直線と円 $O$ との交点を $H$ とする (30-33)。
点 $H$ は点 $A$ から数えて正十七角形の3番目の頂点であるから、コンパスの幅を $AH$ にとることで、全ての頂点を得ることができる (34-47)。
最後に頂点を全て結べば正十七角形を得る (48-64)。

やや詳細なイラスト付き作図

17角形の作図から等倍の正多角形が作図できる。正34角形：

正51角形：

正85角形：

正255角形：

ガウス「第7章　円の分割を定める方程式」『ガウス整数論』高瀬正仁訳、朝倉書店、1995年6月（原著1801年）。ISBN 4-254-11457-5。 - 歴史的文献。特に第365条を参照。
倉田令二朗（英語版）『ガウス円分方程式論』河合文化研究所、1988年11月。ISBN 4-87999-955-5。
高木貞治「§17．1のp乗根，特に17乗根」『初等整数論講義』（第2版）共立出版、1971年10月。ISBN 4-320-01001-9。
高木貞治「1．正十七角形のセンセーション」『近世数学史談』岩波書店〈岩波文庫〉、1995年8月。ISBN 4-00-339391-0。
高木貞治「1．正十七角形のセンセーション」『近世数学史談・数学雑談』（復刻版）共立出版、1996年12月。ISBN 4-320-01551-7。
G・H・ハーディ、E・M・ライト「§5.8　正17角形の作図」『数論入門』示野信一・矢神毅訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、2001年7月（原著1979年）。ISBN 4-431-70848-0。 ^{[リンク切れ]}

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