1アンペア is 何

概要

電流単位アンペアの旧定義の概念を説明する。

 

実験的事実

2本の平行な銅線に、同じ方向の電流を流すと引き合う力が生じる。ここで、引き合う力を増やすためには、

1. 電流1を増やす

2. 電流2を増やす

3. 電線を近づける

4. 電線を長くする

の３つの方法がある。3は興味がないので、電線は単位長1メートルに固定して考える。

正確には、無限に長い平行線のうち、1メートルあたりの銅線が受ける力と考える。こう考えることで、電線の曲がりなど、平行でない部分の要素を無限に小さく考えることができる。

 

\begin{eqnarray}
F=k \frac{I_1 I_2}{r}
\end{eqnarray}

 

のように書ける。クーロンの法則と違って、分母は測定上rの1乗であった。なぜだろうか。

 

図のように、クーロンの法則と異なり、電線からrメートル離れた点に作られる次回はrに逆比例するのが理屈的にも正しいといえる。

 

電線1が受ける力だけ考える。すなわち、電線1は電線２が作り出す静磁界の中に存在することにより力を受けると考える。

 

 

同軸ケーブルの静電容量

概要

内導体の外形が 、外導体の内径がの同軸ケーブルを考える。内導体と外導体の間は誘電率の誘電体で満たされ、外導体は接地しているとする。この無限長の同軸ケーブルの、1 mあたりの静電容量Cが以下のようにあらわされることを示す。

\begin{eqnarray}
C = \frac{2 \pi \varepsilon}{\ln {\frac{b}{a}}}
\end{eqnarray}

導出

内側の導体に1 mあたりQ [C]の電荷を与えたとすると、外側の導体には-Q [C]の電荷が誘導される。

 

よりを求める。

 

 

 

⇒ \lambda =cV

C [F]

c [F/m]

 

ガウスの法則

\begin{eqnarray}
{\oint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}}=\frac{Q_in}{\varepsilon_0}
\end{eqnarray}

より

電子の平均自由行程

概要

動き回る物体が、別の物体と2回衝突する間に平均して進める距離のことを平均自由行程と呼ぶ。前回、濃厚接触の発生回数を人間の2次元平均自由行程から導いた。

 

多くの場合、平均自由行程は3次元空間と粒子で考えられ、飛行する粒子の平均自由行程は、気体やプラズマの性質を表す重要な指標となる。今回は飛行する電子を考える。その空間には希ガス原子がある密度で存在する。電子の平均自由行程を式で表す。

 

導出

飛び回る電子の大きさは非常に小さいとみなし、半径の点と考える。それに対して的となる希ガス原子(以下、単に「原子」と書く)ははるかに大きく、ある半径の球と考える。また、原子は電子と比較して非常に遅く、速度はであると考える。これはプラズマ中や電子ビーム中で電子が高速に飛行し、気体分子に衝突する現象をモデル化する際によく用いられる近似である。図に衝突の模式図を示す。電子を赤、原子を青で示した。

立式

この時、電子と原子の中心間距離が、原子の半径に等しくなった時に衝突が起こることが分かる。これは結局、電子の周りに半径の球を描き、原子の中心座標がその球殻に触れることと等価である。

 

等価な問題に置き換えた模式図を示す。電子が飛行したときに衝突が起こる領域をピンク色で示した。

図より、球の体積や厚さは関係なく、断面積だけで衝突の有無が決まることが分かる。この断面積は電子-原子間の衝突断面積と呼ばれる。

 

電子が平均自由行程飛行する間に占有する衝突領域の体積は、次の図のように底面、高さの円柱型をしている。この円柱の体積はである。

平均自由行程の定義により、この円柱の中には平均して個の原子(の中心点)が存在する。その時の密度は以下のように定式化される。

\begin{eqnarray}
n&=&\frac{1}{\pi r_\mathrm{g}^2 \lambda_\mathrm{eg}}\\
\lambda_\mathrm{eg}&=&\frac{1}{\pi r_\mathrm{g}^2 n}
\end{eqnarray}

式変形してを表す式に直した。

 

衝突断面積をで表すと、

電子の平均自由行程を表す式が導かれた。

コロナの抑止には自粛が何割必要か

概要

新型コロナウィルスCOVID19の発生に伴い、国内でも外出禁止要請が出されている。人と人との濃厚接触を8割減らせばコロナの蔓延を防げるというが、人の外出も8割減らす必要があるのだろうか？接触の回数を式で表し、人の外出を55%減らせば目的を達成できることを導く。

