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フラクタルの語源は 「ラテン語の動詞frangereは『壊れる』、すなわち不規則な断片ができるという意味」 なのだそうです。 >> http://www.biwa.ne.jp/~k-tochi/siryou/siryofra.html それでは、実際にものを壊したときの破片は、どのような大きさに散らばるのでしょうか。 岩石に衝撃を与えて破壊するとその破片の大きさの分布はベキ分布になることが知られています。 ガラスのコップを硬い床に落として割った時にできる破片も同じです。 大きな破片はほんの数個で、中くらいの破片はかなりの数になり、小さな破片は無数にあります。 -- 経済物理学の発見(光文社新書)より. 試しにやってみようと思ったのですが、岩石を割るのはたいへんだし、ガラスのコップを割るのはもったいない。 簡単に割れるものを探してみたところ、戸棚の中にビスケットがありました。 小袋の中に入っ

かつてのMac OS9までの描画エンジンの主役はQuickDrawが担っていた。GUIなOSでは、文字も含めてすべてをグラフィックとして扱うので、画面に見えているすべてのもの*1はQuickDrawによって描かれていたことになる。描画エンジンは、GUIなOS開発の要となる技術である。その出来が、GUIなOS開発の成否を分けるとも言える。 そして、最初期のQuickDrawは、ビル・アトキンソンがたった一人で開発したそうである。 当時（25年以上前）のCPUは、動作クロックが8MHzという性能だった。（現在は2GHz=2000MHzかつ、複数コアが当たり前） そのような性能であっても、違和感なくマウスで操作できるOS環境にするために、斬新な発想や試行錯誤を重ね、相当な努力の末に開発されたのがLisaやMacintoshであった。 Amazon.co.jp： レボリューション・イン・ザ・バレー

もっちりと詰まった食感が特徴のベーグル。欧米では単に焼いて食べたり、サンドイッチにしたりとメジャーなパンですが、数学好きが位相幾何学を利用してベーグルをカットするとこのようになる、という見本です。 詳細は以下。 Mathematically Correct Breakfast -- Mobius Sliced Linked Bagel これはニューヨーク州立大学のコンピューターサイエンス学科の教授、ジョージ・ハート氏が公開しているもの。授業の一環として学生にやらせてみたところ、大変好評だったとのことです。 X軸上で最もZ座標が大きくなる点をA、小さくなる点をC。Y軸上かつベーグル上でY座標がもっとも原点と近くなる点をB、Bの反対側かつ遠くなる点をDとします。 それぞれの点を用いて補助線を引きましょう。 ABCDの各点を通ってぐるっと一周する線を描きます。 赤の線は黒の線をZ軸で180度回転

グリーンとアルテンキルヒ（Alexander S. Green, Thorsten Altenkirch）の「可逆計算から不可逆計算へ（From reversible to irreversible computation）」という10ページの短い論文があります。タイトルのとおり、可逆計算から不可逆計算が出るよ、ってハナシがこの論文の眼目なんですが、可逆計算の部分（前半）が面白かったので紹介します。 何が面白いかというと、可逆計算だと古典計算も量子計算も差がないのですよ。同じ定式化を許します。古典計算において可逆計算に慣れておくことは量子計算へのよい準備になると思います。とか言っても、今回は難しい話は全部すっ飛ばして、JavaScriptの関数をいくつか書いてみるだけですがね。 このエントリーを書こうとしてJavaScriptでミスを犯した顛末は「JavaScriptでハマった件：さすがに

「可逆計算が面白いから、JavaScriptで書いてみた」とか言ってみたわけですが、どこが面白いのでしょう。まー、面白いってのは個人的な感覚だから説明しにくいのですが、オシャベリとしてなにやら書いてみます。 僕は、環境問題やエネルギー問題の知識はろくにないし、「熱心なエコロジスト」なんてことはまったくありません。が、やっぱりリソース（資源）とかエネルギーは気になる、なんとなく。 僕がよく使う機械といえばコンピュータ。クーラーや冷蔵庫だけじゃなくて、コンピュータだって電気使って熱を吐き出します。なんか後ろめたい。現実のこの機械のことじゃなくて原理的なハナシでも、計算するとリソースとエネルギーを使うらしいです。計算つっても、結局は物理過程だから外部環境を汚してしまうんですよね。 ランダウアー（Landauer）の原理によると、情報を消去すると必然的に外部環境のエントロピーを上げてしまうそうです

量子計算や可逆計算って、なんか面白そうだと思っているのですが、あんまり先に進めないでいます。とりあえず線形代数の復習でもしよう、と、紙ナプキンで計算とかはじめました。 それでいまさら気がついたのですが、線形代数（「線型」を使う場合もあり）って、いくつかの流儀があるんですよね。もちろん、おおすじにおいては同じなんだけど、細かい差異がある。この差で混乱したり、理解が阻害されそう。線形代数の難所（つまずきの石）になりかねませんね。 特に、双対空間の扱いは、定式化に「ものの見方」が反映されるので、流儀によりだいぶ違った印象があります。このへんの違いは、抽象的に見てるとあまり鮮明じゃないのですが、なんかのプログラミング言語で線形計算ライブラリを作ろうと思うとハッキリ認識できます。僕の場合、具体的なプログラミング言語じゃなくて（インフォーマルな）ラムダ計算で線形手計算しようと思ったんですが、やり方が何

