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孤独の７の答え 問題 解答 まずすぐにわかるのは、Ｃ＝０であることと、ＫＬ＝１０、Ｐ＝９であることです。 次に、Ｂに除数をかけた Ｐ□□ が、９□□ であることに注目します。 ７に除数をかけた ＧＨＪ も３桁であるのですが、もし、Ｂが７以下であれば、 Ｇ＝９となり、その下のＫが０になってしまいます。 したがって、Ｂは８か９なのですが、ＡやＤは、除数をかけて４桁になっているので、 Ｂ＝８，Ａ＝Ｄ＝９ とわかります。 ここで商は９７８０９とわかります。 ８に除数をかけて ９□□ となるような除数は、１１３～１２４の範囲の数です。 次に、ＢＣＤ×（除数）がＫＬＭＮＥＦ と６桁になっていることに注目します ＢＣＤ（＝８０９）にかけて６桁になるような数は、１１３～１２４の範囲では１２４だけです。 よって、除数は１２４、被除数は、１２４×９７８０９＝１２１２８３１６　と決まります。 「算数・数学」の部

角の２等分線の定理 定理 △ＡＢＣにおいて、∠Ａの２等分線とＢＣの交点をＤとするとき ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ が成り立つ。 証明 点Ｃを通り、ＡＢに平行な直線と、ＡＤの交点をＥとします。 このとき、 ∠ＢＡＥ＝∠ＣＥＡ　（錯角） より、 ∠ＣＥＡ＝∠ＣＡＥ（＝∠ＢＡＥ） となり、△ＡＣＥは、ＡＣ＝ＣＥ の二等辺三角形となります。 一方、△ＡＢＤと△ＥＣＤが相似であることより ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＣＥ よって、ＡＣ＝ＣＥ より、 ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ が成り立ちます。 算数・数学の部屋に戻る

漸化式と特性方程式に関する考察 疑問 なぜ、特性方程式で、漸化式が解けるのか？ ＜隣接２項漸化式＞ 特性方程式 漸化式　ａn+1＝ｂａn＋ｃ　に対して、ｘ＝ｂｘ＋ｃ を特性方程式という。 解説 もとの漸化式が ａn+1－α＝ｂ（ａn－α） の形になれば、ａn－α が等比数列になるので、まず、この形にすることを 目指す。上式のカッコをはずして、 ａn+1＝ｂａn－ｂα＋α 係数を比較して、 ｃ＝－ｂα＋α α＝ｂα＋ｃ となり、αは方程式　ｘ＝ｂｘ＋ｃ　の解となる。 つまり、特性方程式の解を、もとの漸化式の両辺から引くと、等比数列を 導ける。 ＜隣接３項漸化式＞ 特性方程式 漸化式　ａn+2＝ｂａn+1＋ｃａn　に対して、ｘ2＝ｂｘ＋ｃ を特性方程式という。 解説 もとの漸化式を ａn+2－αａn+1＝β（ａn+1－αａn） の形にすることを考えます。カッコをはずして、 ａn+2＝（α＋β）

弧度法の基礎 通常、直角を 90°と言ったり、三角形の内角の和は 180°であると 言ったりする場合の角度の単位 (°) は、一周を 360°として決められた ものです。 360 という数は、約数が多いとか、１年365日に近いので、天体や暦に便利とか それなりの長所はありました。 一方、それとは別の角度の単位(rad:ラジアン)というものが定義されました。 半径 ｒ の円から、弧の長さが半径と同じ ｒ になる扇形を考えます。 このときの中心角を １rad(ラジアン)と決めます。（日本語では１弧度といいます） すると、半円の弧の長さはπｒ ですから、このときの弧の長さは１rad のときの π倍になっています。中心角と弧の長さは比例しますから、ここで、 180°＝π rad という関係があることが分かります。 ちなみに、１rad は約 57.295…° ですが、このことはさして重要でなく、 1

点と平面との距離の公式 公式 空間上の点(x0, y0, z0) から、平面 ax+by+cz+d=0 までの距離は |ax0+by0+cz0+d|/√(a2+b2+c2) で表される。 解説 点Ａ(x0, y0, z0) を通り、平面 ax+by+cz+d=0 に垂直な直線の式は、 ｔ を実数の媒介変数として、 x=at+x0, y=bt+y0, z=ct+z0　・・・　(1) と表される。これと、平面 ax+by+cz+d=0　・・・　(2) との交点Ｂは、(2) に (1) を代入して、 a(at+x0)+b(bt+y0)+c(ct+z0)+d=0 展開して、整理すると、 (a2+b2+c2)t+ax0+by0+cz0+d=0 a2+b2+c2＞0 (平面の法線ベクトルの大きさ故) より、 t=-(ax0+by0+cz0+d)/(a2+b2+c2) これを、t0 とすると、直線(1)

順列と組合せ 順列 （例題） Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ の５枚のカードから３枚取り出し、横１列に並べます。 並べ方は何通りあるでしょうか？ （例題答え） １枚目に並べるカードの選び方は、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ の５通りあります。 そのそれぞれについて、２枚目に並べるカードの選び方は、１枚目に選ばなかった 残りの４枚のカードの数だけあるので、４通りあります。 よって、１枚目、２枚目までの並べ方は、 ５×４＝２０（通り） あります。さらに、そのそれぞれの並べ方について、３枚目に並べるカードの選び方は １枚目、２枚目で選ばなかった残りの３枚のカードの数だけあるので、３通りあります。 よって、３枚を取り出し並べるときの並べ方は、 ５×４×３＝６０（通り） 答え　６０通り 一般にｎ個の区別できるものの中から、ｒ個を取り出して１列に並べることを ｎ個のものからｒ個とった順列 といい、その並べ方を　nＰr　で表し

ｍを実数とする。Ｏを原点とする座標平面上で、放物線ｙ＝ｘ2 とその曲線上にある２点 Ａ（ａ，ｍａ＋１）、Ｂ（ｂ，ｍｂ＋１）　（ａ＜０＜ｂ） を考える。 (1)　２点Ａ，Ｂのｘ座標ａ，ｂは、ｍを用いて ａ＝(ｍ－√Ｄ)／[Ａ]、　ｂ＝(ｍ＋√Ｄ)／[Ｂ] と表される。ここで、Ｄの式は Ｄ＝ｍ2＋［Ｃ］ である。 (2)　線分ＡＢとｙ軸の交点の座標を（０，ｃ）とおくと、ｃ＝［Ｄ］である。 (3)　さらに、３点Ｏ，Ａ，Ｂを頂点とする三角形ＯＡＢの面積Ｓをａ，ｂを用いて表すと、 Ｓ＝(1/2)［Ｅ］ である。 ただし、［Ｅ］には、次の(0)～(5)の中から適切なものを選びなさい。 (0)a+b　(1)a-b　(2)b-a　(3)a2+b2　(4)a2-b2　(5)b2-a2 また、ｍを用いてＳを表すと Ｓ＝(［Ｆ］／［Ｇ］)√(ｍ2＋［Ｈ］) であるから、Ｓが最小となるのは、ｍ＝［Ｉ］のときであり