 

導出

濃厚接触のモデル化

濃厚接触の回数を式で表したい。そのために色々な数値を文字で表し、単純なモデルを構築する。

 

まず人間一人ひとりの間隔が、ある値より近づくことを「濃厚接触」と定義する。これは図のように、自分の周りに半径の円を考えて、その内側に他人が入ることとみなすことができる。

 

ある人が街を歩く様子は次の図のように表される。赤い点が注目する人を表す。この人が街を速度で歩き回ると考え、他の人が点線の円で表された領域に入って出たとき濃厚接触を一回したとみなすのである。この時、点線の円の縦幅や、中間的な横幅には意味がなく、横幅の最大値だけで濃厚接触の有無が決まることが分かる。移動したときに濃厚接触が起こる領域を灰色で示した。

 

平均自由行程

まず、ある人間一人がどれぐらい他の人と接触するかを考えるため、「他人と接触せずに、平均してどれぐらい長く歩けるか」(=平均自由行程)を計算する。

 

人が歩く間に、占有する面積の合計は図のようにで表される。

 

上に記した平均自由行程の定義より、この占有面積の中に、他人が平均して一人いることになる。その時の人口密度は以下のように定式化される。

\begin{eqnarray}
n&=&\frac{1}{2r \lambda}\\
\lambda&=&\frac{1}{2rn} \tag{1}
\end{eqnarray}

式変形よりが人口密度の関数として表された。

 

人が出歩く町の面積を、出歩く人の数をとすれば、人口密度はと表せる。これを式に代入する。

\begin{eqnarray}
\lambda&=&\frac{1}{2rn}\\
\lambda&=&\frac{1}{2r\frac{m}{S}}\\
\lambda&=&\frac{S}{2rm}\\
\end{eqnarray}

式変形により、平均自由行程が求められた。

 

濃厚接触の総数

次に濃厚接触せずに出歩ける平均時間を求める。これはをで割って求めることができる。

 

平均してに1回濃厚接触するので、濃厚接触頻度はの逆数となる。

 

ここで、町をぶらつく時間を考えると、ある人物一人の濃厚接触回数は以下のように表される。

\begin{eqnarray}
i=\nu t=\frac{2rmvt}{S}
\end{eqnarray}

 

もしあなたが町をぶらつく場合、濃厚接触の回数は出歩く人の数に比例することが分かった。しかし、いま求めたいのは町全体の総接触回数である。町をぶらつく人が平均して回の濃厚接触をするので、は以下のような式で表される。

\begin{eqnarray}
i_\mathrm{{total}}=\frac{mi}{2}=\frac{rm^2vt}{S}
\end{eqnarray} 

で割ったのは、AさんとBさん、BさんとAさんの同じ接触が2重にカウントされているためである。

 

すなわち、町全体の総接触回数は出歩く人数ではなく、出歩く人数の2乗に比例する。総接触回数を8割減らすのに、出歩く人は何割減ればよいか計算しよう。出歩く人数が人から人に変化して、接触率が割になったとする。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
\frac{\frac{rm_2^2vt}{S}}{\frac{rm_1^2vt}{S}}&=&0.2\\
\left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2&=&0.2\\
\frac{m_2}{m_1}&=&\sqrt{0.2}\\
\frac{m_2}{m_1}&=&0.447 \cdots\\
\end{eqnarray}

 

より、濃厚接触割減を達成するには人出を減らせば良いことが分かった。人出を割も減らす必要はないのである。濃厚接触割減は決して不可能な目標ではない。引き続き頑張っていきましょう。

運動エネルギーの定義が(1/2)mv^2なのはなぜか

概要

運動エネルギーは以下のように定義されている。

\begin{eqnarray}
K=\frac{1}{2}mv^2
\end{eqnarray}

この式はある物体の運動エネルギーが、その質量と速度の2乗に比例することを表す。しかし、係数としてが掛かっている。を運動エネルギーの定義としなかったのはなぜだろうか？

 

係数をとするのが合理的なことを、等加速度運動の式2種と、運動方程式を用いて導く。

 

