なんばさんの記事を読んで、話の本筋とは関係ないのだけど、興味を引かれたことがあったので書いておきます。 Aさんがpと主張した。 pは正しいだろう、だってAさんが言ったことだもの。 Bさんがqと主張した。 qは正しくないだろう、だってBさんが言ったことだもの。 と、以上のような判断は論理的かどうか？ って話ね。「非論理的に決まってるじゃん」 -- そうなのかな？ 内容： モーダスポネンス 命題とメタ命題 発言者で修飾された命題 Aさんが言うのだから正しい 「『Aさんが言うのだから正しい』は論理的にまったく正しくない」は正しくない モーダスポネンス 3,4歳の子が「木が葉をゆらすから、風がふくのね」と言った； そんな話を聞いて「なんて可愛らしいだろう」と思いますよね。それと同時に、人間の観測と抽象（法則抽出）能力はたいしたもんだな、とも思います。因果関係は逆転してます*1が、「木が葉をゆらす」

グリーンとアルテンキルヒ（Alexander S. Green, Thorsten Altenkirch）の「可逆計算から不可逆計算へ（From reversible to irreversible computation）」という10ページの短い論文があります。タイトルのとおり、可逆計算から不可逆計算が出るよ、ってハナシがこの論文の眼目なんですが、可逆計算の部分（前半）が面白かったので紹介します。 何が面白いかというと、可逆計算だと古典計算も量子計算も差がないのですよ。同じ定式化を許します。古典計算において可逆計算に慣れておくことは量子計算へのよい準備になると思います。とか言っても、今回は難しい話は全部すっ飛ばして、JavaScriptの関数をいくつか書いてみるだけですがね。 このエントリーを書こうとしてJavaScriptでミスを犯した顛末は「JavaScriptでハマった件：さすがに

「バエズとステイのロゼッタストーン論文と現代のヒエログリフ」で紹介したロゼッタストーン論文では、絵図・絵算（pictorial calculation）が使われています。それほど変わった描き方ではないのですが、留め金（clasp）という小物が面白いので紹介しておきます。 内容： 要約・モノイド閉圏 オダンゴ図 指数と留め金 左指数、右指数、池袋 要約・モノイド閉圏 非常におおざっぱに、モノイド閉圏のおさらいをしておきます。 通常のモノイドとよく似た積（monoidal product）を持つ圏がモノイド圏（monoidal category）です。デカルト積（cartesian product）、つまり直積を持つ圏はモノイド圏の例です（「デカルト圏入門」を参照）。集合圏Setはデカルト圏の例であり、もちろんモノイド圏の例でもあります。 モノイド積（デカルト積とは限らない）を「×」で表すとし

Temperley-Lieb Algebraの行列表現と対消滅と対生成が閉じ込められた素過程について。 - hiroki_fの日記： hiro> Temperley-Lieb algebraが行列で表現できない 檜山> いや、できるでしょ、がんばれば。僕はできないけど。 hiro> やはり無理だと考える。 あきらめちゃうの？ ジョニー。 点の数は次元じゃないってば どうも暗黙に、点の数をベクトル空間の次元と仮定してるみたいですが、そんな条件は付けてませんよ。そんなこともあるので、「3点」を「3次元」なんて呼ぶのはやめよう、って言ってるわけ。いらぬ誤解やつまらない先入観が生じますからね。 n = 3 のケースで、ベクトル空間の次元は8、行列は8×8の64成分なら、割と自然(?)な表現が構成できますよ。もとの図がたいして情報を持たないので、64成分もあってもスカスカ（大部分は0）だけど。 こん

id:hiroki_fさんが、気合いで書いた解説があるので、予備知識の説明はそちらをどうぞ。僕は、もっと泥臭い計算（elementary combinatorial calculation）のところを。 内容： 具体例 生成元と関係 掛け算九九、いや掛け算五五 テンパリー／リーブ電卓 2,3のコメント ●具体例 テンパリー／リーブ代数（Temperley-Lieb Algebra）は、係数環Rと、ループが生じたときの乗数τ（τ∈R）、それと点（釘）の数nで決まります。アブラムスキーのテキストでは、nを次元（dimension）と呼んでますが、誤解のもとのような気がするので、n次元テンパリー／リーブ代数じゃなくて、n点テンパリー／リーブ代数と呼ぶことにします。一番単純でしかし自明ではない例は n = 3 です。以下、n = 3、つまり3点テンパリー／リーブ代数だけ扱います。 ジョーンズ多項式

