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月曜日23:59。あと60秒で火曜日。時間は連続だが、カレンダーは離散だ。この不連続性が僕は好きだ。ヒルベルト空間のスペクトル分解みたいで安心する。
今日の進捗を書く。今回は本当に最前線だ。一般的な超弦理論の話ではない。摂動論でもない。AdS/CFTでもない。そんなものはもはや教科書の章だ。
僕が今日取り組んでいたのは、「弦理論をそもそも理論と呼べるか」という問題の、さらに一段深い層だ。
具体的には、非可換幾何と派生代数幾何を超えたcondensed homotopy type theory的な枠組みで、弦の状態空間を再構築できないかを考えている。
通常、弦の状態は2次元共形場理論のヒルベルト空間の元だ。しかしそのヒルベルト空間自体が背景依存だ。
そこで僕は、背景時空を対象ではなく論理として扱うアプローチを試みている。つまり、時空を集合ではなくトポス、しかも通常のトポスではなく、凝縮集合の∞-トポスの内部言語として再定義する。
もし時空が内部言語なら、弦の振動モードはその内部論理における型の自己同型になる。物理量は数ではなく、スペクトル化された型の族だ。すると作用原理は、変分ではなく、高次随伴の普遍性条件に置き換わる。
ここで問題になるのが、量子重力における測度の不在だ。経路積分は形式的だ。測度論的に意味を持たない。
だから僕は、経路積分をやめることにした。代わりに、弦の理論を∞-圏におけるコリミットの存在定理として再定式化する。散乱振幅は、ある導来スタック上のコリミットの普遍性で特徴付けられるはずだ。
今日の午後は、トポロジカル弦をさらに一段抽象化した。通常のAモデルやBモデルは、シンプレクティック幾何と複素幾何に依存している。
しかし僕の仮説では、それらはモチーフ的スペクトルの異なる実現に過ぎない。もし弦の理論がモチーフ的安定ホモトピー圏のある特別な対象として定義できれば、ミラー対称は単なる双対ではなく、自己随伴性の現れになる。
さらに踏み込む。M理論は11次元の理論だと言われているが、それは次元という概念に依存している時点で古い。
僕は次元をホモトピー次元として定義し直したい。時空の次元は整数である必要はない。むしろスペクトル列の収束段階として与えられるべきだ。次元が整数だと誰が決めた。整数は人間の都合だ。
そして今日一番のアイデア。弦の相互作用を高次因果構造の圏論的ファイバー積として記述できるのではないかという仮説。
もし因果構造そのものが∞-圏の射の方向性として内在化されれば、時間は外部パラメータではなく、射の分解長として定義できる。時間は実在ではなく、分解の深さだ。これはまだ作業仮説だ。証明はない。だが美しい。
ウィッテンでも分からないというレベルを超えるには、既存の言語を捨てるしかない。だから僕は物理を論理の自己整合性問題として書き換えようとしている。
もし理論が本当に基本的なら、それは方程式ではなく、圏の普遍性で記述できるはずだ。
夜。ルームメイトが冷蔵庫に僕のヨーグルトを置く位置を2センチずらした。平衡状態が破れた。僕は再配置した。彼は「ほとんど同じだ」と言った。ほとんど同じ、というのは物理では致命的だ。量子補正を甘く見るな。
隣人は僕に「たまには外に出たら？」と言った。外とは何だ。座標系の選択に過ぎない。僕の部屋は十分にリッチな多様体だ。
友人Aは工学的応用を語り、友人Bは統計力学の話を振ってきた。彼らは確率で世界を語る。しかし僕は確率を定義する測度を疑っている段階だ。レベルが違う。
習慣について。朝は7:00に起床。ベッドから出る角度は毎日同じ。右足から。これは対称性の自発的破れではない。意図的な選択だ。
月曜夜はタイムテーブル確認の日。研究時間は25分単位。休憩は5分。これは脳の情報エントロピーを最小化する最適分割だ。
今日までの到達点。
弦理論をモチーフ的安定∞-圏における特別なE∞-代数対象として定義するための公理草案を書いた。
ただし、存在証明はゼロ。整合性チェックも未完。現時点では、美しさだけが根拠だ。それは危険だ。美しさは必要条件だが十分条件ではない。
第二に、経路積分をコリミットで置き換える際の同値性条件の検証。
第三に、冷蔵庫内配置の安定性解析。
00:18になった。
宇宙はまだ圏に落ちていない。だが落ちるはずだ。
落ちないなら、それは僕の定義が甘いだけだ。
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