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京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。

階差数列やΣ計算
一般的に階差数列
bn=an+1-anは

Σ(k=1～n)bk
=Σ(k=1～n)ak+1-ak
=a2-a1+a3-a2+a4-a3…an+1-an
=-a1+(a2-a2)+(a3-a3)…(an-an)+an+1
=an+1-a1

階差数列はこの
Σ(k=1～n)bk=an+1-a1
と言う関係式がポイントです。
n≧2の時
Σ(k=1～n-1)bk=an-a1
だから
an=Σ(k=1～n-1)bk-a1

例えば初項b、公比rとしてbn=br^(n-1)の等比数列の場合など
an=a1+Σ(k=1～n-1)bk
=a1+Σ(k=1～n-1)br^(k-1)=a1+b(1-r^n)/(1-r)
と計算できます。

Σ(k=1～n)bk=an+1-a1
の関係は当たり前のようでかなり重要で
さらに例えばan=n^2の時は
(n+1)^2-n^2=2n+1
から
Σ(k=1～n)(2k+1)=an+1-a1=(n+1)^2-1
だから
Σ(k=1～n)k=1/2{(n+1)^2-1-n}
=1/2n(n+1)
ってΣの計算も導かれます

もう一個さらに
Σ(k=1～n)bk=an+1-a1
の関係を使えば
1/n(n+1)=-1/(n+1)+1/n
bn=1/n(n+1)
an=-1/n
と考えると
Σ(k=1～n)1/k(k+1)=an+1-a1
=1-1/(n+1)
と足せなさそうなものまで足せます。

この分数の足し算は例えば、1+1/2+1/4+1/9+…+1/n^2+…
と無限に足しつづけると、どこまでも大きくなるのか？
それともある値を越えないのか？考えると
n-1＜nより
n(n-1)＜n^2
で逆数をとって
1/n^2＜1/n(n-1)だから
1+Σ(k=2～n)1/k^2＜1+Σ(k=2～n)1/k(k-1)=1+1-1/(n+1)＜2
でいくら足しても2未満とわかります


ちなみにこの値は
Σ(1～∞)1/n^2=π^2/6です
求め方は、大学でということで

高校数学の公式や問題の解説

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