リクエストに答えてセンター試験の数学1Aじゃなくて数学1の方の解説しますわ。
数学1は初めてやけど、結構面白いもんやな。
センター試験数学1Aの2010年度題4問の数と式の問題の解説
[問題]
m,nを自然数とし、1＜m＜nとする。
α=√m-√(m-1),β=√n-√(n-1)
とおく。さらに
S=αβ+α/β+β/α+1/(αβ)
とおく。
(1)m=3,n=6のとき
α+1/α=[ア]√[イ],β+1/β=[ウ]√[エ]
であり、S=[オカ]√[キ]である。
(2)S=8√3ならば,mn=[クケ]である。このとき
m=[コ],n=[サ]
または
m=[シ],n=[ス]
である。ただし、[コ]＜[シ]とする。
(3)等式
α^2β^2+α^2/β^2+β^2/α^2+1/α^2β^2=500
が成り立つのは、m=[セ],n=[ソタ]のときである。
[解答と解説]
(1)まずは普通に分母を有理化して計算してみ
α+1/α=√3-√2+1/(√3-√2)
=√3-√2+(√3+√2)/(3-2)
=2√3
β+1/β=√6-√5+1/(√6-√5)
=√6-√5+(√6+√5)/(6-5)
=2√6
α+1/αとβ+1/βを求めさせておいて、Sを計算させるってことはSはこういう形にたぶんなるんやろな。
因数分解の基本として次数の低い文字で整理してみるってことやけど、αもβも次数は同じやからαで整理してみると
S=(β+1/β)α+(β+1/β)1/α
=(β+1/β)(α+1/α)
これで
S=(2√3)(2√6)
=12√2
(2)これ(1)からα+1/α=2√m,β+1/β=2√nなんちゃうかって思うやんな。
思わんかったら、まあ提灯振り回して廊下を歩いて下さいって感じやねんけど。
実際にα+1/α=√m-√(m-1)+1/(√m-√(m-1))
=√m-√(m-1)+(√m+√(m-1))/(m-(m-1))
=2√m
β+1/β=2√n
それでS=(α+1/α)(β+1/β)やったから
8√3=(2√m)(2√n)
⇔
2√3=√(mn)
⇔
mn=12
12の約数は{1,2,3,4,6,12}で1＜m＜nやから
(m,n)=(2,6),(3,4)の場合だけです。
だから(1)の解き方をヒントにしていくのがコツやねんな。
後はmn=12とか言う式の場合、mとnが整数なら12の約数しか入らないから取り合る値は限られてくるねんな。
そういう整数問題の解き方を覚えておいてください、
(3)
α^2β^2+α^2/β^2+β^2/α^2+1/α^2β^2=500
の左辺の式は
αβ+α/β+β/α+1/αβ
に似てるから、とりあえず同じような因数分解すると
(α^2+1/α^2)(β^2+1/β^2)=500
それでこれにα=√m-√(m-1)とか代入していってもええねんけど、もう少し前の結果が使えて
α^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2
β^2+1/β^2=(β+1/β)^2-2
だから
α^2+1/α^2=(2√m)^2-2=2(2m-1)
β^2+1/β-2=(2√n)^2-2=2(2n-1)
こうやってαと1/αの積は1だからそれを使って
α^2+1/α^2=(α+1/α)^2-2
みたいな変形はよくやります。
これで
(α^2+1/α^2)(β^2+1/β^2)=500
⇔
2(2m-1)2(2n-1)=500
⇔
(2m-1)(2n-1)=125
125の約数は{1,5,25,125}の4つだけで1＜m＜nより1＜2m-1＜2n-1だから
(2m-1,2n-1)=(5,25)⇔(m,n)(3,13)しかあり得ないことになります。
数学1も新鮮でええな。
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