「可逆計算が面白いから、JavaScriptで書いてみた」とか言ってみたわけですが、どこが面白いのでしょう。まー、面白いってのは個人的な感覚だから説明しにくいのですが、オシャベリとしてなにやら書いてみます。 僕は、環境問題やエネルギー問題の知識はろくにないし、「熱心なエコロジスト」なんてことはまったくありません。が、やっぱりリソース（資源）とかエネルギーは気になる、なんとなく。 僕がよく使う機械といえばコンピュータ。クーラーや冷蔵庫だけじゃなくて、コンピュータだって電気使って熱を吐き出します。なんか後ろめたい。現実のこの機械のことじゃなくて原理的なハナシでも、計算するとリソースとエネルギーを使うらしいです。計算つっても、結局は物理過程だから外部環境を汚してしまうんですよね。 ランダウアー（Landauer）の原理によると、情報を消去すると必然的に外部環境のエントロピーを上げてしまうそうです

id:hiroki_fさん（a.k.a. ジョニー）が統計力学と熱力学について、本質的かつ難しいことを語ろうとしてますが、ついて行けそうにないので、非本質的かつやさしい議論をします。 物理的な背景やらメカニズムを理解するのは最初からあきらめ、簡単な例について、なんらかの量を計算できればそれでいい、という方針。ジョニー＠居酒屋・天狗に教わったことの（おそらくは曲解しての）復習ですね。 内容： 模型（モデル）の構成 状態とエネルギー 状態の実現確率 イジング模型とポッツ模型 分配関数と結び目 模型（モデル）の構成 磁石（または類似の現象）の話に限ることにして、模型を作るには次の構成要素を決定します。 物体が存在する空間 物体の形状 物体上に分布する量 物体の状態という概念 エネルギーの求め方 エネルギーを確率変数とみなしての確率分布 まず、物体が存在する空間は1次元だとします。物体は直線内にあ

量子計算や可逆計算って、なんか面白そうだと思っているのですが、あんまり先に進めないでいます。とりあえず線形代数の復習でもしよう、と、紙ナプキンで計算とかはじめました。 それでいまさら気がついたのですが、線形代数（「線型」を使う場合もあり）って、いくつかの流儀があるんですよね。もちろん、おおすじにおいては同じなんだけど、細かい差異がある。この差で混乱したり、理解が阻害されそう。線形代数の難所（つまずきの石）になりかねませんね。 特に、双対空間の扱いは、定式化に「ものの見方」が反映されるので、流儀によりだいぶ違った印象があります。このへんの違いは、抽象的に見てるとあまり鮮明じゃないのですが、なんかのプログラミング言語で線形計算ライブラリを作ろうと思うとハッキリ認識できます。僕の場合、具体的なプログラミング言語じゃなくて（インフォーマルな）ラムダ計算で線形手計算しようと思ったんですが、やり方が何

一時Makefileに凝っていました。Makefileの記述構文のなかに、「Lispに似た小さな関数型言語が埋め込まれているんだ」とか言ってましたよね。あれはまー、遊び半分なんだけど、このテの知識は、実際にMakefileを読み書きするときにも役にたちます。 過去のMakefile関係エントリーを読み返そうと思ったら、けっこう量があるし、紆余曲折があるんで、ここに整理してまとめておこうと思います。 内容： 参考資料 概念と用語 データ型 変数 関数 制御構造 画面出力と強制終了 ●参考資料 Makefileに関しては、次のエントリー群でゴタゴタと説明しています。 Makefileの書き方、その勘どころ Makefileの書き方：プログラミング言語Make プログラミング言語Make 補遺：引数付きの関数 Make 補遺の補遺：遊んでいるだけ Make言語で算術演算 <-- バカ！ もっとも

ラムダ計算は、計算モデルとしてだけでなく、手計算の実際的手段としても役立ちます。しかし、通常使われる各種変換（アルファ、ベータ、イータ、デルタ）ではうまく計算が進まないときがあります。例えば、gがfの逆関数のとき、f(g(y)) は y に簡約されるのだけど、f(g(y)) ⇒ y って簡約規則は通常のラムダ計算ではうまく定式化できません（いや、できるかもしれませんが、僕にはうまい方法が思いつきません）。 そこで、ラムダ計算に加えてイプシロン計算も使うとよさそうです。でも、イプシロン計算は、ラムダ計算ほどにポピュラーではないですね。簡単な例でイプシロン計算を紹介しましょう。 内容： イプシロン記号とイプシロン項 イプシロン項の意味 イプシロン項が定義する関数 例題：gがfの断面（セクション）であること イプシロン記号とイプシロン項 負の数-1とか、無理数√2とかを導入するとき、次のような定