導出

一定の力を受け、等加速度直線運動する物体を考える。物体の速度を表す式は以下のように書ける。時刻を、加速度を、初速度をとする。

\begin{eqnarray}
v=v_0+at \tag{1}
\end{eqnarray}

 

物体の位置を表す式は以下のように書ける。初期位置をとする。

\begin{eqnarray}
x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2}
\end{eqnarray}

 

式(1)と式(2)からを消去する。式(1)をについて変形する。

\begin{eqnarray}
at&=&v-v_0 \\
t&=&\frac{v-v_0}{a} \tag{1'}
\end{eqnarray}

 

これを式(2)に代入する。

\begin{eqnarray} \require{cancel}
x&=&x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \tag{2} \\
x&=&x_0+v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right)+\frac{1}{2}a \left( \frac{v-v_0}{a} \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{v_0v-v_0^2}{a}+\frac{1}{2a} \left( v-v_0 \right)^2 \\
x&=&x_0+\frac{\cancel{v_0v}-v_0^2}{a}+\frac{v^2-\cancel{2v_0v}+v_0^2}{2a}  \\
x&=&x_0+\frac{v^2-v_0^2}{2a}  \\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}
\end{eqnarray}

式からが消え、との関係が得られた。

 

運動方程式より、である。ここでは物体が及ぼされる力、は物体の質量である。これを式(3)に代入してを消去する。

\begin{eqnarray}
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2a} \tag{3}\\
x-x_0&=&\frac{v^2-v_0^2}{2\frac{f}{m}} \\
f(x-x_0)&=&\frac{m(v^2-v_0^2)}{2} \\
f(x-x_0)&=&\frac{1}{2}m(v^2-v_0^2) \\
\end{eqnarray}

 

左辺は物体に力を及ぼして、座標からに動かしたときの仕事であり、右辺は質量の物体の速度がからに変化したときの運動エネルギーの変化に等しい。この式は「物体が外部から仕事を受けると、それに相当して運動エネルギーが変化する」ことを表している。

 

つまり、そもそも仕事と等価にするために運動エネルギーの定義が決まっていて、その計算過程で係数が現れるのである。また、のそもそもの出どころは等加速度運動で位置を表す式の中にある項であることが分かる。

指数の基数を変換する

概要

のような指数関数があるとき、基数を好きな数に変換したいことがしばしばある。

 

一例として、任意の基数を持つ指数関数を微分するために基数をネイピア数に変換したり、逆に変数分離法の微分方程式の解として現れたを目的の基数を持つ指数関数に変換したりすることが挙げられる。この方法を導く。

 

導出

以下の指数関数の基数をに変換したいとする。

\begin{eqnarray}
y=a^x
\end{eqnarray}

 

両辺のをとり、対数関数の性質を用いて変形する。

\begin{eqnarray}
\log_b y= \log_b a^x\\
\log_b y= x\log_b a
\end{eqnarray}

 

について整理する。

\begin{eqnarray}
y= b^{x \log_b a}
\end{eqnarray}

 

を代入する。

\begin{eqnarray}
a^x = b^{x \log_b a}
\end{eqnarray}

対数関数の底をからに変換できた。

 

ここで右辺指数部のはある定数になっていることに注意。これはすべての指数関数は、指数部に定数を掛けることで基数を相互に変換できることを意味する。

対数の底を変換する

概要

のような対数関数があるとき、底を好きな数に変換したいことがしばしばある。

 

一例として、任意の底を持つ対数関数を微分するために底をに変換したり、逆にを積分するなどして現れた自然対数を目的の底を持つ対数に変換したりすることが挙げられる。この方法を導く。

 

導出

以下の対数関数の底をに変換したいとする。

\begin{eqnarray}
y= \log_a x
\end{eqnarray}

 

指数関数として書き直す。

\begin{eqnarray}
a^y= x
\end{eqnarray}

 

両辺のをとり、対数関数の性質を用いて変形する。

\begin{eqnarray}
\log_b a^y= \log_b x\\
y\log_b a= \log_b x
\end{eqnarray}

 

について整理する。

\begin{eqnarray}
y= \frac{\log_b x}{\log_b a}
\end{eqnarray}

 

を代入する。

\begin{eqnarray}
\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}
\end{eqnarray}

対数関数の底をからに変換できた。

 

ここで右辺分母のはある定数になっていることに注意。これはすべての対数関数は、定数を掛けるだけで底を相互に変換できることを意味する。