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ストリング図とよばれる図式を用いて圏論の基礎を説明します。

複素数の虚数単位を増やして拡張することから、テンソル積を導入します。 虚数単位を増やす複素数の虚数単位$i$について$i^2=-1$が成り立ちます。ここに、同じ性質$j^2=-1$を満たす新しい虚数単位$j$を導入します。ただし、$i \ne \pm j$で、$i$と$j$は可換$ij=ji$とします。 積を計算します。（$a,b,c,d,e,f$は実数） $$ \begin{aligned} &(a+bi+cj)(d+ei+fj) \\ &= a(d+ei+fj) + bi(d+ei+fj) + cj(d+ei+fj) \\ &= ad + aei + afj + bdi + bei^2 + bfij + cdj + ceij + cfj^2 \\ &= ad + aei + afj + bdi - be + bfij + cdj + ceij - cf \\ &= (ad-be-cf)

$1.$記事の概要$2$つの線形空間が与えられ，それらの間に線形同型写像があれば，それらの線形空間を同一視することができます． では，「$2$つの線形写像が」与えられたときに，どのような条件が満たされれば，それらの線形写像を同一視できるでしょうか？実はこの疑問に対する答えが，線形代数でよく見かける$P^{-1}AP$であり，四角い可換図式なのです． この記事では，$2$つの線形写像，あるいは群準同型や環準同型などを同一視できるための条件について，例を交えて解説します．この記事の内容は，数学のあらゆる分野に現れる重要なものですから，あなたの興味がどの分野にあるかによらず，きっと役に立つことでしょう．ぜひ読んでみてください！ みなさんきっとお忙しいでしょうから，最後まで読まなくてもいいように重要な内容ほど最初の方に載せています．冒頭の少しだけでも目を通してみてください． 定義$\to$色々な分

$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]

はじめにお前は誰やねん解析学を研究している博士課程の2年生。 この記事の目的もし大学1年生の自分に会えたら数学の勉強についてアドバイスしたいことがいくつかあるので、それを簡単にまとめたい。現在進行形で学部生をやっている人の参考になれば嬉しい。ただし、あくまで個人的な考えであり、視点が偏っているので、鵜呑みにはしない方が良い。 最初にやるべきことできる限り早い段階で集合と写像の言葉を覚えよう。微分積分や線形代数より先にこちらをやった方が良い。そもそも集合と写像の言葉は大学数学をやっていくうえで必要不可欠であり、微分積分や線形代数さえこれらの知識がなければ十分には理解できない。それから、定義に従って厳密に議論できるようにならなければ、そもそも大学数学のスタートラインにさえ立てない。集合と写像の勉強はその習得に適していると思う。 ちなみに、僕がこの「スタートライン」に立てたのは学部1年後期だった

Introduction裳華房から出版されている 「手を動かしてまなぶシリーズ」 が人気を集めているようです。今年の秋頃、私も 藤岡敦「手を動かしてまなぶ 線形代数」 を読みました。 挫折しにくい工夫がなされていて、高校～大学の良い架け橋になっている本だと感じました。初めて線形代数を学ぶ方におすすめです。 そこで今回は、主に「手を動かしてまなぶ 線形代数」を読んでいる人や、線形代数を学び始めている人に向けた記事を書いてみたいと思います。 内容としては「3項間漸化式の一般項を線形代数で求める」という、定番すぎるものです。しかし、高校～大学の架け橋となる上、線形代数の練習になる良いトピックだと思ったので、取り上げてみたくなりました。 線形代数を使うことで、小高い丘から見下ろすような感じで3項間漸化式を眺められるのではないかと思います。 また、対角化まで勉強していなくとも「これから線形代数を学ぼ

はじめにこんにちは，ロダンです．今回は数学の話ではなく，数学の研究の方法について記事を書きたいと思います． 私は現在いわゆるポスドクという立場ではありますが，未だに学部生や修士学生の自主ゼミ，あるいは自分の所属する研究室の学部生ゼミに混ざって，一緒に勉強をさせていただく機会が結構あります．そうしたゼミにおける雑談タイムの中で，まだ論文を書いたことがない学生さんから「数学の研究課題ってどうやって見つけるんですか？」と聞かれることが時々あります． それを聞いたとき，私は「うんうん，それはすごく知りたいことだよね」と深く頷きます．この疑問は私はもちろんのこと，ほとんどの研究者が研究を始める前の時期に少なからず抱いたことがある疑問，そして不安であろうと思います．今回はこの「数学の研究課題の探し方」について，私なりの考え方を書いてみたいと思います． ちなみに，「この記事を書いているお前は実際どれくら

漫画版「お嬢様はグレブナー基底がお好き！」 小説版（漫画の続き）慎一郎「ハァッ……ハァッ……」 ポン酢が気管に詰まったようで、ひどくむせる慎一郎。 慎一郎「お嬢様ひどいですよ！いきなりポン酢を飲ませるなんて！」 リサ「し、慎一郎が悪いんですのよ…！わ、私の名前をつけたいなんて……変なこというから…」 頬を赤らめてぶつぶつと文句をいうリサ。 慎一郎「変なこと……？はっ！まさか僕、お嬢様に何か失礼なことを……！？」 リサ「な、なんでもないですわ！」 慎一郎「遠慮せずなんでも言ってください！僕はリサお嬢様の執事なんですから！」 リサをじっと見つめる慎一郎。 その純粋無垢な瞳に彼女はドキッとする。 リサ「慎一郎は……その……どう思ってるの？」 慎一郎「はい？」 リサ「その……好きとか、嫌いとか……」 慎一郎「えーと……すごく気になってますね」 リサ「え！気になるって、どういうこと？」 慎一郎「どう

古典命題/述語論理の証明論・モデル論や、健全性・完全性定理に多少触れたことがないと理解できない可能性が高いです。 また、哲学に関する前提知識は必要ありません(おそらく)。 分かっている人向けの説明 「金子先生や大西先生の文献を追いながら、ダメットの反実在論に関する議論をざっくり整理してスッキリしたい」という気持ちに突き動かされて書いた個人的なメモを、他人に見せられるように整形・拡張したものです。今年言語哲学について学んだことのメモにもなっています。 直観主義論理とはまず、今回のテーマである直観主義論理についての説明をしておきたいと思います(すでにご存じの方は次章に移ってくださって構いません)。いわゆる普通の論理学の体系、古典論理(classical logic)についての知識は前提としているので、知らない方は色々調べて見てください。 さて、直観主義論理を非常に簡単に説明するなら、古典論理の

$$\newcommand{bbC}[0]{\mathbb C} \newcommand{bbN}[0]{\mathbb N} \newcommand{bbR}[0]{\mathbb R} \newcommand{bbZ}[0]{\mathbb Z} \newcommand{cO}[0]{\mathcal O} \newcommand{Coker}[0]{\operatorname{Coker}} \newcommand{End}[0]{\operatorname{End}} \newcommand{Ext}[0]{\operatorname{Ext}} \newcommand{Hom}[0]{\operatorname{Hom}} \newcommand{Image}[0]{\operatorname{Im}} \newcommand{Ker}[0]{\operatorname{Ker}