「線形代数の難所とアダムとイブと矢印一元論」でベクトル空間の双対の話をして、「イプシロン計算ってなんですかぁ？ こんなもんですよぉ」でイプシロン計算を紹介しました。せっかくだから、例題をやっておこうかな。 内容： 前提と例題の説明 双対写像 ベクトルとコベクトルの対応 随伴写像 計算例 雑感 前提と例題の説明 ベクトル空間は常に有限次元、双対空間U*の定義は、多数派に従って「U上の線形形式の空間」としておきます。つまり、U* = Lin(U, K)（Kはスカラー体、Linは線形写像全体の空間を示す）。 ベクトル空間Uと双線形形式φ:U×U→Kを一緒にしたもの(U, φ)を考えます。ただし、φは次の非退化性を持つとします。 ∀y∈U.(φ(x, y) = 0) ならば、x = 0。 φは内積みたいなもんだから φ(x, y) = (x|y) と書きましょう。ただし、上の非退化性条件以外は一切

別にシリーズにはしないけど、線形代数の計算例をチマチマと出そうかな、っと。だいたいは、コーヒー飲みながら紙ナプキンに書いたことの引き写し。 内容： 二重の双対空間 二重の双対空間ともとの空間との同型 自然変換Θ Θの自然性を確認する おまけ：ストーンやゲルファンドの双対性 二重の双対空間 例によって、有限次元ベクトル空間だけ（だって、無限次元はむずかしいもん）。U* = Lin(U, K) （Kはスカラー体、Linは線形写像全体の空間を示す）。Uのn個のベクトルx1, ..., xnが基底であるとき、U*のn個のコベクトルf1, ..., fnを次のように決めます。 fi(xj) = δi,j （右辺はクロネッカー・デルタ） f1, ..., fnはU*の基底（もとの基底の双対基底）になるので、UとU*は同次元、したがって同型だとわかります。しかし、UとU*は標準的（canonical）に

昨日のエントリーより： 別にシリーズにはしないけど、線形代数の計算例をチマチマと出そうかな、っと。 いかにも敬遠されそうなネタだよね。でもかまわんのだ。今日も書くよ、っと。 φがU上の双線形形式のとき、次の条件が非退化性（nondegenerateness）でした。 ∀y∈U.(φ(x, y) = 0) ならば x = 0 これは、Φ = λx.λy.φ(x, y) と置けば次と同値です。 Φ:U→U* が単射 左右を入れ替えて、Ψ = λy.λx.φ(x, y) としたときに、Ψははたして単射か？ という疑問が湧きます。結論を言えば、Φが単射ならΨも単射です（ただし、有限次元のとき）。いろいろな証明がありそうですが、「Φを使ってΨを陽に書く」ことができるので、その公式を紹介します。 Φ:U→U* の双対 Φ*:U**→U* を計算してみます。ξ∈U**とすると、双対の定義から、y∈Uに対

ヒルベルト空間Hに対して、双対空間（dual space）と共役空間（conjuagete space）という概念があります。Hの双対空間も共役空間も H* という記号で書かれることが多いので、僕は昨日まで同じものだと思い込んでいました。実際、同義語として扱う流儀もあるのですが、どうも別物と考えたほうがよさそうです。別物だとしても、双対空間と共役空間のあいだに標準的な同型があるので、同一視しても問題はありません。が、区別しないと「同型である」という主張に意味がなくなります。 線形写像と反線形写像 複素数tに対してt-は複素共役だとします。複素数tによるベクトルxのスカラー倍はxtと記します。関数の記述にインフォーマルなラムダ記法とイプシロン記法を使います。 さて一般に、UとWが複素ベクトル空間のとき、足し算を足し算に移す写像 f:U→W が f(xt) = f(x)t であるとき線形と呼び

