センター試験2007年度数学2Bの第4問のベクトルの問題するふにゅ。
[問題]
第4問
点Oを原点とする座標空間に4点A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,0,1),D(-2,-1,-2)がある。0＜a＜1とし、線分ABをa:(1-a)に内分する点をE、線分CDをa:(1-a)に内分する点をFとする。
(1)EF→はaを用いて
EF→=((アイ)a,(ウエ)a,(オ)-(カ)a)
と表される。さらに、EF→がAB→に垂直であるのはa=(キ)/(ク)のときである。
(2)a=(キ)/(ク)とする。0＜b＜1として、線分EFをb:(1-b)に内分する点をGとすると,OG→はbを用いて
OG→=(((ケ)-(コ)b)/(サ),((シ)-(ス)b)/(サ),(セ)/(サ))
と表される。
(3)(2)において、直線OGと直線BCが交わる時のbの値と、その交点Hの座標を求めよう。
点Hは直線BC上にあるから、実数sを用いてBH→=sBC→と表される。また、ベクトルOH→は実数tを用いてOH→=tOG→と表される。よって
b=(ソ)/(タ),s=(チ)/(ツ),t=(テ)
である。したがって、点Hの座標は
((ト)/(ナ),(ニヌ)/(ナ),(ネ))
である。また、点Hは線分BCを(ノ):1に外分する。
[解答と解説]
ベクトルの基本的な問題です。
始点を揃えるのが苦手な人はベクトルが苦手、わからない人のための講座(始点を揃える式変型編)でもよかったら見てください。
(1)始点はもちろん原点Oに揃えて考えるわけですが
EF→=OF→-OE→
なのでOE→とOF→が必要です。
0＜a＜1とし、線分ABをa:(1-a)に内分する点をEより
OE→=aOB→+(1-a)OA→
=a(0,1,1)+(1-a)(1,0,0)
=(1-a,a,a)
です。
これはバンバン使うので、理屈とか抜きで身体で覚えて使えるようにしてください。
ABをa:(1-a)をaOB→+(1-a)OA→と言うように左右を逆にしてかける感じです。
同様に線分CDをa:(1-a)に内分する点をFだから
OF→=aOD→+(1-a)OC→
=a(-2,-1,-2)+(1-a)(1,0,1)
=(1-3a,-a,1-3a)
で
EF→=OF→-OE→
=(1-3a,-a,1-3a)-(1-a,a,a)
=(-2a,-2a,1-4a)
です。
EF→がAB→に垂直は内積が0になればいいから
AB→=OB→-OA→
=(0,1,1)-(1,0,0)
=(-1,1,1)
と計算しておいて
EF→・AB→=0
⇔
(-2a,-2a,1-4a)・(-1,1,1)=0
⇔
2a-2a+1-4a=0
から
a=1/4
(2)
a=1/4の時
OE→=(3/4,1/4,1/4)
OF→=(1/4,-1/4,1/4)
線分EFをb:(1-b)に内分する点をGだから、これも身体で覚えた公式で
OG→=bOF→+(1-b)OE→
=(b/4,-b/4,b/4)+(3(1-b)/4,(1-b)/4,(1-b)/4)
=((3-2b)/4,(1-2b)/4,1/4)
です。
(3)
まず点Hは直線BC上にあるから実数sを用いてBH→=sBC→って式から始点Oにして
OH→-OB→=sOC→-sOB→
⇔
OH→=sOC→+(1-s)OB→
=s(1,0,1)+(1-s)(0,1,1)
=(s,1-s,1)
さっきから何回も使ってる公式と同じですね。
そして
ベクトルOH→は実数tを用いてOH→=tOG→と表されるって式から
OH→=((3-2b)t/4,(1-2b)t/4,t/4)
OH→がこれで二通りで表せて、成分を比較します。
x成分:(3-2b)t/4=s
y成分:(1-2b)t/4=1-s
z成分:t/4=1
これを解いて
t=4
s=3/2
b=3/4
です。
だから
OH→=(3/2,-1/2,1)
でこれがHの座標です。
最後に
BH→=3/2BC→
を図示すると
B--C-H
だから点HはBCを3:1に外分しています。
外分はちょっとややこしいですが、単にBH:CHを求めるだけです。
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