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わかった気にさせる本が悪いとは言わないが、自分はもっと厳密に分かりたいと思っていて、それで数学書を読むんだけど、こっちはこっちで「難しい議論をしている割に言葉足らず過ぎて分かりようがない」本になっているものが多すぎて、どないしろっちゅーねんって思いになる。
中学では十分証明問題になるような命題が、なんの説明もなくこれこれが成り立つ、だから～という調子でフォローなく証明が続けられるのを見てきた。
それが許されるのなら中学生は「～相似であることを証明せよ」という問題に対して「相似が成り立つからだ」とだけ書けば正解答案として成立してしまうことになる。
思うに証明にはいかにも証明らしい言い回しや言葉以外使ってはいけないかのような暗黙の了解もあるように感じる。
その割には術語を定義したときのその概念の説明には割と自由度を持たせている傾向が見られる。
その概念が関わる具体例を使って概念の目的を丁寧に説明していることも多い。
また証明といっても対角論法の証明は初めて見る人間へのそのとっつにくさがさすがに自覚されるのかなぜ証明が成り立つのか表なりを書いてイメージの力の存分に援用するもうちょっとカジュアルな内容になっていることがある例外もある。
しかしほとんどの場合そういった態度が証明(モード)では見られない。さらっと済まされてしまう。
計算問題では途中式の前後でも自由につまづきやすいポイントを解説した文章が挟まれたりするが、証明問題の解説は模範解答でもって代えていた記憶がある。
つまり模範解答の文章が難しく感じる人にとってはもうその解答を暗記するしかない。論語の丸暗記みたいなもの。
そのままテストとかで通用するようにそういうような解答になっているのだろうか。
数学書も論文として書いて格好悪くないものを、なんていう数学の本質ではないことに配慮して「真似るべきもの」としてそういうスタイルで証明を記述しているのではないかと思える。
であるなら、証明全体が一番目の文、二番目の文…というふうに出来ていたとして「(一番目の文)と書けるのはこれこれがこのような理由で成り立っているからです。しっくりこない人のためにこの理由をさらに掘り下げると～のようになっています。よって(数式)を証明の最初に書くことになります。次に～なのでこの式が二番目に来ることになります～」という解説ではダメなのだろうか？
またこの解説はそのまま証明の一つの形にもなってないのだろうか？
そもそも証明とは万人にその事実が成り立つことを理解できるような形で書かれたものを言う。
一部の人にとって意味も分からず丸暗記するしかないようなものはもはや証明の本来の目的を満たしていない。
オーソドックスな証明を構成する文の全てが含まれてさえいるなら、それの言わんとすることをさらにわかりやすく説明した肉付けの部分が加わった上記のような形の解説も証明の一つの形としていいのではないか。
それをしていいという感覚がないことが世の中の数学書の証明が言葉足らずになっている一因になっているのではないか。
もしそれが蛇足で証明全体の厳密性を損ねるというのなら、コメントアウトのような記法を使えばいいと思う。
//これの言わんとするところは～
とか、必要に応じて
式//<は～
みたいな書き方をするとか。二番目の例はサクラエディタで一文が続いているときに折り返しで便宜上改行されていることを示す記法を参考にした。
証明が長くなりすぎてその始まりと終わりが分からなくなるという懸念については既に証明の行頭のさらに横の余白に記号をつけて開始や終了を示すようにした数学書は存在するのでそれを他の数学書も参考にすればいい。
そもそも自然言語で書いている時点で完全な厳密性は諦めているわけなので、厳密だなんだと言うのはよりわかりよく書くことに対する言い訳にはならないと思う。
かといって従来の証明の構成要素を押さえた書き方なのであれば、それは一般書籍にあるような「わかったつもりにさせる文章」というのとも一線を画す。
数学の証明を完全に厳密に書こうとするとブルバキの数学原論やラッセルのプリンピキアマセマティカみたいになってしまい、後者は数学者には読む価値の無い本とされているし、前者にしても30年以上かけて刊行し続けて今だ数学の興味ある話題には到達できていないということになっているということから、数学書は省略するということが好まれるらしい。
でも既に数学基礎論レベルの厳密さを求めてはいない一般的な数学書の証明レベルの厳密さにわかるやすさという要素を足し合わせたところで、原論並みに極端に嵩が増すということにはならないと思う。
自分で考えないとその概念とかが身につかないから省略しているという反論に対しては、逐一圧倒的な量の具体例を持ち出すことで十分に補えるのではないかと思える(それでもメリハリをつければ原論ほどのボリュームにはならない)。
数学書は本当にチンプンカンプンな状態の本も多いので、考える力を身に着けさせるとか以前に、もっと理解できるような教えを工夫することに焦点を当てるべき。
考える力だろうがなんだろうが、そもそも書いてあることがわかんないってような構成の本ではしょうがないと思う。
コストがかかる割に日本語というローカライズされた市場で本が少しでも分厚くなるようなことはコストが回収できなくなるから避けたいという考えもあるのだろうが、それこそよほどの天才じゃなければはっきり言語化しないだけで私のような考えをしたことがある人はむしろ大半を占めていると思うし、比較的私の考えと同じ考えを持っていそうな裳華房の手を動かして学ぶシリーズがその出版社内のランキング上位を占めていた。
言葉足らずな数学書がまだまだ多い状況ではむしろどこぞのwebデザインの本のように何万部と売れるチャンスがごろごろ転がっているんじゃないかな。
わかりやすい解説が証明の一つの形として通用するようになれば、中高での試験答案においても純粋数学の論文でもそういう文章を証明として書いていいことになるのだから、参考書や数学書の証明部分も丸暗記するしかないようなわかりにくいものではなくなると思う。
https://id.fnshr.info/2017/12/10/polite-proof/
というジョーク記事があるけど、挨拶から書くとかは全く数学的な主張の分かりやすさにはつながらないから意味がないとしても(とはいえ親しみやすさもわかりやすさにつながることを完全否定もできないんだけど)根っこの部分ではもしかすると書き手は私と同じ問題意識を持っていたのではないかと感じさせる。
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