「モノイド閉圏、オダンゴ、留め金、池袋」において、対称性を仮定しない閉圏におけるカリー化の話をしました。そのとき： 左指数が右肩指数で、右指数が左肩指数ってことになります。なんて紛らわしいんだ！ でも前例はあります。池袋駅、東口に西武線、西口に東武線です。 と嘆＜なげ＞いたのですが、定義を変更すれば右と左のツジツマがあうみたいです。 (A --o B) = BA と定義したのが良くない、(B o-- A) = BA とすれば良かったのですよ。絵で描くと： ^fがfの左カリー化、f^がfの右カリー化です。^fは左のワイヤー（A）を曲げているし、f^では右のワイヤー（B）を曲げています。さらに、左指数 A(-)は、左からの掛け算 A×(-) の随伴； 右指数 (-)Bは、右からの掛け算 (-)×Bの随伴； となるので具合がいいですね。デカルト閉圏などの対称モノイド閉圏では、右カリー化と右指数だ

「非対称閉圏のカリー化：記号法を工夫すれば、右と左の混乱も解消」に入れた絵は、個人的にはとても気に入っているのですけど、誰も注目しそうにないな。以下、自己満足のために書きます。 射の方向は上から下だとして、左カリーだと左のワイヤーが曲がるのですけど、^fとか∩f と書くと、絵そのまんまじゃないですかぁ。伝統的にf^って記号があるので、これを右カリーとすればバッチリ整合するし。 指数に関しても、矢印の根本が上に上がると思うと (A --o B) = (A→C) = A→C = AC、(C o-- A) = (C←A) = C←A = CA となって分かりやすいでしょ。 左からの掛け算の随伴が左指数 右からの掛け算の随伴が右指数 と、池袋現象が解消されているのも、うれしい。 アブラムスキーが「平面的量子計算とか平面的ラムダ計算ってどうよ？」て言っていたけど、平面的計算は（平面から絶対に出ない制

「あーあ、こりゃダメだわ、郡司ペギオ-幸夫さん」のコメント欄： bonotakeさん： 恐らく、郡司さんは既成概念に囚われない斬新な着想・洞察をする事に長けていて、なので随想家・思想家としては光るものをお持ちなんだと思います。 m-hiyama： 独特の直観と方法による思想家なんでしょうね。デタラメなことを平気で書いてますが、ある種の天才なのかな、という感じも抱きました。ただ、悪影響／弊害も大きいので、大部分の凡人はマに受けない方がいいと警告はしたいです。 伝達のための表現や記述、そして論理に関して、郡司さんは通常のルールをまったく守ってないですからね。それゆえ斬新に見えて、あのスタイルをかっこいいと思う青少年は多そうだなぁー。「よい子は真似しないように」。 この「よい子は真似しないように」を少し敷衍＜ふえん＞しておきます。 『現代思想』1999-4内の圏論に関するメチャクチャ*1な記述を

いずれ、もっと詳しく書くつもりだけど、まーともかく、ざっと紹介しますね。説明が不十分かもしんないけど（ごめんなさい）。[追記]詳しく説明しました。[/追記] 二分木を考えます。空な木は認めない。けど、ルートノードだけの木は認めます。ノードにも辺にもラベルは付いてません。形状だけが問題。ノード数が1から７までの例を描けば次のようですね。 いま、なんでもいいから7本の二分木があったとして、例えば次のような“テンプレート”（番号が付いた白丸のところがプレースホルダ）に当てはめると、1本の二分木ができます。 テンプレートは何種類でも用意してよくて、テンプレート内のプレースホルダを埋めるのに与えられた7本の木全部を使う必要もないとします。例えば、テンプレート内のプレースホルダが1個だけでも0個（単なる二分木）でもいいわけ。 7本の二分木（二分木からなる長さ7のタプル [t1, t2, t3, t4,

昨晩某所で、id:bonotakeさんとid:ku-ma-meさんにお会いしたのですが、ku-ma-meさんがbonotakeさんのアドバイス（そそのかし）により、Seven Treesパズルを解かれたようです（http://d.hatena.ne.jp/ku-ma-me/20081023/p1 参照）。すごいなー。 「これは難しいパズルだ、取り急ぎ紹介」だけでは、問題が理解しにくいところがあるので、もう少し正確な記述をします（「取り急ぎ紹介」のコメント欄も全部読むと、けっこうハッキリしますがね）。ルールを正確に記述すると、必然的にヒントを与えることになりますが、そもそもノーヒントでは難しすぎる問題なので、順次ヒントを追加していく予定です。 解答例は、解けた人が（少なくともku-ma-meさんが）公表するだろうと思いますが、“他の人のお楽しみ”のため、1,2週間くらい期間を空けたらいいんじ