ラムダ計算は、計算モデルとしてだけでなく、手計算の実際的手段としても役立ちます。しかし、通常使われる各種変換（アルファ、ベータ、イータ、デルタ）ではうまく計算が進まないときがあります。例えば、gがfの逆関数のとき、f(g(y)) は y に簡約されるのだけど、f(g(y)) ⇒ y って簡約規則は通常のラムダ計算ではうまく定式化できません（いや、できるかもしれませんが、僕にはうまい方法が思いつきません）。 そこで、ラムダ計算に加えてイプシロン計算も使うとよさそうです。でも、イプシロン計算は、ラムダ計算ほどにポピュラーではないですね。簡単な例でイプシロン計算を紹介しましょう。 内容： イプシロン記号とイプシロン項 イプシロン項の意味 イプシロン項が定義する関数 例題：gがfの断面（セクション）であること イプシロン記号とイプシロン項 負の数-1とか、無理数√2とかを導入するとき、次のような定

「線形代数の難所とアダムとイブと矢印一元論」でベクトル空間の双対の話をして、「イプシロン計算ってなんですかぁ？ こんなもんですよぉ」でイプシロン計算を紹介しました。せっかくだから、例題をやっておこうかな。 内容： 前提と例題の説明 双対写像 ベクトルとコベクトルの対応 随伴写像 計算例 雑感 前提と例題の説明 ベクトル空間は常に有限次元、双対空間U*の定義は、多数派に従って「U上の線形形式の空間」としておきます。つまり、U* = Lin(U, K)（Kはスカラー体、Linは線形写像全体の空間を示す）。 ベクトル空間Uと双線形形式φ:U×U→Kを一緒にしたもの(U, φ)を考えます。ただし、φは次の非退化性を持つとします。 ∀y∈U.(φ(x, y) = 0) ならば、x = 0。 φは内積みたいなもんだから φ(x, y) = (x|y) と書きましょう。ただし、上の非退化性条件以外は一切

いずれ、もっと詳しく書くつもりだけど、まーともかく、ざっと紹介しますね。説明が不十分かもしんないけど（ごめんなさい）。[追記]詳しく説明しました。[/追記] 二分木を考えます。空な木は認めない。けど、ルートノードだけの木は認めます。ノードにも辺にもラベルは付いてません。形状だけが問題。ノード数が1から７までの例を描けば次のようですね。 いま、なんでもいいから7本の二分木があったとして、例えば次のような“テンプレート”（番号が付いた白丸のところがプレースホルダ）に当てはめると、1本の二分木ができます。 テンプレートは何種類でも用意してよくて、テンプレート内のプレースホルダを埋めるのに与えられた7本の木全部を使う必要もないとします。例えば、テンプレート内のプレースホルダが1個だけでも0個（単なる二分木）でもいいわけ。 7本の二分木（二分木からなる長さ7のタプル [t1, t2, t3, t4,

そろそろネタ元をばらしましょう。次の論文です。これを[Fiore/Leinster]として引用します。 Marcelo Fiore, Tom Leinster "Objects of Categories as Complex Numbers" http://arxiv.org/abs/math/0212377 [Fiore/Leinster]から参照されている以下の論文がSeven Treesを詳しく扱ったもののようです（僕はまだ読んでません）。 A. Blass "Seven trees in one" Journal of Pure and Applied Algebra, 103:1.21, 1995. http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.46.8517 Seven trees と A tree が同じにな

もういいんじゃないでしょうかね。 Seven Treesパズルを解いたり、解を確認された方々、このエントリー（URL: http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20081031）にトラックバックしてくださると、リンクが集約されて便利かと思います。 基本路線は、「T = 1 + T2 を元にして等式の変形を追いかける」ですが、それぞれの工夫もありますでしょうし、プログラミングとしては、もっと短くとか、いやもっと長くとか、もっとわかりやすくだの、この言語で、あの言語でと、いろいろなバリエーションがあると思います。 典型的な解法が公表されれば、グラフィカルに表示されたSeven TreesがアニメーションでOne Treeに変形していく、なんてのをどなたか作ってくれるかもしれませんよ。 Seven Trees, 最初のエントリー 問題を詳しく解説 変なヒント まともなヒント

石井君*1が、2月19日セミナーのツイン・ホワイトボードを撮影してくれていたので、ハイライト(?)部分を紙芝居にしました。 紙と鉛筆の準備はいいかな -- では、はじまりはじまり。 g = <a, b, x| a*x + b> という関数があるとき、これを2回“ラムダ抽象”してみます。ラムダ抽象とは、右肩ハット（^）または大文字ラムダ（Λ）で表されるオペレータです。ラムダ抽象とカリー化は同義語です*2。ラムダ抽象すると、n引数関数は(n-1)引数関数に変化し、その代わり戻り値が関数型になります。ただし、ここで言う「関数型」は数学的な関数の型ではなくて、とある実行エンジンEで実行する関数コードのデータ型のことです。 gの2回ラムダ抽象g^^を絵に描くとこうです。 gの1回ラムダ抽象 g^ = Λg と、gの2回ラムダ抽象 g^^ = Λ(Λg) を計算してみます。Λの計算規則*3を使えば、こ